小学数学讲义秋季五年级A版第6讲神奇的9优秀A版.pdf

1、1第 9 级下 优秀 A 版教师版第 6 讲漫画释义五年级暑假质数与合数进阶五年级秋季因数与倍数初步五年级秋季神奇的 9五年级寒假因数与倍数进阶五年级春季带余除法综合数字谜和数论的弃九法知识站牌第六讲 神奇的 92第 9 级下优秀 A 版教师版九，这个数字王国中的明珠，它太神奇，太美妙啦！得到人们最高的崇尚，最好的赞扬，最多的欣赏，最有情感的偏爱.看起来，它是一个很普通的数，只不过与完美的数 10 差 1，只不过是一个完全平方数，只不过是一个最大的个位数，但恰恰就这点原因，竟蕴藏着变幻无穷的秘密，在你随时随地的数字运算过程中，也许就会突然发现九之规律所在，你会为此兴奋不已，感叹不尽.可你要知道

2、，你这也仅仅是在九的奇妙独特性质的海岸上，拾到的一块小小的贝壳而已！要真正地全面了解九的神奇，九的美妙，无论是哪个数学爱好者，都必须进行艰苦的探索和顽强的钻研.那么我们今天就研究一下九到底神奇在什么地方？1、掌握加减法数字和与 9 的关系2、掌握多位数的计算中数字和与 9 的关系3、了解 9 在余数与数字谜中的应用9 的整除特征：一个数各数位数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除.1.在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 432是 9 的倍数.请随便填出一种，并检查自己填的是否正确.【分析】一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4 3 2 是 9 的倍数，

3、而 4 3 2 9,所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数依次填入 3、6，因为4 3 3 2 6 18 是 9 的倍数，所以 43326 是 9 的倍数.2.一个数字互不相同的四位数乘以 9 后，得到它的反序数，则原数为多少？【分析】10899=98013.计算：123456799【分析】123456799=111111111模块 1：例 1-2：加减法中数字和的关系模块 2：例 3：乘法中的数字和的关系例题思路知识点回顾教学目标课堂引入3第 9 级下 优秀 A 版教师版第 6 讲模块 3：例 4-5：同余的简单应用.通过枚举一些数回答下面的问题.(1)A 的数字之和为 5,B 的数字之

4、和为 3,则 A+B 的和的数字之和为_.(2)A 的数字之和为 15,B 的数字之和为 13,A+B 进位 1 次,则 A+B 的和的数字之和为_.(3)A 的数字之和为 15,B 的数字之和为 13,A-B 没有借位,则 A-B 的差的数字之和为_.(4)A 的数字之和为 15,B 的数字之和为 13,A-B 借了 1 次位,则 A-B 的差的数字之和为_.通过上面几道例题,你能否总结出数的加减与数字之和或差的关系.（学案对应：学案 1）【分析】(1)5+3=8,14+12=26,104+3=107,可发现结果为 5+3=8;(2)591+58=649,555+904=1459,可发现结果

5、为 15+13-9=19(3)555-535=20,5127-4126=11,可发现结果为 15-13=2(4)555-418=137,5622-5503=119,可发现结果为 15-13+9=11结论:(1)若 A 的数字之和为 x,B 的数字之和为 y,A+B 进位 k 次,则和的数字之和为 x+y-9k(2)若 A 的数字之和为 x,B 的数字之和为 y,A-B 借位 k 次,则差的数字之和为 x-y+9k原因:求和时,会将低位的 10 当成高位的 1 用,因此数字和会减少 9;求差时,会将高位的 1当成低位的 10 用,因此差的数字之和会增加 9.想想练练：A 的数字之和为 46,B

6、的数字之和为 54,A+B 进位 9 次,则 A+B 的和的数字之和为_.【分析】46+54-99=19【拓展】A 的数字之和为 46,B 的数字之和为 54,A 与 B 作差（大减小）时，有 3 次借位.那么差的各位数字之和可能为多少？【分析】当 A 大时，数字之和为 46-54+93=19；当 B 大时，数字之和为 54-46+93=35如下式,从 1-9 中选出 6 个不同的数字填入方框中,使竖式成立,则方框中的 6 个数字之和为_1 2 0 9 （学案对应：学案 2）【分析】由加法的运算性质可知，这个竖式中，十位，百位相加均进位了，因此共进位 2 次，由例1 的结论可知：原来六个数字之

