小学数学讲义秋季四年级A版第5讲环形跑道优秀A版.pdf

1、第 5 讲1第 7 级下优秀 A 版教师版四年级暑假相遇问题四年级暑假追及问题四年级秋季环形跑道四年级秋季火车过桥四年级春季相遇与追及综合简单的环形跑道中的相遇与追及漫画释义知识站牌第五讲环形跑道第 7 级下优秀 A 版教师版2同学们都跑过步对吧？那你们也知道，现在的跑道大多都是圆形的，但是你们知道最早的田径跑道是什么形状吗？最早的田径跑道是长方形的直跑道，一圈一两百米.终点线会有一根绳子，抓住绳子就算到达终点.之后又慢慢演变成了马蹄型的运动场，这样的场地一直沿用到了早期的奥运会上.二十世纪初，又演变成半圆式场地，这种场地一直沿用到现在.在这期间还出现过篮曲式和三圆心式场地.目前世界各国都采用

2、半圆式田径场地.你们知道吗?一开始半圆式田径场地的周长不统一，给场地的测量带来了很大的麻烦.以洛杉矶奥运会为例，在洛杉矶奥运会的 200 米比赛中，由于测量问题，所有运动员都多跑了2 米.直到第七届现代奥运会才确定为 400 米，两个半圆的半径 r 有 36 米的，有 37.898 米的，目前国际田联建议标准田径场地两个半圆的半径最好修建成 36.50 米.然而内圈是 400 米的跑道，外圈究竟差了多少呢？一条跑道宽 1.25 米.八条跑道就差了 10 米长，一圈下来可就差了接近 62.8 米.今天就让我们一起来研究环形跑道问题.1、进一步学习行程问题，强化学生的行程概念.2、掌握如下两个关系

3、：（1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次.（2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次.3、熟练运用线段图解决行程问题.环形跑道问题的本质就是相遇与追及.当两人同向运动时就是追及问题，追及距离就是环形跑道周长的倍数与二人初始距离之和；初次追及的追及距离就是二人初始距离.一旦追上之后，二人相当于从同时同地同向而行，再往后每一次追及的时间都是一样的，追及距离都是跑道周长.当二人反向运动时就是相遇问题，相遇距离也是环形道路周长的倍数与二人初始距离之和；初次相遇的相遇距离就是二人初始距离.一旦相遇之后，二人相当于从同时同地反向而行，再往后每一次相遇

4、的时间都是一样的，相遇距离都是跑道周长.对于环形跑道上的多人问题，要学会寻找不同的人之间的相遇追及关系，建立一系列等量关系求解；对于环形跑道上的多次相遇或追及问题，要善于用路程和去分析，进一步巩固路程、速度、时间三者之间的关系.环形跑道问题还是一类周期问题，许多问题需要借用周期问题的方法解决.经典精讲教学目标课堂引入第 5 讲3第 7 级下优秀 A 版教师版1、甲乙两人在相距 300 米的 A、B 两地相向而行，甲的速度是 60 米/分，乙的速度是 40 米/分，两人多久之后第一次相遇？【分析】300（60+40）=3 分2、甲乙两人同时从 A 点出发沿相反方向在一条笔直的公路上行走，已知甲的

5、速度是 60 米/分，乙的速度是 40 米/分，10 分钟后两人相距多远？【分析】（60+40）10=1000 米3、甲乙两人在一条笔直的公路上比赛跑步，两人同时从 A 点出发，同向而行.甲的速度是 60 米/分，乙的速度是 40 米/分，问 10 分钟后两人相距多远？【分析】（60-40）10=200 米4、小红从家去学校，每分钟走 60 米，走了 10 分钟后，妈妈发现小红忘了带课本，立即骑车去追她，妈妈每分钟走 100 米，问妈妈追上小红需要几分钟？【分析】6010（100-60）=15 分模块一：环形跑道中的相遇问题.(例 1，例 2)模块二：环形跑道中的追及问题（例 3，例 4）模块

6、三：综合运用（例 5）小张和小王各以一定速度，沿相反方向在环形跑道上跑步小王的速度是 160 米/分 小张的速度是 120 米/分，从同一地点出发 10 分钟后两人相遇.（1）环形跑道的周长是多少米？（2）两人继续前行，第二次相遇需要多少分钟？（3）从第一次相遇到第 3 次相遇一共用了多少分钟？（4）到第 10 次相遇两人共走几圈，共用多长时间？【学案对应：1】【分析】（1）（160+120）10=2800 米.（2）第二次相遇两人还是合走一圈，速度不变，所以时间还是 10 分钟.（3）3 次相遇共用了 210=20 分钟.知识点回顾例题思路例 1第 7 级下优秀 A 版教师版4（4）10 次

7、共走了 10 圈，一共用了 100 分钟.此题老师可以列表总结：环形跑道中的同地相遇存在周期问题，n 次相遇，走了 n 圈，所用的总时间=每圈的时间 n想想练练：一个圆形操场跑道的周长是 500 米，两个学生同时同地背向而行大齐每分钟走 66 米，胡胡每分钟走 59 米经过几分钟才能相遇?【分析】大齐和胡胡每分钟共行 6659125（千米），那么周长跑道里有几个125 米，就需要几分钟，即500(6659)500 1254（分钟）一个圆形操场跑道的周长是 400 米，两个学生同时从相距 200 米的 A、B 两地出发，背向而行，已知甲的速度是 60 米/分，乙的速度是 40 米/分，（1）经过

