2022-2023学年度北师大版八年级数学上册第一章勾股定理定向测评试题（含详细解析）.docx

1、北师大版八年级数学上册第一章勾股定理定向测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、九章算术是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭

2、长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（）Ax2+52（x+1）2Bx2+102（x+1）2Cx252（x1）2Dx2102（x1）22、如图，在ABC中，AB6，AC9，ADBC于D，M为AD上任一点，则MC2MB2等于（）A29B32C36D453、勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年

3、在北京召开的国际数学大会选它作为会徽下列图案中是“赵爽弦图”的是（）ABCD4、如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处若AC3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）ABCD5、如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A10mB15mC18mD20m6、我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐水深、葭长各几何？ ”其大意是：如图，有一个水池，水面是 一个边长为 10 尺 (丈、尺是长度单位，1 丈10 尺) 的正方形，在水池正中央有

4、一根芦苇， 它高出水面 1 尺如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面水 的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意，所列方程正 确的是()A102(x1)2x2B102(x1)2 (x1)2C52(x1)2x2D52(x1)2 (x1)27、如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）A13米B12米C5米D米8、如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上若再选择一个格点C，使ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（）A2B4C5D69、观察“赵爽弦图”（如图），若图中

5、四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（）ABCD10、如图，将ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么ABC中BC边上的高是（）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A、B、C、D的面积之和为_2、一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC6米，水的深度（AB）为_米3、如图，点在正方形的边上

6、，若，那么正方形的面积为_4、我国古代的数学名著九章算术中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为_5、如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知a，b，c为ABC的三边，且满足a2c2b2c2a4b4，试

7、判定ABC的形状2、一架云梯长25m，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C离墙7m（1）这个梯子的顶端A距地面有多高?（2）如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?3、已知：整式A（n21）2+（2n）2，整式B0尝试化简整式A发现AB2求整式B联想：由上可知，B2（n21）2+（2n）2，当n1时，n21，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；直角三角形三边n212nB勾股数组8勾股数组354、拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和2

8、00m，又AB250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？5、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：MBN30，点A为射线BM上一点，且AB4，点C为射线BN上动点，连接AC，以AC为边在AC右侧作等边三角形ACD，连接BD当ACBN时，求BD的长小明发现：以AB为边在左侧作等边三角形ABE，连接CE，能得到一对全等的三角形，再利用EBC90，从而将问题解决（如图1）请回答：(1)在图1中，小明得到的全等三角形是 ；BD的长为 (2)动点C在射线BN上运动，当运动到AC时，求

9、BD的长；(3)动点C在射线BN上运动，求ABD周长最小值-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】首先设芦苇长x尺，则水深为（x1）尺，根据勾股定理可得方程（x1）252x2【详解】解：设芦苇长x尺，由题意得：（x1）252x2，即x252（x1）2故选：C【考点】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，从题中抽象出勾股定理这一数学模型2、D【解析】【分析】在RtABD及RtADC中可分别表示出BD2及CD2，在RtBDM及RtCDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果【详解】解：在RtABD和RtADC中，BD2AB2AD2，CD2A

10、C2AD2，在RtBDM和RtCDM中，BM2BD2MD2AB2AD2MD2，MC2CD2MD2AC2AD2MD2，MC2MB2（AC2AD2MD2）（AB2AD2MD2）AC2AB245故选：D【考点】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握3、B【解析】【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形【详解】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选B.【考点】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股

11、定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理4、B【解析】【分析】由勾股定理求出AB，设CD=x，则BD=4-x，根据求出x得到CD的长，利用面积求出答案【详解】解：ACB=90，由折叠得AE=AB=5，DE=BD，设CD=x，则BD=4-x，在DCE中，DCE=90，CE=AE-AC=5-3=2，解得x=1.5，CD=1.5，图中阴影部分的面积是，故选：B【考点】此题考查了折叠的性质，勾股定理，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键5、C【解析】【详解】树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，

12、AC=13m，这棵树原来的高度=BC+AC=5+13=18m故选C6、C【解析】【分析】设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据勾股定理，即可求解【详解】解：设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意得：52(x1)2 x2故选：C【考点】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键7、A【解析】【分析】根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可.【详解】如图所示，过D点作DEAB，垂足为E,AB=13，CD=8，又BE=CD，DE=BC，AE=ABBE=ABCD=138=5,在RtADE中，DE=BC=12, AD=13（负值舍去）,故小鸟飞行的最短路程为13m,故选

13、A.【考点】考查勾股定理，画出示意图，数形结合是解题的关键.8、D【解析】【分析】分三种情况讨论，当A=90，或B=90，或C=90时，分别画出符合条件的图形，即可解答【详解】解：分三种情况讨论，当A=90，或B=90，或C=90如图 符合条件的格点C的个数是6个故选：D【考点】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键9、C【解析】【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积可得问题的答案【详解】标记如下：，（ab）2a2+b24a22ab+b2故选：C【考点】此题考查的是利用勾股定理的证明，可