7、和为 1+2+9+92=30.构造如下：235+974=1209.（仅需构造一组即可）此题为例 1 的逆用.想想练练：如下式,在方框中填入 6 个数字（可重复）,使竖式成立,则方框中的 6 个数字之和为_1 4 8 9 【分析】个位没有进位，百位进位 1 次，十位可能进位（9+9），也可能不进位，因此有 2 种可能.（1）当十位进位时，整个式子共进位 2 次，六个数字之和为 1+4+8+9+92=40.构造如下：例 2例 14第 9 级下优秀 A 版教师版694+795=1489；（2）当十位不进位时，整个式子共进位 1 次，六个数字之和为 1+4+8+9+91=31.构造如下：614+875

8、=1489.【拓展】在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的 7 个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的 7 个数字的和等于_赛第 十 一0华 杯20届6+【分析】法 1：显然十位和百位都出现了进位，所以有以下的等式：“第”=1，“十”“华”=9，如果“届”“赛”没有出现进位，那么“一”“杯”=10，“届”“赛”=6，那么“届”和“赛”一个是 2另一个是 4，那么“一”“杯”中有一个小于 5 的数必然是 3，另一个是 7，这样的话就不存在不重复的“十”和“华”使它们的和是 9，所以“

9、届”“赛”必定出现进位由于“届”“赛”出现进位，那么“一”“杯”=9，“届”“赛”=16，所以 7 个汉字代表的 7 个数字之和等于1991635经过尝试“十”、“华”、“一”、“杯”、“届”、“赛”分别是 3、6、4、5、7、9 时可满足条件(答案不止一种)法 2：本题也可采用弃九法由于2006第十一届 华杯赛，所以 第 十 一 届 华 杯 赛+除以 9 的余数等于 2006 除以 9 的余数，为 8由于“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的 7 个数字，且不同的汉字代表不同的数字，假设 19 中的另外两个数为 a 和b，那么 45ab第 十 一 届 华

10、 杯 赛+，故45ab除以 9的余数为 8，则ab除以 9 的余数为 1由题意可以看出“第”1，所以 a、b 不能为 1，则 2028917ab，其中满足除以 9 余 1 的只有 10，所以10ab，45451035ab第 十 一 届 华 杯 赛+5第 9 级下 优秀 A 版教师版第 6 讲（1）111111 999999 乘积的各位数字之和为_.（2）33333336666666乘积的各位数字之和为_.（3）1993123999999 乘积的各位数字之和为_.（4）k9999.9M 个(其中 M 为自然数，且 Mk9999.9个)乘积的各位数字之和为_（5）1989119891111.11

11、111.11个个乘积的各位数字之和为_.（学案对应：学案 3）【分析】（1）法1：观察可以发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中 999999 很接近 1000000,于是我们采用添项凑整，简化运算.原式=111111(1000000-1)=1111111000000-1111111=111111000000-111111=111110888889数字之和为 9654法 2：原式=111111(1000000-1)=1111111000000-1111111=111111000000-111111两式相减，借位 6 次，所以差的数字之和为 6-6+96=54（2）法 1：本题可用找规律方法

12、：36=18；33 66=2178；333 666=221778；3333 6666=22217778；例 3神奇的九九，是我们中华民族所崇拜的数字，在中国古代人们的观念中，将天称为“九天”、“九重”、“九霄”；将地划为“九州”、“九域”；将宗庙称为“九庙”；道路谓之“九陌”；山有“九崇”；水曰“九河”；地有“九泉”；人分“九级”；官为“九品”。在古乐古诗中有九辩、九喜、九歌、九章等。九在中国人的心中竟拥有如此神奇的地位；作为一个数学爱好者，应该去深入探索它的本质及其它美妙的蕴意。易经上说，九数含有吉祥的意思，如果按照阴阳来说，奇数为阳，偶数为阴，而九是阳数中最大的，称为极阳数。十是一个完美的

