山东省济宁市邹城市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题 扫描版含答案.pdf

1、20212022 学年第一学期期中质量检测 高二期中数学试题参考答案（1/8）高二数学试题参考答案 2021.11 一、单项选择题：(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分)题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C D A D B C D B 二、多项选择题：(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)题号9 10 11 12 答案AB ACD BCD BD 三、填空题：(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)13.45 14.20 xy 15.8 ；12 16.4 3535 四、解答题：（本大题共 6 个小题，共 70 分）17.证明：【方法一】在平行六

2、面体1111ABCDA BC D中，连接 EF，FB，1A B 1 分 因为11123A EA D，123A FFC，所以111112253EFA FA EACA D 2 分 11111112253A BA DA AA D 111112245515A BA AA D；4 分 11111125FBA BA FA BA AAC 5 分 1111111125A BA AA BA DA A 11111332555A BA AA D，7 分 显然，23EFFB，所以 EFFB.9 分 又 EFFBF，所以 EFB，三点共线10 分 EF1CBACD1B1A1D20212022 学年第一学期期中质量检测

3、高二期中数学试题参考答案（2/8）【方法二】证明：在平行六面体1111ABCDA BC D中，连接 EFFB，.1 分 由题意，11123A EA D，123A FFC，易得11EFA FA E 3 分 112(3 FCA D）2(3 FCBC）22(33FCCBFB）=，7 分 所以 EFFB.8 分 又 EFFBF，9 分 故 EFB，三点共线.10 分 18.解：（）因为 M 为线段 AB 中点，且 3,0,1,0AB，则M 1,0.1 分 又点0,2C，所以20201CMk，3 分 所以直线CM 的方程为220yx，即 220 xy.5 分【说明：结果或写成斜截式方程22yx】（）【方

4、法一】设,D x y.因为 A,B,D 三点不共线，所以0y.6 分 因为 ADBD，其斜率均存在，所以1ADBDkk .7 分 又3ADykx，1BDykx，9 分 所以131yyxx,10 分 化简，得22230 xyx.所以Rt ABD直角顶点 D 的轨迹方程为22230 xyx 0y.12 分【方法二】设,D x y.因为 A,B,D 三点不共线，所以0y.6 分 易得3,1,ADxyBDxy，7 分 因为 ADBD，所以 ADBD，从而0AD BD，9 分 即 3,1,0 xyxy，整理，得22230 xyx.11 分 EF1CBACD1B1A1D20212022 学年第一学期期中质

5、量检测 高二期中数学试题参考答案（3/8）故Rt ABD直角顶点 D 的轨迹方程为22230 xyx 0y.12 分【方法三】由（）知，AB 的中点为 M 1,0.6 分 依据直角三角形的性质得122MDAB，7 分 由圆的定义知，动点 D 的轨迹是以 M 1,0为圆心，2 为半径的圆.9 分 因为 A,B,D 三点不共线，所以0y，10 分 所以Rt ABD直角顶点 D 的轨迹方程为22140 xyy.12 分 19.证明：【方法一】依题意，以点 A 为原点，ABAD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.1 分 易得 0,0,0A，1,0,0B，2,2,

6、0C，0,2,0D，0,0,2P.2 分 由 E 为棱 PC 的中点，得1,1,1E.3 分（）易得0,1,1BE，2,0,0DC，5 分 所以0BE DC，所以 BEDC，即 BEDC.6 分（）连接 AH.由 H 为棱 PD的中点，得0,1,1H.因为 0,0,0A，所以0,1,1AH.7 分 由点 M 为棱 PB 的中点，得1,0,12M.8 分 因为4PCPN，且2,2,2PC，所以11 11,42 22PNPC，【这里可另解：因为4PCPN，E 为 PC 的中点，所以 N 为 PE 的中点.】从而可得1 1 32 2 2N，（）9 分 所以1 10,2 2MN，10 分 显然2AHM

7、N，所以 AHMN，11 分 故 MNHA、四点共面，即点 A在平面 MNH 内.12 分【方法二】依题意，以点 A 为原点，DA,AB,AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.1 分 图CEPABM DHNyxzCEPABMDHNyxz图20212022 学年第一学期期中质量检测 高二期中数学试题参考答案（4/8）【以下过程略述，考生只要解题步骤合理、结果正确，请参照标准赋分】说明：第（）问中，运用“平面向量的基本定理”（的方法）证明“点 A 在平面 MNH 内”：【接：方法一中（）解（）】易得1,0,12AM，1 1 3,2 2 2AN，0,1,1AH.

8、10 分 不妨设 ANxAMyAH（,x yR）,所以1 1 31,0,10,1,12 2 22xy，解得11,2xy.11 分 故存在唯一实数对11,2xy，使得 ANxAMyAH成立，所以,A M N H 四点共面，即点 A 在平面 MNH 内.12 分【方法三】（）如图所示，连结 AH.因为 APAD，H 为 PD的中点，所以 AHPD.因为 PA 平面 ABCD，又CDABCD 平面 所以 PACD.1 分 又因为 ABCD，ABAD，所以CDAD.因为,PA AD 平面 PAD，且 PAADA，所以CD 平面 PAD.2 分 因为 AH 平面 PAD，所以CDAH.又,PD CD 平

9、面 PCD，且 PDCDD，所以 AH 平面 PCD.3 分 连结 EH.因为 E 为 PC 的中点，所以 EHDC 且12EHDC.因为 ABDC，且12ABDC，所以四边形 ABEH 为平行四边形，所以 AHBE.所以 BE 平面 PCD.5 分 又 DC 平面 PCD，所以 BEDC.6 分【注：本小题考生若运用其它方法证明，只要证明步骤严谨、条理正确，请参照标准赋分.】（）因为,M N 分别为,PB PE 的中点，所以 MNBE，8 分 由（）知，AHBE，所以 AHMN,10 分 CEPABMDHN图20212022 学年第一学期期中质量检测 高二期中数学试题参考答案（5/8）所以,