8、多久两人第一次相遇？（2）又经过多久两人第二次相遇？（3）又经过多久两人第三次相遇？（4）到第 10 相遇两人一共用了多少分钟？（5）50 分钟内两人相遇几次，共跑几圈？【学案对应：2】【分析】（1）200（60+40）=2 分（2）400（60+40）=4 分（3）400（60+40）=4 分（4）2+94=38 分（5）（50-2）4+1=13 次，共跑了 12 圈.学校有一长 300 米的环形跑道，青青和小胖同时从起跑线起跑，青青每秒跑6 米，小胖每秒钟跑 4 米，（1）经过多久青青第一次追上小胖？（2）青青第一次追上小胖时两人各跑了多少米？多少圈？（3）青青第二次追上小胖共花了多长时间

9、？（4）当青青第二次追上小胖时两人各跑了多少圈？（5）当青青第 20 次追上小胖时，两人各跑了多少圈？【学案对应：3】【分析】（1）300(6-4)=150 秒（2）青青：1506=900 米=3 圈，小胖：1504=600 米=2 圈.（3）1502=300 秒.（4）青青：9002300=6 圈，小胖：6002300=4 圈（5）青青：320=60 圈，小胖：220=40 圈.此题老师可以列表总结：环形跑道中的同地追及存在周期问题，n 次追及，多走了 n 圈，所用的总时间=每次追及的时间 n想想练练：小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑 250 米，正南每分钟跑 210 米，一圈跑道长

10、 800 米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？例 3例 2第 5 讲5第 7 级下优秀 A 版教师版【分析】小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据 Sv t差差，可知小新第一次超过正南需要：80025021020（）(分钟)，第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要800 325021060（）(分钟)如下图，在 400 米的环行跑道上，A，B 两点相距 100 米.甲、乙两人分别从 A，B 两点同时出发，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，(1)如果两人都沿顺时针方向跑，1)经过多长时间甲第一次追上乙？2)到第二次追上乙时经过多长时间?第三次呢？(2)如果两人逆时

11、针方向跑，1)经过多长时间甲第一次追上乙？2)到第二次追上乙时经过多长时间?BA莫比乌斯环数学史上流传着这样一个故事：有人曾经提问，用一张白色长纸条首尾相粘做成一个纸圈，然后给纸圈涂上颜色，要求用同种颜色涂同一个面，不同的颜色涂不同的面，最后能否把整个纸圈涂成一种颜色，不留下一点空白？对于这样一个看似简单的问题，几百年间，曾有许多科学家进行了研究，结果都没有成功.后来，德国数学家莫比乌斯对此发生了浓厚的兴趣，然而长时间的研究试验也没有得到什么结果.有一天，他去野外散步，头脑中仍然在思考着那个神奇的圆环.在他眼中，看到田野里一片片肥大的玉米叶子就好像绿色的纸条一样.他不由自主地蹲下来，摆弄着、观

12、察着.玉米叶子弯曲着耷拉下来，有许多是拧成一个圈的，呈半圆形.他摘下一片，顺着叶子的方向自然地对成一个圈，他发现这正是他想要的.他立刻赶回了办公室，将裁好的纸条一端扭转了 180 度后环成一个圈儿，再粘在一起，神奇地形成了他想要的圆环.他将一只小甲虫放在上面爬，小虫爬遍了整个圆圈.他不禁惊喜地说：“公证的小甲虫，你证明了这个圈只有一个面.”这个简单而又奇妙的纸圈，竟然震动了整个科学界，人们叫它莫比乌斯环.例 4第 7 级下优秀 A 版教师版6【分析】（1）第一次 100（5-4）=100 秒；第二次 400（5-4）+100=500 秒；第三次 500+100=600秒.(2)第一次 300（

13、5-4）=300 秒；第二次 400（5-4）+300=700 秒；第三次 700+300=1000秒.两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑 200 米，两人同时同地同向出发，经过 45 分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？【学案对应：4】【分析】在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度环形道一周的长度可根据两人同向出发，45 分钟后甲追上乙，由追及问题，两人速度差为：25020050(米/分)，所以路程差为：50452250(米

14、)，即环形道一圈的长度为 2250米所以反向出发的相遇时间为：22502502005（）(分钟)想想练练：在 400 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行 3 分 20 秒相遇，如果背向而行40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？【分析】甲乙的速度和为：4004010(米/秒)，甲乙的速度差为：4002002(米/秒)，甲的速度为：10226（）(米/秒)，乙的速度为：10224（）(米/秒)在 400 米的环行跑道上，A，B 两点相距 100 米.甲、乙两人分别从 A，B 两点同时出发，按逆史密斯先生计划驾驶汽车从芝加哥去底特律，然后返回.他希望整个往返旅行的平均