13、数，而九接近十而不到十，具有很强的倾向性，数字只有十个，而九是最大的一个，故为数字之极，寓义崇高。也许，就是这个原因，九有着最多的奇妙特点，最多的趣味性质。九有一个非常奇妙的性质，是其它数字所没有的。如果要求一个自然数除以九的余数，则只要将这个数各位数字相加，其和除以九的余数，就是这个自然数除以九的余数。九的这一奇妙特点，总使数学爱好者十分着迷，许多趣味数学游戏，都与九的这一规律有关。数学老师常用“弃九”法验算学生的算式是否有误。九的倍数的各位数字之和也一定是九的倍数，可知九的倍数是一个非常和谐圆满的数系。6第 9 级下优秀 A 版教师版所以：3633.366.6n个n个 2722.2177.

14、78(n-1)个(n-1)个，则原式数字之和26176863法 2：原式99999992222222(100000001)222222222222220000000222222222222217777778所以，各位数字之和为7963法 3：原式99999992222222(100000001)2222222222222200000002222222两式相减，借位 7 次，所以差的数字之和为 6-6+97=63（3）我们可以先求出 1993123 的乘积，再计算与(1000000-1)的乘积，但是 1993123还是有点繁琐设 1993123=M，则(1000123=)123000M(2000

15、123=)246000，所以 M 为 6 位数，并且末位不是 0；令 M=abcdef则 M999999=M（1000000-1）=1000000M-M=000000abcdef-abcdef相减时借位 6 次，所以差的数字之和为（a+b+c+d+e+f）-（a+b+c+d+e+f）+69=54（4）k90999.91000kMMM个个相减时借位 k 次，因此差的数字之和为：M 的数字之和-M 的数字之和+9k=9k（5）198911989119891989119891111.11 111.11999.99 111.11999.999N个个个9个个9，其中 N1989999.99个9所以198

16、9119891111.11 111.11个个的各个位数字之和为：91989=17901（学生版中仅有 1，2，3 题）根据整除的特征，我们知道一个数能否被 9 整除，只需要看其各个数字之和即可.而一个数除以 9 的余数，也可以用其各个数字之和除以 9 计算.例如 7129 的余数与（7+1+2）9 的余数是一样的.通过以上文字，判断以下（1）（2）（3）题各数除以 9 的余数分别是多少？（整除时，余数认为是 0）（1）57，359，687，2457，35698，123456789（2）1234567891099（3）13579111399（4）1234567891020122013 的数字之和

17、为 A，A 的数字之和为 B，直到某个数字之和为一位数为止，则这个一位数是_.【分析】（1）除以 9 的余数可以在数中将和为 9 的数直接划去，再用剩下的数计算余数.结果分别为：3，8，0，0，4，0（2）任意连续 9 个自然数之和必定是 9 的倍数，因此在连续数求除以 9 的余数时，可以连接 9 个数直接划去.99 可以分成 11 组连续 9 个数.因此余数为 0.（3）等差数列中 9 个连续的也可以直接划去.1 到 99 中的奇数共 50 个.509 余数为 5，最终剩下 5 个数，设剩下前 5 个，而 135799 余 7，因此余数为 7.（4）实际是求除以 9 的余数.20139 余

18、6，剩下前 6 个数.而 1234569 余 3，因此最后例 47第 9 级下 优秀 A 版教师版第 6 讲剩下的一位数为 3.【拓展】1234567891011199920009 的余数是_.【分析】任意连续 9 个自然数之和必定是 9 的倍数，因此在连续数求除以 9 的余数时，可以 9 个数直接划去.20009 余 2，剩下前 2 个数 1，2，因此余数为 3【拓展】将从 1 开始的到 103的连续奇数依次写成一个多位数：a=135791113151719219799101103.则数 a 共有_位，数 a 除以 9 的余数是_.【分析】法 1：一位的奇数有 5 个，两位的奇数有 45 个

