河南省洛阳市2018届高三上学期尖子生第一次联考数学（理）试题 WORD版含答案.doc

1、洛阳市20172018学年上学期尖子生第一次联考高三试题数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则等于（ ）ABCD 2.已知复数满足（为虚数单位），则为（ ）ABCD 3.如图，圆：内的正弦曲线与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是（ ）ABCD 4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD 5.设，则（ ） ABCD 6.图中的程序框图所描述的算法，若输入，则输出的的值为（ ）A0B11C22D88 7.在等比数列中，是方程的

2、根，则的值为（ ）ABCD或 8.已知点是锐角三角形的外心，若（，），则（ ）ABCD 9.设双曲线：的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为，若是双曲线上任一点到直线的距离，则的值为（ ）ABCD无法确定 10.已知球与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球的体积为（ ）ABCD 11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A函数是周期函数且最小正周期为B函数是奇函数C函数在区间上的值域为D函数在是增函数 12.已知函数有三个不同的零点，（其中），则的值为（ ）ABCD 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，满足条件则的取值范围是 14.已知随机变量，若，

3、则 15.已知（，为常数，）的展开式中不含字母的项的系数和为243，则函数，的最小值为 16.已知数列满足，其中，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图，在中，点在边上，（1）求；（2）若的面积是，求18.如图1，在直角梯形中，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，的如图2所示的几何体（1）求证：平面；（2）若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值19.随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行

4、了统计，并绘制了相应的折线图（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合阅读市场占有率与月份代码之间的关系求关于的线性回归方程，并预测公司2017年4月份（即时）的市场占有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的、两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两单车使用寿命频数如表：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以

5、频率作为每辆单车使用寿命的概率如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为，其中，20.如图，点是抛物线：（）的焦点，点是抛物线上的定点，且，点，是抛物线上的动点，直线，斜率分别为，（1）求抛物线的方程；（2）若，点是抛物线在点，处切线的交点，记的面积为，证明为定值21.已知函数，（1）若函数有三个不同的极值点，求的值；（2）若存在实数，使对任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐

6、标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点（1）求直线的普通方程；（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值23.选修4-5：不等式选讲已知函数，（1）若，求实数的取值范围；（2）若存在实数，使，求实数的取值范围洛阳市20172018学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题（理科）答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：（1）在中，因为，由余弦定理得，所以，整理得，解得，所以，所以是等边三角形，所以（2）由于是的外角，所以，因为的面积是，所以，所以，在中，所以在中，由正弦定理得，所以1

7、8.（1）证明：因为平面平面，平面平面，又，所以平面，因为平面，所以，又因为折叠前后均有，所以平面（2）解：由（1）知平面，所以二面角的平面角为又平面，平面，所以依题意，因为，所以，设（），则，依题意，所以，即，解得，故，因为平面，过点作交于，则平面，因为平面，所以，过点作于，连接，所以平面，因此，所以二面角的平面角为，由平面几何知识求得，所以，所以，所以二面角的余弦值为19.解：（1）由数据计算可得，由公式计算可得，所以月度市场占有率与月份序号之间的线性回归方程为，当时，故公司2017年4月份的市场占有率预计为（2）由频率估计概率每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2,0.3

8、5,0.35和0.1，所以每辆款车可产生的利润期望值为（元），由频率估计概率每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1,0.3,0.4和0.2，每辆款车可产生的利润期望值为（元），应该采购款单车20.解：（1）设，由题知，所以，所以代入（）中得，即，所以抛物线的方程是（2）过作轴平行线交于点，并设，由（1）知，所以，又，所以，直线：，直线：，解得因直线方程为，将代入得，所以21.解：（1），令，则方程有三个不同的根，又，令，得或，且在区间，递增，在区间递减，故问题等价于即有解得（2）不等式，即，即，转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立，即不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立设，则，设，则，因为，有，故在区间上是减函数，又，故存在，使得，当时，有，当时，有，从而在区间上递增，在区间上递减又，所以当时，恒有；当时，恒有故使命题成立的正整数的最大值为522.解：（1）因为曲线的极坐标方程为，即，将，代入上式并化简得，所以曲线的直角坐标方程为，于是，直线的普通方程为，将代入直线方程得，所以直线的普通方程为（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值23.解：（1），且若，则，；若，则，此时无解；若且，则，综上所述，的取值范围为或，即.（2），显然可取等号，于是，若存在实数，使，只需，又，即