2022年中考数学几何模型之半角模型与倍角模型（讲 练）（解析版）.docx

1、专题04 半角模型与倍角模型模型一、正方形中含半角模型 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45，连接EF，过点A作AG于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 例.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE5，且ECF45，则CF的长为4【答案】4【解答】解：如图，延长FD到G，使DGBE；连接CG、EF；四边形ABCD为正方形，在BCE与DCG中，BCEDCG（SAS），CGCE，DCGBCE，GCF45，在GCF与ECF中，GCFECF（SAS），GFEF，CE5，CB4，BE3，AE1，设AFx，则DF4x，GF1+（4x）5

2、x，EF，（5x）21+x2，x，即AF，DF4，CF4，故答案为：4【变式训练1】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 (3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长【答案】（1）见解析；（2）；（3）3【详解】（1）证明：如图，延长到使，连接AG，四边形ABCD是正方形，在与中， ，在与中， ，又，；（

3、2），理由如下：如图，在BM上取一点G，使得，连接AG，四边形ABCD是正方形，在与中， ，又，在与中， ，又，故答案为：；（3）如图，在DN上取一点G，使得，连接AG，四边形ABCD是正方形，在与中， ，又，在与中， ，设，解得：，在与中， ，CP的长为3【变式训练2】如图，在四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABCADC90，MANBAD（1）如图1，将MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图2，将MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线

4、段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明【答案】见解析【详解】解：（1）证明：延长MB到G，使BGDN，连接AGABGABCADC90，ABAD，ABGADNAGAN，BGDN，141+24+2MANBADGAMMAN又AMAM，AMGAMNMGMNMGBM+BGMNBM+DN（2）MNBMDN证明：在BM上截取BG，使BGDN，连接AGABCADC90，ADAB，ADNABG，ANAG，NADGAB，MANNAD+

5、BAMDAB，MAGBAD，MANMAG，MANMAG，MNMG，MNBMDN（3） MNDNBM模型二、 等腰直角三角形角含半角模型如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，点D，E在BC上，且DAE=45，则：BD2+CE2=DE2. 例.如图，已知ABC中，BAC=90，AB=AC,D,E是BC边上的点，将ABD绕点A旋转，得到ACD，当DAE=45时，求证：DE=DE；在（1）的条件下，猜想：BD2，DE2，CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.【答案】见解析【详解】解析：因为ABD绕点A旋转，得到ACDAD=AD，DAD=BAC=90DAE=45，EAD=DAD-DAE=45

6、在AED和AED中，AE=AE，EAD=AED，AD=ADAEDAED，DE=DE由（1）得AEDAED，ED=ED在ABC中，AB=AC,BAC=90，B=ACB=45ABD绕点A旋转，得到ACD，BD=CD,B=ACD=45BCD=ACB+ACD=45+45=90【变式训练1】在等腰RtABC中，CACB，ACB90，O为AB的中点，EOF45，交CA于F，交BC的延长线于E.（1）求证：EFCEAF；（2）如图2，当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.【答案】（1）见解析；（2）AFEFCE.【解析】（1）连接CO，过点O作OGOF交BE

7、于点G，如图所示：由题意可得AOFCOG，OFOG，EOFEOG，EFEG，EFEGECCGECAF；（2）AFEFCE.【变式训练2】如图所示，等腰直角ABC中，ACB90，E、F为AB上两点（E左F右），且ECF45，求证：【答案】见解析【详解】解：，理由如下：如图，将BCF绕点C旋转得ACF，使BCF的BC与AC边重合，即ACFBCF，在ABC中，ACB90，ACBC，CAFB45，EAF90，ECF45，ACEBCF45，ACFBCF，ECF45，在ECF和ECF中ECFECF（SAS），EFEF，在RtAEF中，【变式训练3】如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，B

8、DC120，以D为顶点作一个60的角，使其两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，则AMN的周长是多少？【答案】6【详解】BDC是等腰三角形，且BDC120，BCDDBC30，ABC是边长为3的等边三角形，ABCBACBCA60，DBADCA90，如图，延长AB至点F，使BFCN.连接DF，在BDF与CND中，BDFCDN，DFDN，MDN60，BDMCDN60，BDMBDF60，在DMN与DMF中，MNMF，AMN的周长是：AMANMNAMMBBFANABAC6.模型三、 二倍角模型（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.