19、，再加 2 个三位奇数，所以 a 是一个5+245+32=101（位）数.从 1 开始的连续奇数被 9 除的余数依次为 1，3，5，7，0，2，4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，从 1 开始，每周期为 9 个数 1，3，5，7，0，2，4，6，8 的循环.因为（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被 9 除余数为 0，从 1-89 恰为 5 个周期，所以这个 101 位数 a 被 9 除的余数为 1+3+5+7+0+2+4 被 9 除的余数，等于 4.法 2：一个自然数被 9 除的余数和这个自然数所有数字之和被 9 除的余数相同，利用这条性质，a=1357911131517192

20、19799101103 中 13579 的数字和被 9 除的余数是 7，而1113151719219799 所有数字之和被 9 除的余数是 0，101103 的数字和被 9 除的余数是6.所以，a 被 9 除的余数是（7+6）被 9 除的余数，是 4.（1）从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 10 个数字中，选出 9 个不同数字填入下面的方框中，使等式成立，则其中未被选中的数字是_.+=2010（2）将 0-9 放入下面的 10 个方框中，使等式成立，则减数处的数字是_.+=2010（3）下面算式由 19 中的 8 个组成，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字.那么“

21、数学解题”与“能力”的差的最小值是_.（学案对应：学案 4）【分析】（1）根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差 9 的整数倍由于 2010 的各位数字之和为 3，而 0+1+2+9=45，所以应该从中去掉 6（2）设减数为 x，则左边等于+x-2x，除以 9 的余数与 45-2x 除以 9的余数相同.右边的余数是 3，当 x=3 时，左右余数会相等.所以减数处的数字是 3.（3）9 个数字选 8 个，即有一个数字未选.设未选的数字为 x，则 45-x 除以 9 的余数与 2010除以 9 的余数相同.当 x=6 时成立，即未选中的数字为 6.这样加数的数字之和为 4

22、5-6=39，而和的数字之和为 3，差为 36，即进位 4 次.为了“数学解题”与“能力”的差最小，则“数学解题”越小越好.由进位可知，当十位向百位进 2 时，“数学”最小.其他的个位向十位进 1，百位向千位进 1.之后构造出一种答案.184295732010于是差最小为 1842-95=1757.例 58第 9 级下优秀 A 版教师版注：最大值时，十位向百位进 1，其他的个位向十位进 2，百位向千位进 1.之后构造出一种答案.194825372010差最大为 1948-25=1923想想练练：从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 10 个数字中，选出 9 个不同数字填入下面的方框中

23、，使等式成立，则其中未被选中的数字是_.+=2013【分析】根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差 9 的整数倍由于 2013 的各位数字之和为 6，而 0+1+2+9=45，所以应该从中去掉 3把 0，1，2，8，9 这 10 个数字填到下列加法算式中四个加数的方格内，要求每个数字各用一次，那么加数中的三位数的最小值是多少？2007【分析】从式中可以看出，千位上的方框中的数为 1，那么百位上两方框中的数再加上低位进位的和为 10由于三位数的百位上不能为 1 和 0，所以要使三位数最小，它的百位应该为 2，十位应该为 0那么十位向百位的进位为 1，所以四位数的百位为

24、7，且十位上三个方框中的数之和再加上个位的进位的和为 10又剩下的数字 3，4，5，6，8，9 中除 3+4+5+6=18只向十位进 1 外，其余任选四数字的和都大于 20，由于3456的尾数不为 7，所以个位上四个数字不能是 3，4，5，6，所以个位向十位进位为 2，也就是十位上的三个方框中的数的和为 8(其中有一个为 0)，而剩下的 3，4，5，6，8，9 中只有 3+5=8，所以个位上杯赛提高数字谜有人写了一个横式：ABCDEFF=999999,不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，那么六位数 ABCDEF 是多少？答：ABCDEF=1428579第 9 级下 优秀 A 版