15、速度为每小时 60 英里，然而在抵达底特律的时候，他发现他的平均速度只达到每小时 30 英里.为了把往返旅行的平均速度提高到每小时 60 英里，史密斯先生在返回时的平均速度必须是每小时多少英里呢？【答案】史密斯先生根本没有办法把他的平均速度提高到每小时 60 英里.因为在抵达底特律的时候，史密斯先生已经走过了一定的距离，这花去了他一定的时间.如果他要把他的平均速度翻一番，他应该在同样的时间中走过上述距离的两倍.很明显，要做到这一点，他必须不花任何时间便回到芝加哥，显然这是不可能的.杯赛提高例 5第 5 讲7第 7 级下优秀 A 版教师版时针方向跑步.甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑

16、 100 米，都要停 10 秒钟.那么甲追上乙需要多少秒？【分析】甲实际跑 100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑 100/5=20（秒），休息 10 秒；乙跑 100/4=25（秒），休息 10 秒，甲实际跑 100 秒时，已经休息 4 次，刚跑完第 5 次，共用 140 秒；这时乙实际跑了 100 秒，第 4 次休息结束.正好追上.1.环形跑道中的相遇问题如果同地出发，则每相遇一次合走一圈.如果不同地出发，则第一次相遇的路程和为二人初始距离（注意方向），第二次以后就转化为同地相遇的问题.2.环形跑道中的追及问题如果同地出发，则每追上一次就多跑一圈.如果不同地出发，则第一次追及的路程

17、差为二人初始距离（注意方向），第二次以后就转化为同地追及问题了.1.一个圆形操场跑道的周长是 500 米，两个学生同时同地背向而行黄莺每分钟走 66 米，麻雀每分钟走 59 米经过几分钟才能相遇?【分析】黄莺和麻雀每分钟共行 6659125（千米），那么周长跑道里有几个125 米，就需要几分钟，即500(6659)500 1254（分钟）2.上海小学有一长 400 米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑 6 米，小胖每秒钟跑 4 米，(1)小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？(2)小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？【分析】第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要 400(6

18、4)200秒，小亚跑了 62001200（米）.小胖跑了4200800（米）；第一次追上时，小胖跑了2 圈，小亚跑了3 圈，所以第二次追上时，小胖跑4 圈，小亚跑6 圈.3.一条环形跑道长 400 米，甲骑自行车每分钟行 450 米，乙跑步每分钟行 250 米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人第一次相遇？【分析】4004502502（）(分钟)4.一条环形跑道长 400 米，小青每分钟跑 260 米，小兰每分钟跑 210 米，两人同时出发，经过多少分钟两人相遇？【分析】小青每分钟比小兰多跑 50 米一圈是 400 米 40050=8（分），所以跑 8 分钟家庭作业知识点总结第 7 级下

19、优秀 A 版教师版85.如图：在 400 米的环行跑道上，A，B 两点相距 100 米.甲、乙两人分别从 A，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步.甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，甲用多长时间第一次追上乙？BA100【分析】100（5-4）=100 秒.6.两人在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发反向而行，小明每秒跑 3 米，小雅每秒跑 4 米，45 秒后两人相遇.如果同向而行，几秒后两人再次相遇？【分析】（4+3）45=315 米环形跑道的长（相遇问题求解）315（4-3）=315 秒【A 版学案 1】有一条圆形跑道长 600 米，小明和小林在同一地点同时出发，沿跑道背向而行.小明每分钟行

20、 90 米，小林每分钟行 60 米.20 分钟后，两人相遇了次.【分析】行程问题：环形跑道相遇.小明和小林第 1 次相遇共用 600（9060）4 分钟，相遇后两人又在同一地点同时出发，沿跑道背向而行；所以经过 20 分钟后，两人共相遇了 2045 次【A 版学案 2】在周长为 2160 米的环形跑道上，小天和小云两人分别站在相距 1080 米的 A、B 两点，沿相反方向同时起跑，小天的速度是 240 米/分，小云的速度是 300 米/分，几分钟后两人第一次相遇？第二次呢？【分析】第一次：1080（240+300）=2 分，第二次 2+4=6 分.【A 版学案 3】成才小学有一条 200 米长

21、的环形跑道，包包和昊昊同时从起跑线起跑，包包每秒钟跑 6 米，昊昊每秒钟跑 4 米，问包包第一次追上昊昊时两人各跑了多少米，第一次追上昊昊时两人各跑了多少圈？【分析】包包第一次追上昊昊所需要的时间：200（6-4）=100（秒）包包第一次追上昊昊时他所跑的路程应为：6100=600（米）昊昊第一次被追上时所跑的路程：4100=400（米）包包第 1 次追上昊昊时所跑的圈数：600200=3（圈）昊昊第 1 次被追上时所跑的圈数：400200=2（圈）【A 版学案 4】在长 300 米的环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每 12 分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔 4 分钟相遇一次，问两人跑一圈各需要几分钟？【分析】速度和=30012=25 米/秒，速度差=3004=75 米/秒，则两人的速度分别为 50 米/秒和 25 米/秒，那么两人各跑一圈则需要 30050=6 分，30025=12 分.A 版学案