广东省深圳市2018届高三数学第二次（4月）调研考试试题 文答案.pdf

1、2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第1页（共 12 页）深圳市 2018 年高三年级第二次调研考试 数学(文科)选择题答案 一选择题（1）A （2）C （3）C （4）D （5）B （6）C（7）D （8）C （9）A （10）B （11）D （12）B 非选择题答案 二填空题（13）30 （14）163 （15）1009 （16）222 （12）解析一：原不等式可转化为，2lne2xxxxa，易知，当1ex 时()lnf xxx取 到最小值 为1e，且当1ex 时函 数2()e2g xxxa 取 到 最 大 值 1+e a，利 用 图 形 可 知，11+ee a，即2ea .

2、解析二：原不等式可转化为，2ln(e2)axxxx，令()lnf xxx，2()e2g xxx，令()()()h xf xg x，当1ex 时，()f x 与()g x 同时取到最小值，min12()()eeh xh，2ea.（16）解析：设PBA，则20sinPA，20cosPB，2020sincosPQ，总造价函数6(20sin20cos)5(2020sincos)20 6(sincos)5(1 sincos)y ，令sincost，则210(51215)ytt，易知1,2t，当65t 时，max222y.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在

3、ABC中，记内角 ABC，所对的边分别为abc，已知 B 为锐角，且 cos+sinaB bBc.（1）求角C；（2）若3B，延长线段 AB 至 D，使得3CD，且 ACD的面积为 334，求线段 BD 的长度.解：（1）由正弦定理可知：2sincos+sinsinABBC.1 分 sinsin()sincoscossinCABABAB，2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第2页（共 12 页）2sin=cossinBAB.3 分 0 2B，sin0B，sin=cosBA，即coscos2BA.4 分 0A，022B，=2B A,即+=2A B.=2C.6 分（2）设 BDx，C

4、Ba.3ABC，=2ACB，=3ACa，=2ABa，2+ADa x.1113sin3232224ACDSAC ADAaax，即 23aax.8 分 在 BCD中，由余弦定理可得2222cosCDBCBDBC BDDBC，即223xaax.10 分 联立可解得1xa.即=1BD.12 分【说明】本题考查正、余弦定理，三角形的面积公式，三角恒等变形等知识点，主要考查考生逻辑推理能力和方程思想.（18）（本小题满分12分）耐盐碱水稻俗称“海水稻”，是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻.海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为了研究海水浓度 x（）对亩产量 y（吨）的影响，通过在试验田的种植实验，

5、测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如下表：绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量 y 与海水浓度 x 之间的相关关系，用最小二乘法计算得 y 与 x 之间的线性回归方程为0.88ybx.（1）求 b，并估计当浇灌海水浓度为8 时该品种的亩产量；2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第3页（共 12 页）（2）（i）完成下列残差表：海水浓度ix（）3 4 5 6 7 亩产量iy（吨）0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 ie （ii）统计学中常用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大，模型拟合效果越好，如假设2=0.8R，就说明预报变量 y 的差异有80%

6、是由解释变量 x 引起的.请计算相关指数2R，并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？（附：残差公式 iiieyy，相关指数22121()1()niiiniiyyRyy.）解：（1）经计算：5x，0.48y，1 分 由0.4850.88b可得，0.08b .2 分 当8x 时，0.08 80.24880y ，3 分 所以当海水浓度为 8时，该品种的亩产量为0.24 吨.4 分（2）（i）由（1）知0.080.88xy ，从而有 浓度（千分之）ix 3 4 5 6 7 亩产量iy（吨）0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 ie -0.02 0.02 0.01 0-0.

7、01 8 分（ii）2222220.00040.00040.0001 00.000110.140.10.01(0.08)0.17R ，0.00164 1=0.980.06565.11 分 所以亩产量的变化有98%是由海水浓度引起的.12 分【说明】本题通过收集数据、分析处理数据、得出结论从而指导实践，重现了统计（尤其是回归分 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第4页（共 12 页）析）的一般步骤；同时培养同学们分析问题、处理问题的能力，并且通过数据处理，提高考生的计算能力.（19）（本小题满分12分）在四棱锥 PABCD中，侧棱 PA 底面 ABCD，/ABCD，o90BAD，

8、M 是 PC 的中点，N 在线段 AB 上，且3ABAN，已知2CDADPA，3AB （1）证明：MN 平面 PCD；（2）将过 DMN，三点的平面 与侧棱 PB 的交点记为Q，（i）确定点Q 的位置说明理由；（ii）求四棱锥 PDMQN的体积 （1）证明：（法一）取 PD 的中点 E，连接 AEME，/MECD，1=2MECD，/ANCD，1=2ANCD，/MEAN，=ME AN，即四边形 AEMN 为平行四边形 /MNAE 2 分 PAAD，E 是 PD 的中点，AEPD 3 分 PA 平面 ABCD，PACD ADCDADPAA，CD 平面 PAD，CDAE 4 分 CDPDD，AE 平