25、教师版第 6 讲的四个方框中的数为 4，6，8，9，那么加数中的三位数最小为 204.结论 1：(1)若 A 的数字之和为 x,B 的数字之和为 y,A+B 进位 k 次,则和的数字之和为 x+y-9k(2)若 A 的数字之和为 x,B 的数字之和为 y,A-B 借位 k 次,则差的数字之和为 x-y+9k结论 2：k9999.9M 个(其中 M 为自然数，且 Mk9999.9个)乘积的各位数字之和为 9k.1.A 的数字之和为 100,B 的数字之和为 50,A-B 借了 5 次位,则 A-B 的差的数字之和为_.【分析】100-50+59=952.下边的加法算式中，每个“”内有 1 个数字

26、，所有“”内的数字之和最大可达到【分析】法 1：末尾和最大 24，十位和最大 18，百位和最大 18，24+18+18=60法 2：三个数字相加，最高可进 2 位.上式中均可进 2 位，因此方框内的数字之和最大为2+4+96=603.993555333个5个乘积的各位数字之和为_.【分析】3995555553339999993N 9个59个59个9个9个，N 为整数，由结论可知乘积的各位数字之和为 99=81.4.将 1 至 20 这 20 个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：123456789101112131920，试求这个多位数除以 9 的余数.【分析】209 余 2，留下

27、前 2 个数.129 余 3.因此最终的余数为 35.从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 10 个数字中，选出 9 个不同数字填入下面的方框中，使等式成立，则其中未被选中的数字是_.+=3102知识点总结家庭作业10第 9 级下优秀 A 版教师版【分析】根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差 9 的整数倍由于 3102 的各位数字之和为 6，而 0+1+2+9=45，所以应该从中去掉 36.将数字 1 至 9 分别填入下边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是多少？12008【分析】9 个方框中的数之和为 45三个加数的个

28、位数字之和可能是 8，18；十位数字之和可能是 9，10，19，20；百位数字之和可能是 8，9，10，其中只有1819845所以三个加数的个位数字之和为 18，十位数字之和为 19，百位数字之和为 8要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填 1，十位填 2，此时另两个加数的百位只能填 3，4；则四位数的加数个位可填 5，另两个加数的十位可填 8，9，个位可填 6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是 1125【学案 1】甲数各位数字之和是 9，乙数各位数字之和是 10，当甲数作为被减数，乙数作为减数，用竖式做减法运算时，有 2 次借位.那么甲乙两数之差的各位数字之和是_.【分析】9-10+

29、29=17【学案 2】如下式,从 1-9 中选出 6 个不同的数字填入方框中,使竖式成立,则方框中的 6 个数字之和为可能为多少？1 0 8 7 【分析】百位相加进位 1 次，（1）若个位相加不进位，则十位也不可能进位（18=9+9，数字重复）此时整个式子相加仅有一次进位，因此加数的数字之和为 1+8+7+91=25.构造如下：123+964=1087.（2）若个位相加进位，必是 9+8=17，十位不可能再相加为 17 了，因此十位向百位没有进位，此时整个式子相加有 2 次进位，因此加数的数字之和为 1+8+7+92=34.构造如下：429+658=1087【学案 3】666666623423

30、4 乘积的各位数字之和为_.【分析】6666666234234=3333333468468=9999999156156，根据结论，数字之和为 79=63.【学案 4】在下面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数华杯初赛 的最大值是.A 版学案11第 9 级下 优秀 A 版教师版第 6 讲2011兔年十六届华杯初赛【分析】显然华=1.总共有 9 个数字，也就是说 0 到 9 中有一个不能用，根据弃九法，5 不能用.每进一位数字和减少 9，0+1+2+3+4+6+7+8+9-(2+0+1+1)=36，所以共进 4 位.所以个位和十位之一需要进两位，有两种可能：(1)个位数字之和为 11，十位数字之和为 20，百位数字之和为 8；(2)个位数字之和为 21，十位数字之和为 9，百位数字之和为 9.为了让“华杯初赛”尽量大，“杯”应尽量大，“十”应尽量小.“十”最少为 2，优先考虑情况(2)，此时“杯”可以等于 7.剩余数字 0，3，4，6，8，9，个位和为 21 的显然是 4+8+9，十位和为 9 的剩下 0+3+6，所以最大为 1769.不必再考虑(1)了.