14、以完全平方公式进行证明，掌握面积差得算式是解决此题关键10、A【解析】【详解】先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.解：由勾股定理得：， ，即ABC是直角三角形，设BC边上的高为h，则，.故选A.点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键.二、填空题1、49【解析】【分析】根据正方形A，B，C，D的面积和等于最大的正方形的面积，求解即可求出答案【详解】如图对所给图形进行标注：因为所有的三角形都是直角三角形，所有

15、的四边形都是正方形，所以正方形A的面积，正方形B的面积，正方形C的面积，正方形D的面积因为，所以正方形A，B，C，D的面积和故答案为：49【考点】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质，面积的计算，掌握勾股定理是解本题的关键2、8【解析】【分析】先设水深x米，则AB=x，则有BD=AD+AB=x+2，由题条件有BD=BC=x+2，又根据芦节直立水面可知BDAC，则在直角ABC中，利用勾股定理即可求出x【详解】解：设水深x米，则AB=x，则有：BD=AD+AB=x+2，即有：BD=BC=x+2，根据芦节直立水面，可知BDAC，且AC=6，则在直角ABC中：，即：，解得x=8，即水深8米，故答案为8

16、【考点】本题考查了勾股定理的应用，从现实图形中抽象出勾股定理这一模型是解答本题的关键3、【解析】【分析】根据勾股定理求出BC，根据正方形的面积公式计算即可【详解】解：由勾股定理得，正方形的面积，故答案为【考点】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c24、x2（x3）282【解析】【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可【详解】解：设绳索长为x尺，根据题意得：x2（x3）282，故答案为：x2（x3）282【考点】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键5、2.5m【解析】【详解】设木棒的长为xm，根据

17、勾股定理可得：x2=22+1.52，解得x=2.5故木棒的长为2.5m故答案为2.5m三、解答题1、ABC为直角三角形或等腰三角形【解析】【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断ABC的形状【详解】解：a2c2b2c2=a4b4，a4b4a2c2+b2c2=0，（a4b4）（a2c2b2c2）=0，（a2+b2）（a2b2）c2（a2b2）=0，（a2+b2c2）（a2b2）=0得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，即ABC为直角三角形或等腰三角形2、（1）这个梯子的顶端距地面有高；（2）梯子的底部在水平方向滑动了【解析】【分析】（1）根据勾股

18、定理即可求解；（2）先求出BD，再根据勾股定理即可求解【详解】解：（1）由题意可知：，；，在中，由勾股定理得：，因此，这个梯子的顶端距地面有高（2）由图可知：AD=4m，在中，由勾股定理得：，答：梯子的底部在水平方向滑动了【考点】此题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意在直角三角形中，利用勾股定理进行求解3、A（n2+1）2，Bn2+1，15，17；12，37【解析】【分析】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答【详解】A（n21）2+（2n）2n42n2+1+4n2n4+2n2+1（n2+1）2，AB2，B0，Bn2+1，当2n8时，n4，n21421

19、15，n2+142+117；当n2135时，n6（负值舍去），2n2612，n2+137直角三角形三边n212nB勾股数组15817勾股数组351237故答案为：15，17；12，37【考点】本题考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知ABC的三边满足a2+b2=c2，则ABC是直角三角形4、（1）会受噪声影响，理由见解析；（2）有2分钟；【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间【详解】解：（1）学校C会受噪声影响理由：如图，

20、过点C作CDAB于D，AC150m，BC200m，AB250m，AC2+BC2AB2ABC是直角三角形ACBCCDAB，150200250CD，CD120（m），拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，学校C会受噪声影响（2）当EC130m，FC130m时，正好影响C学校，ED=50（m），EF502=100（m），拖拉机的行驶速度为每分钟50米，100502（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟【考点】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答.5、 (1)ABD，ACE，；(2)BD的长为；(3)4【解析】【分析】（1）根据

21、SAS可证ABDACE，得出BDCE，利用勾股定理求出CE即可得出BD的长度；（2）作AHBC于点H，以AB为边在左侧作等边ABE，连接CE，求出BH，HC即BC的长度，再利用勾股定理即可求出CE的长度，由（1）知BDCE，据此得解；（3）作AHBC于点H，以AB为边在左侧作等边ABE，延长EB至F，使BFEB，连接AF交BN于C，连接EC，此时BDAC有最小值即为AF，此时ABD周长AFAB最小，求出AF即可(1)解：ACD和ABE是等边三角形，EABDAC60，ADAC，EABBACDACBAC，即EACBAD，在ABD和AEC中，ABDACE（SAS），BDCE，AB4，MBN30，AC

22、2，BC，BDCE，故答案为：ABD，ACE，；(2)解：如下图，作AHBC于点H，以AB为边在左侧作等边ABE，连接CE，AB4，MAN30，AH2，BH，AC，HC ，BCBHHC，CE，由（1）可知BDCE，此时BD的长为；(3)解：如图，以AB为边在左侧作等边ABE，延长EB至F，使BFEB，连接AF交BN于C，连接EC， ECFCBD，此时BDAC有最小值即为AF，此时ABD周长ADBD+ABAFAB最小，作AGBE于G，AGBN，BAG30，BGAB2，AG，GFBGBF246，由勾股定理得AF，此时ABD周长为：4【考点】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键