9、面 PCD，即 MN 平面 PCD 5 分（法二）连接 PNCN，易证=5PN CN M 是 PC 的中点，MNPC 2 分 易证CD 平面 PAD，CDPD，132DMPC 225DNADAN，222MNPNPM，222DMMNDN，MNDM，4 分 DMPCM，MN 平面 PCD 5 分 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第5页（共 12 页）（2）解：（i）Q 为 PB 的中点 6 分 /DNCB，CB，DN，/BC BC 平面 PBC，平面 PBC平面=MQ，/BCMQ M 是 PC 的中点，Q 是 PB 的中点 7 分（ii）（法一）由（1）知，MNDM，116232

10、22DMNSDM MN/MQBCDN，11=22MQBCDN，1624QMNDMNSS 梯形 DMQN 的面积为3+64DMNQMNSS 9 分 设点 P 到平面 DMQN 的距离为d，则由P DMNN PDMVV可得 1133DMNPDMSdSMN 即 16122323d，故263d 11 分 113266=13343P DMQNDMQNVSd梯形 12 分 （法二）112=22333P MNDN PMDPMDVVSNM 9 分 13P MNQMPNQPNQMVVSd，其中，111=2 21222PNQPNBSS，1/=2MQDNMQDN，2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第

11、6页（共 12 页）点 M 到平面 PNQ的距离等于点 D 到平面 PNQ的距离的一半，等于 1 111=1 1=333P MNQMPNQPNQMVVSd 11 分 21=+=133P DMQNP MNDP MNQVVV 12 分（法三）连接 BM P DMQNP BCDNM BCDNM BNQVVVV 其中118=2 22333P BCDNBCDNVSPA平行四边形 8 分 M 是 PC 的中点，PA 底面 ABCD，M 到平面 BCDN 的距离1112dPA，1114=2 21333M BCDNBCDNVSd 平行四边形 9 分 Q 是 PB 的中点，在 BNQ中，Q 到底边 BN 的距离

12、112QdPA 112BNQQSBN d 1/=2MQDNMQDN，AD 平面 PAB，M 到平面 BNQ的距离2112dAD 2111=1 1333M BNQBNQVSd 11 分 841=1333P DMQNP BCDNM BCDNM BNQVVVV 12 分【说明】本题考查空间中线面位置关系，尤其是线面垂直与面面垂直关系，线面平行的性质与判定定理，以及空间几何体的体积计算等知识点，重点考查学生直观想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力和转换化归思想.（20）（本小题满分12分）直线l 经过抛物线2:4C xy的焦点 F，且与抛物线C 交于 AB，两点，抛物线 C 在 AB，两点处的切线分别

13、与 x 轴交于点 MN，（1）证明：AMMF；2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第7页（共 12 页）（2）记 AFM和 BFN的面积分别为1S 和2S，求12S S的最小值 解：（1）不妨设11A xy，22B xy，其中221212=44xxyy，由导数知识可知，抛物线C 在 A 点处的切线 1l 的斜率112xk，则切线 1l 的方程为111()2xyyxx，令=0y，可得1(,0)2xM2 分 0,1F，直线 MF 的斜率111 0202MFkxx 4 分 11MFk k ，AMMF 5 分（2）由（1）可知112SAM MF，其中22222111111111=124x

14、xAMxyyyyyy，211=112xMFy ，112SAM MF111(1)2 yy 7 分 同理可得2221(1)2Syy 8 分 12121212121211(1)(1)144S Syyy yy yyyy y 9 分 设直线l 的方程为+1ykx，联立方程2+14ykxxy可得2440 xkx，124x x 21212=116x xyy 10 分 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第8页（共 12 页）12121211222=144S Syyy y，当且仅当12=yy 时，等号成立 12S S的最小值为 1 12 分【说明】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，三角形面积的

15、最值，基本不等式等知识，重点考查考生运算求解能力和数形结合等数学思想以及函数的观点.（21）（本小题满分12分）设函数1()elnxf xax，其中e 为自然对数的底数（1）若1a，求()f x 的单调区间；（2）若0ea，求证：()f x 无零点 解：（1）若1a，则1()eln(0)xf xx x，1e1()(0)xxfxxx 2 分 令1()e1(0)xt xxx，则1()(1)e(0)xt xxx 当0 x 时，()0t x，即()t x单调递增 3 分 又(1)0t，当(0,1)x时，()0t x，()0fx，()f x 单调递减，当(1,)x 时，()0t x，()0fx，()f