10、A M N H 四点共面，即点 A 在平面 MNH 内.12 分 20.解：（）【法一，几何法】由于所求圆C 的圆心在直线20 xy上且在第一象限内，不妨设所求圆的圆心C 坐标为2,a a 0a.1 分 因为圆C 与 y 轴相切，所以其半径2ra.2 分 易得，圆心C 到直线0 xy的距离2ad.3 分 又圆C 在直线 yx上截得的弦长为 2 14，所以22214dr，即221442aa，解得2a 0a.4 分 所以圆C 的圆心坐标为4,2，半径为4，5 分 故所求圆C 的方程为224216xy.6 分【法二，待定系数法】依题意，设所求圆C 的方程为222xaybr0a.易的距离为得圆心,a

11、b 到直线0 xy2abd，1 分 则有22214dr,即22282abr.2 分 由于圆C 与 y 轴相切，所以22ra.3 分 又因为圆C 的圆心在直线20 xy上，所以20ab.4 分 联立，解得4,2,4abr ，5 分 故所求圆C 的方程为224216xy.6 分【法三，待定系数法】设所求圆C 的方程为220 xyDxEyF，则圆C 的圆心C 坐标为,22DE，半径2242DEFr.由于圆心在直线20 xy上，所以20DE.1 分 20212022 学年第一学期期中质量检测 高二期中数学试题参考答案（6/8）所以圆心C,22DE到直线0 xy的距离为222DEd，2 分 则有2221

12、4dr，即2221122(4)DEDEF.3 分 在所设圆C 的方程中，令0 x，得20yEyF.由于所求圆C 与 y 轴相切，则有0，即24EF.4 分 联立，解得8,4,4,DEF 或8,4,4.DEF（舍去，因为圆心C 在第一象限）5 分 故所求圆C 的方程为228440 xyxy.6 分（）设点 H 的坐标为,x y,点 N 的坐标为00,x y,点M 的坐标为4,y，因为 H 是线段 MN 的中点，所以042xx，0yy，7 分 于是有024xx，0yy.8 分 因为点 N 在第（）问中圆C 上运动，所以点 N 满足22004216xy.9 分 把代入，得22244216xy，11

13、分 整理，得224216xy.此即为所求点 H 的轨迹方程.12 分 21.解：（）连接 BD；取 AB 的中点 E，连接 DE.因为四棱柱1111ABCDABC D的棱长均相等，所以其底面 ABCD是菱形，又60BAD，所以 ABD是正三角形，所以 DEAB，DEDC.又因为四棱柱的侧棱与底面垂直，所以1DEDCDD，两两相互垂直.1 分 因此，以 D 为坐标原点，分别以1DEDCDD，所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴的建立空间（右手）直角坐标系(如图所示).2 分 xyzD1NC1CBAA1B1MDE20212022 学年第一学期期中质量检测 高二期中数学试题参考答案（7/8）因为直四棱

14、柱1111ABCDABC D的棱长均为2，AEDC 且112AE=BE=DC=，所以3DE.所以点1B 的坐标为3,1,2.4 分（）由（）及题意，得相关点的坐标为0,0,03,1,00,2,0DAC，1 0,0,2D，0,0,1M，所以3,3,0AC ，3,1,1AM .5 分 设平面 ACM 的法向量为111,mx y z，则有0,0,m ACm AM 即11111330,30,xyxyz 6 分 令13x，则得1112yz，所以平面 ACM 一个的法向量3,1,2m.7 分 依题意，设点0,2N（R），则0,2,2CN.设平面 ACN 的法向量为222,nxyz，则有0,0,n ACn

15、CN 即 2222330,220,xyyz 令23x，则得23,1,2n，9 分 从而23 1210cos,102 2142m n，10 分 解得4 或10.11 分 由题意知，二面角 MACN的平面角的余弦值为 1010，所以4，从而点0,4,2N.故当点 N 位置在11DC 的延长线上且与点1C 的距离等于2 时，满足题设条件.12 分 20212022 学年第一学期期中质量检测 高二期中数学试题参考答案（8/8）22.解：（）由题意，知直线 330 xy过椭圆 E 的上顶点 A 和左焦点1F.所以 0,3A，11,0F，所以3b，1c .2 分 因为222abc，所以24a，23b.3

16、分 故所求椭圆 E 的方程为22143xy.4 分（）依题意，设点1122,M x yN xy，.当 MNx轴时，易知直线l 与圆O 相切，不满足题意；5 分 当 MN 与 x 轴不垂直时，设直线l 的方程为 ykxm.将 ykxm代入椭圆 E 的方程，消去 y，并整理得 2224384120kxkmxm，6 分 由题设条件，知 222222644(43)(412)48430k mkmmk 恒成立，即2243mk.7 分 又圆O:224xy的圆心到直线l 的方程 ykxm的距离为21mdk，所以2222224312 42 42 42111mkMNdkkk，8 分 所以2211122211OMNmSMN dkk22431kk 2224111kk.9 分 令211tk，则01t，且有 22424OMNSf tttt，当0,1t 时，函数 OMNSf t单调递增，所以 max13OMNSf，11 分 此时0k，所以3m ，所以直线l 的方程3y .综上,所求 OMN面积的最大值为 3，直线l 的方程为3y 12 分