二次根式 重难点题型专训（8大题型 15道拓展培优）（原卷版）.pdf

1、 学科网（北京）股份有限公司二次根式 重难点题型专训（8 大题型+15 道拓展培优）【题型目录】题型一 求二次根式的值题型二 根据二次根式有意义的条件求参题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值题型四 根据二次根式是整数求字母的值题型五 利用二次根式的性质化简题型六 数轴与二次根式的化简问题题型七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式题型八 复合二次根式的化简【知识梳理】知识点一.二次根式的定义形如a（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是 2；（2）被开方数为非负数.知识点二.二次根式有无意义的条件：（1）如果一个式子中含有多

2、个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零 知识点三.二次根式的性质：（1）0a，0a（双重非负性）（2）2(),0aaa=（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）应用：在实数范围内分解因式：22247(2)(7)(27)(27)mmmm=+（3）2,0,0aaaaaa=（4）ab=a b（a0，b0）学科网（北京）股份有限公司（5）ab=ab（a0，b0）知识点四.二次根式的化简：（1）二次根式化简的步骤：把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的

3、因数（或因式）都开出来；化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2，所得结果为最简二次根式或整式（2）最简二次根式的条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式【经典例题一 求二次根式的值】【例 1】（2022 下浙江绍兴八年级统考期末）当 x1 时，二次根式42x的值等于（）A4B0C 2D2【变式训练】1（2020 下内蒙古八年级校考期中）a 是任意实数，下列各式中：2a+；4(2)a；23a+；269aa+；23a，一定是二次根式的个数是（）A1B2C3D42（2022 下湖北咸宁八年级统考期末）代数式24n+的最小值为 3（2022河南模拟

4、预测）求代数式 21(1)1xxx 2221xxx+的值，其中 x 2【经典例题二 根据二次根式有意义的条件求参】【例 2】（2023 上河南周口九年级统考阶段练习）函数123yxx=+中，自变量 x 的取值范围为（）A2x B3x=C2x 且3x D3x 学科网（北京）股份有限公司【变式训练】1（2023 下湖南株洲九年级株洲二中校考自主招生）使函数()121f xx=有意义，则 x 的取值范围是（）A12x B12x C12x D12x 2（2023 上四川成都八年级校考期末）已知332yxx=+，则 xy=3（2023 下江苏苏州八年级校考开学考试）（1）已知a、b 为实数，且52 54

5、aab+=+，求ab 的平方根（2）已知实数 a满足 20212022aaa+=，求22021a 的值【经典例题三 利用二次根式被开方数的非负性求值】【例 3】（2023 春福建福州八年级统考期中）已知=2022 2023 +1，其中为整数，则的值为_【变式训练】1、（2023 春河北邢台八年级校考期末）若 1+3=0，求 的值2、（2023 春黑龙江绥化八年级统考期中）若=3+3 2，则=_.3、（2023全国八年级假期作业）已知实数满足(2008 )2+2009=，求 20082的值是多少？学科网（北京）股份有限公司【经典例题四 根据二次根式是整数求字母的值】【例 4】（2023 春八年级

6、单元测试）若36 是整数，则整数 n 的所有可能的值为_【变式训练】1、（2023 春广东惠州八年级校考期中）已知：20是整数，则满足条件的最小正整数为（）A2B4C5D202、（2023 春湖北武汉八年级统考期中）已知10 是整数，则自然数所有可能的值的和为_3、（2023 春江苏八年级专题练习）如果17+4是一个正整数，则整数的最小值是（）A-4B-2C2D8【经典例题五 利用二次根式的性质化简】【例 5】（2023 下浙江丽水八年级期末）已知m 是 2 的小数部分，则2212mm+的值是（）A 0B1C 2D3【变式训练】1（2023 上河南洛阳九年级统考期中）化简二次根式()10 xx

7、，得（）AxxBxxCxxDxx2（2024 上上海闵行八年级统考期末）计算：()25180a ba=3（2024 上北京昌平八年级统考期末）阅读材料：1 和4 为整数，4 132 1 1=+；4 和9 为整数，9 452 2 1=+；9 和 16 为整数，16 972 3 1=+；学科网（北京）股份有限公司小明发现结论：若a 和 b 为相邻的两个整数，其中ab，则有21baa=+，并给出了证明：根据题意，得1ab+=等式两边同时_，得_b=整理得21baa=+请根据以上材料，解决以下问题：(1)请补全小明的证明过程.(2)若a 和11a+为两个相邻整数，则=a_.(3)若a 和216a+为相

8、差 4 的两个整数，求a 的值【经典例题六 数轴与二次根式的化简问题】【例 6】（2023 上吉林长春八年级校联考期末）已知实数 a 在数轴上的对应点位置如图，则化简()221aa+的结果为（）A1B 1C23a D 1【变式训练】1（2023 上重庆九年级重庆第二外国语学校校考期中）实数 a、b 在数轴上所对应的点如图所示，化简()22baab+的结果是（）A 3aB3aC2+abD2ab 2（2023 上江苏常州八年级校考阶段练习）已知a，b 在数轴上的位置如图所示，则22()aba的化 学科网（北京）股份有限公司简的结果为 3（2023 上江苏苏州八年级校考期中）阅读下面的解题过程体会如