9、例.已知，求及的值（利用倍半角模型解题）.【答案】，.【解析】由图1可得，由图2可得.【变式训练1】如图，在正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过点A作AFBE交CD边于点F，M是AD边上一点，且BMDMCD.（1）求证：点F是CD边上的中点；（2）求证：MBC2ABE.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）四边形ABCD是正方形，ADDCABBC，CDBAD90，ABCD，AFBE，AOE90，EAFAEB90，EAFBAF90，AEBBAF，ABCD，BAFAFD，AEBAFD，BADD，ABAD，BAEADF，AEDF，点E是边AD的中点，点F是CD边上的中点；（2）延长AD

10、至点G，使得MGMB，连接FG、FB，如图所示：BMDMCD，DGDCBC，GDFC90，DFCF，FDGFCB，DFGCFB，点B、F、G共线，点E为AD边上的中点，点F是CD边上的中点，ADCD，AECF，ABBC，CBAD90，AECF，ABECBF，ABECBF，AGBC，AGBCBFABE，MBCAMB2AGB2GBC2ABE，MBC2ABE.【变式训练2】如图，在ABC中，BAC90，AB3，AC4，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED，连接CE，求线段CE的长.【解答】【解析】如图，连接BE交AD于点O，作AHBC于点H.在RtABC中，AC4，AB3，BC5，CDDB

11、，ADDCDB，AEAB，DEDBDC，AD垂直平分线段BE，BCE是直角三角形，BE2OB，在RtBCE中，.课后训练1.如图，在ABC中，ACB90，D是AB边上的一点，M是CD的中点，若AMDBMD.求证：CDA2ACD.【答案】见解析【解析】证明：过点A作AGDC交BM延长线于点H交BC的延长线于点G，连接HC，如图所示：由题意可得BMDAHB，AMDHAM，HACACD，即，CMDM，HGAH，即点H是AG的中点，ACBC，HCAHACACD，HCMHCAACDACDACD2ACD，HAMAMD，AMDBMD，BMDAHB，BMDHMC，HMAM，MDMC，AMDHMC，AMHM，A

12、MDHMC，ADMHCM2ACD.2.在ABC中，C90，AC8，AB10，点P在AC上，AP2，若的圆心在线段BP上，且与AB、AC都相切，试求的半径.【答案】的半径为1【解析】过点O作ODAB于点D，OEAC于点E，延长CA至点F，使得AFAB10，连接OA、BF，如图所示：由题意可得ODOE，AO平分EAO，FBAC，tanEAOtanF，设的半径为，由BCPC6，PBC为等腰直角三角形，EPOE，EA2，解得，即的半径为1.3.如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAFBAD，求证：EFBEFD.【答案】见解析【解析】如图，将ADF顺时针旋

13、转得到ABG，使得AD与AB重合.旋转，ADFABG，FAGBAD，AFAG，DFGB，EAFBAD，EAFEAG，又AEAE，EAGEAF，GEEF，GEGBBEDFBE，EFBEFD.4.已知，在正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图1），易证BMDNMN.（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时 （如图2），线段BM、DN、和MN之间有怎样的数量关系？猜想一下，并加以证明；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.【解答】（

14、1）猜想：BMDNMN；（2）猜想：DNBMMN【解析】（1）猜想：BMDNMN.证明：如图，将AND绕点A顺时针旋转90，得到ABE，则E、B、M共线，EAM90NAM904545，NAM45，在AEM与ANM中，MEMN，MEBEBMDNBM，DNBMMN；（2）猜想：DNBMMN.证明：在线段DN上截取DQBM，如图所示.在ADQ与ABM中，DAQBAM，QANMAN，在AMN与AQN中，MNQN，DNBMMN.5.如图，在平面直角坐标系中，且.（1）求证：ABC是等边三角形；（2）如图2，A、B两点在轴上、轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足MON45，试猜想线段BM、AN

15、、MN之间的数量关系，并证明你的结论.【解答】（1）见解析；（2）【解析】（1），且，OAOBOC4，AOBBOC90，BCACBOOBABAC45，BABC且CBA90，即ABC是等腰直角三角形；（2） 猜想：.OAOB4，AOB90，如图，将BOM绕点O顺时针旋转90得到AOD，ADBM，DOMO，OADOBM45，且DOMAOB90，AODBOM，MON45，AOB90，BOMAON45，AODAON45，即DONMON45，DONMON，DNMN，OADOBMBAO45，即NAD90，.6.已知正方形，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H（1）如图，当时，可以通过证明，

16、得到与的数量关系，这个数量关系是_；（2）如图，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由；（3）如图，已知中，于点H，求的长【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）【详解】解：（1）正方形ABCD，ABAD，BDBAD90，在RtABM和RtADN中，RtABMRtADN（SAS），BAMDAN，AMAN，MAN45，BAMDAN45，BAMDAN22.5，MAN45，AMAN，AHMN，MAHNAH22.5，BAMMAH，在RtABM和RtAHM中，RtABMRtAHM（AAS），ABAH，故答案为：ABAH；（2）ABAH成立，理由如下：延长CB至E，使BEDN，如图：四边

17、形ABCD是正方形，ABAD，DABE90，在RtAEB和RtAND中，RtAEBRtAND（SAS），AEAN，EABNAD，DANBAM45，EABBAM45，EAM45，EAMNAM45，在AEM和ANM中，AEMANM（SAS），AB，AH是AEM和ANM对应边上的高，ABAH（3）分别沿AM，AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：沿AM，AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，ABAHAD，BAD2MAN90，BAHM90AHND，四边形ABCD是正方形，AHABBCCDAD由折叠可得BMMH3，NHDN7，设AHABBCCDx，在RtMCN中，由勾股定理，得MN2MC2NC2，解得或（舍去），