16、x 单调递增()f x的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)5 分（2）（解法一）由1()eln(0)xf xax x可知，1e()(0)xxafxxx，当0a 时，1()exf x，显然()f x 没有零点；当0ea时，由（1）可知函数1()exg xxa在0 ，单调递增，且(0)0g，(e)0g 存在唯一的0(0,e)x 使得0()0f x，即0 10exxa，7 分 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第9页（共 12 页）当0(0,)xx时，()0fx，()f x 单调递减，当0(,)xx 时，()0fx，()f x 单调递增，()f x的最小值为0 100(

17、)elnxf xax，8 分 由可知，0 10exax，当时，有0 100eexx，00ln1 1xx ，即00ln2xx 10 分 00011100000min()eelne1lnxxxf xf xxxxx 9 分 00211000mine12=e10 xxf xxxx，上式中两个等号不同时成立 故 0min()0f xf x，综上所述，函数()f x 无零点 12 分（解法二）（2）当0a 时，1()e0 xf x显然成立6 分 当0ea时，（i）当01x 时，ln0ln0 xax，1()eln0 xf xax 显然成立8 分（ii）当1x 时，易证：0ln1xx，ln1e1axa xx，

18、11()elnee(1)0 xxf xaxx 11 分（此处可构造函数，也可利用eexx进行放缩）综上，()0f x 恒成立，()f x没有零点 12 分（解法三）由可知，0 10exax，且00lnln1xax，代入式可得，0001()(ln1)f xaxax，9 分 0(0,e)x，0ea 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第10页（共 12 页）0012xx，当且仅当01x ，即1a 时取等号，0()lnf xaaa，令()ln(0e)h xxxxx，则()lnh xx，当(0,1)x时，()0h x，()h x 单调递增，当(1,e)x时，()0h x，()h x 单调

19、递减，当(0,1)x时，ln0 x，则 ln0 xx，即ln0 xxx，又(e)0h，10 分 当(0,ex时，()0h x 恒成立，当且仅当ex 时取等号，0ea，()ln0h aaaa，11 分 由于0()lnf xaaa，当且仅当1a 时取等号，()ln0h aaaa，当且仅当ea 时取等号，两个等号不能同时成立，0()0f x，()0f x恒成立，综上所述，函数()f x 无零点 12 分【说明】本题考查利用导数研究函数单调性、函数极值和最值以及函数零点等知识，考查考生数学抽象，逻辑推理等能力.请考生在 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.（22）（本小题满

20、分10分）选修44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为3212xtyt ，（t 为参数），圆1C 的参数方程为1 cossinxy ，（为参数），圆2C 的参数方程为4cos44sinxy，（为参数）.若直线l 分别与圆1C 和圆2C 交于不同于 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第11页（共 12 页）原点的点 A 和 B （1）求圆1C 和圆2C 的极坐标方程；（2）求2C AB的面积 解：（1）由题意可知，圆1C 的直角坐标方程为22(1)1xy，即2220 xyx，极坐标方程为2cos，2 分 由题意可知，圆2C 的直角坐标方程为22(4)16x

21、y，即2280 xyy，极坐标方程为8sin.4 分（2）直线l 的极坐标方程为(R)6，直线l 与圆1C，2C 交于不同于原点的点 A，B，2cos36A，8sin46B，6 分 43ABAB，又点2(0,4)C到直线 AB 的距离为2 3，8 分 21(43)2 34 332C ABS，2C AB的面积为4 33.10 分【说明】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及极坐标的几何意义等知识，考查考生逻辑推理，数值计算等能力以及化归转化的数学思想.（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 已知函数()+11f xxx，2()g xxx.（1）求不等式()()f xg x的解集；（

22、2）若()g()f xxa恒成立，求a 的取值范围 解：（1）由题意可知，211xxxx，1 分 当1x 时，原式可化为230 xx，即0 x 或3x，3x；2 分 2018 年深圳市高调研考试文科数学试题参考答案 第12页（共 12 页）当 11x 时，原式可化为220 xx，即1x 或2x，x 无解；3 分 当1x 时，原式可化为20 xx，即1x 或0 x，1x ；4 分 综上所述，(,1)(3,)x .5 分（2）由题意可知，()11(1)(1)2f xxxxx，当 11x 时，等号成立，6 分 又21()4g xxx，当且仅当12x 时，等号成立，7 分 令()()()h xf xg x，当12x 时，()h x 取到最小值为17()24h.9 分 由题意可知74a，故7(,)4a.10 分【说明】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式以及二次函数等知识，考查考生逻辑推理，数值计算等能力.