9、何发现隐含条件并回答下面的问题化简：()21 31xx 解：隐含条件1 30 x，解得：13x，10 x 原式()()1 311 312xxxxx=+=【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：()()2232xx【类比迁移】（2）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简：()22aabba+（3）已知 a，b，c 为 ABC 的三边长化简：()()22abcabc+【经典例题七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】【例 7】（2023 春八年级课时练习）一次函数=+的图象如图所示，化简2+2+2|+1|=_【变式训练】1、（2023 春黑龙江绥化八年级校考阶段练习）若化简|1|2 8+1

10、6的结果是2 5，则 x 的取 学科网（北京）股份有限公司值范围是_2、（2023 春山东烟台八年级统考期中）已知 m 是2的小数部分，则式子(1)2=_3、（2023 春黑龙江绥化八年级校考阶段练习）已知 ab0，化简2=_【经典例题八 复合二次根式的化简】【例 8】（2022 上四川遂宁九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）若0 xy，则 2x y 化简后的结果是（）AxyB xyC xyD x y【变式训练】1（2022 下辽宁葫芦岛八年级统考期中）若3222aaa a+=+，则 a 的取值范围是（）A 20a B0a C a0D2a 2（2021北京九年级专题练习）化简620的结果为

11、 3（2024 上湖南娄底八年级统考期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数形如2ab，如果你能找到两个数m、n，使22mna+=，且mnb=，则2ab可变形为()2222mnmnmnmn+=从而达到化去一层根号的目的例如化简52 6，532=+且 632=，()252 63232=(1)填上适当的数：()2_8_2_5_1_+=_；(2)当12x时，化简2121xxxx+学科网（北京）股份有限公司【拓展培优】1（2024 上河北衡水八年级统考期末）若2(1)1aa+=，则a 的值可以是（）A4B2C0D 22（2022 下重庆酉阳八年级校考期末）式子3x 在实数范围内有意义，则 x 的

12、取值范围是（）A3x B3x C3x D3x 3（2024 上湖南岳阳八年级岳阳市弘毅新华中学校考期末）若113xx+有意义，则实数 x 的取值范围是（）A1x 且3x B1x 且3x C1x 且3x D1x 且3x 4（2023 上江苏苏州八年级苏州市平江中学校校联考期中）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简：222abaabb+结果为（）A 2aB 2bC 22abD05（2023 上重庆八年级校联考期中）若()221111nann=+（n 为正整数），则下列说法正确的个数是（）1112a=，2116a=，31112a=；411145a=+；123888 9aaaa+=A0 个B1

13、个C2 个D3 个6（2023 上陕西西安八年级校考期中）已知 x，y 都是实数，且223yxx=+，则 xy=7（2023 上上海静安八年级校联考期末）当1a 时，2(1)a+=.8（2024 上黑龙江哈尔滨八年级统考期末）已知2(4)5yxx=+，当 x 分别取1，2，3，2024时，所对应 y 值的总和是 .9（2023 上四川达州八年级校考期中）问题探究：因为2(21)32 2=，所以 32 221=，因为2(21)32 2+=+，所以32 221,+=+请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：学科网（北京）股份有限公司42 3=10（2023 上四川内江九年级四川省内江市第二中学

14、校考阶段练习）若关于m 的二次根式5mm+有意义，且m为整数，若关于m 的分式方程1122xmxx+=的解为正数，则满足条件的所有m 的值的积为 11（2023 上江苏苏州八年级苏州市立达中学校校考期中）实数,a b c 在数轴上对应点的位置如图所示，化简()()22abcabc+12（2023 上广东深圳八年级深圳大学附属中学校考期中）已知正数 13a+=，正数b 的两个不同的平方根分别是62x 和37x，(1)求 a，b 的值；(2)求434ab的值13（2023 上江苏常州八年级校考阶段练习）有这样一类题目：将2ab化简，如果你能找到两个数m、n，使22mna+=且 mnb=，则将2ab

15、将变成222mnmn+，即变成()2mn开方，从而使得2ab化简例如，22252 6322 6(3)(2)2 23(32)=+=+=+，252 6(32)32=+=+，请仿照上例解下列问题：(1)52 6；(2)42 3+学科网（北京）股份有限公司14（2023 上四川遂宁八年级四川省遂宁市第二中学校校考阶段练习）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式265xx+的最小值()()22222652333534xxxxx+=+=+，且()230 x+，当3x=时，265xx+有最小值 4 请根据上述方法，解答下列问题：(1)若()2241xxxab+=+，则 ab 的值是_(2)求证：无论 x 取何值24xx+都有意义；(3)若代数式2210 xkx+的最小值为 2，求k 的值15（2017四川八年级阶段练习）我们已经学过完全平方公式()2222aabbab+=，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如22(2)=，23(3)=，27(7)=，200=，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求32 2的算术平方根解：22232 222 21(2)2 21(21)=+=+=，3 2 2 的算术平方根是2 1 你看明白了吗？请根据上面的方法化简：(1)32 2+(2)108 32 2+(3)32 252 672 1292 2011 2 30+