2022年新教材高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 本章达标检测（含解析）新人教B版必修第二册.docx

1、本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A=x|(x+3)(x-2)0,B=x|y=log2x,则AB=()A.1,4B.1,2C.2,+)D.1,+)2.已知幂函数y=f(x)的图像经过点(3,33),则log13f(3)的值是()A.-13B.-1C.13D.33.已知f(x)=x-1,x1,lnx,x1,则不等式f(x)1的解集是()A.(e,+)B.(2,+)C.(1,e)D.(2,e)4.设函数f(x)=log2x,若f(a+1)bcB.acbC.bacD.c

2、ab6.函数f(x)=x3+log2(x-1)-10的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)7.已知m,n(1,+),且mn,若logmn2+lognm6=13,则函数f(x)=xmn2的图像为()8.已知函数f(x)=|log2x|,02,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()A.2,3B.(2,3)C.2,3)D.(2,3二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知a0,b0且a1,b1,若loga

3、b1,则下列不等式可能正确的是()A.(b-1)(b-a)0B.(a-1)(a-b)0C.(a-1)(b-1)010.已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下列结论,其中正确的是()A.当a=0时,f(x)的定义域为(-,-1)(1,+)B.f(x)一定有最小值C.当a=0时,f(x)的值域为RD.若f(x)在区间2,+)上单调递增,则实数a的取值范围是a|a-411.下列结论正确的是()A.函数y=12-x2+1的最大值为12B.已知函数y=loga(2-ax)(a0且a1)在(0,1)上是减函数,则实数a的取值范围是(1,2)C.在同一平面直角坐标系中,函数y=2x与y=log

4、2x的图像关于直线y=x对称D.已知定义在R上的奇函数f(x)在(-,0)内有1 010个零点,则函数f(x)的零点个数为2 02112.定义“正对数”:ln+x=0,0x0,b0,则下列结论中正确的是()A.ln+(ab)=bln+aB.ln+(ab)=ln+a+ln+bC.ln+(a+b)ln+a+ln+bD.ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln 2三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知x表示不超过x的最大整数,如-1.2=-2,1.5=1,3=3.若f(x)=2x,g(x)=f(x-x),则g32=,函数g(x)的值域为.14.在天文学中,

5、天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.若两颗星的星等与亮度满足m2-m1=32lg E1E2.其中星等为mk,亮度为Ek(k=1,2).(1)若E1=10 000E2,则m2-m1=;(2)若太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.5,则太阳与天狼星的亮度的比值为.15.已知函数f(x)=loga(-x+1)(a0且a1)在-2,0上的值域是-1,0.若函数g(x)=ax+m-3的图像不经过第一象限,则m的取值范围为.16.用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min2x,x+2,10-x(x0),则f(x)的最大值为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写

6、出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)计算:(1)(-2)2+-12723-log280+(log252)-1;(2)12lg 25+lg 2+13log32-log29log32.18.(12分)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)x-2m-1在(0,+)上单调递增,函数g(x)=2x+m2x.(1)求实数m的值,并简要说明函数g(x)的单调性;(2)若不等式g(1-3t)+g(1+t)0恒成立,求实数t的取值范围.19.(12分)目前,我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩将严重影响生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.某企业从2019年开始,每年的

7、产能比上一年减少的百分比为x(0x0且a1)的图像经过点(2,5)与点(8,7).(1)求a,b的值;(2)设函数g(x)=bx-ax+2,若对任意的x11,4,存在x20,log25,使得f(x1)=g(x2)+m成立,求实数m的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=log134-axx-4为奇函数,其中a为常数.(1)求a的值;(2)判断函数f(x)在x(-,-4)上的单调性,并证明;(3)若对任意x(-,-5),都有f(x)12x+m恒成立,求实数m的取值范围.答案全解全析一、单项选择题1.C集合A=x|(x+3)(x-2)0=x|x-3或x2,B=x|y=log2x=x|x1,A

8、B=x|x2.故选C.2.A因为幂函数y=f(x)的图像经过点(3,33),所以f(3)=33=313,所以log13f(3)=log13313=13log133=-13.故选A.3.A由题意得x1,x-11或x1,lnx1,解得x或xe.综上,xe.4.A函数f(x)=log2x在定义域内单调递增, f(4)=log24=2,不等式f(a+1)2等价于0a+14,解得-1af(1)f12,即bac.6.C函数f(x)=x3+log2(x-1)-10在(1,+)上单调递增,f(2)=-20,f(x)的零点所在的区间为(2,3).故选C.7.A由题意,得logmn2+lognm6=2logmn+

9、6lognm=13,令t=logmn(0t1),则2t+6t=13,解得t=12或t=6(舍去),所以n=m,即mn2=1,所以f(x)=xmn2的图像即为f(x)=x的图像.故选A.8.B根据已知画出函数f(x)的草图如下.不妨设abc,f(a)=f(b)=f(c),-log2a=log2b=-c2+4c-3,log2(ab)=0,解得ab=1,由图可知2c3,2abc1=logaa,若a1,则ba,即ba1,(b-1)(b-a)0,(a-1)(b-a)0,故A、D正确;若0a1,则0ba1,(a-1)(a-b)0,故B、C错误.10.AC当a=0时,f(x)=lg(x2-1),由x2-10

10、得x1或x0且a1)在(0,1)上是减函数,a1,2-a0,解得1a2;C正确,在同一平面直角坐标系中,函数y=2x与y=log2x的图像关于直线y=x对称;D正确,定义在R上的奇函数f(x)在(-,0)内有1 010个零点,f(x)在(0,+)内有1 010个零点,且f(0)=0,函数f(x)的零点个数为21 010+1=2 021.故选CD.12.AD对于A,当0a0时,有0ab0时,有ab1,从而ln +(ab)=ln ab=bln a,bln+a=bln a,所以ln +(ab)=bln+a.所以当a0,b0时,ln +(ab)=bln+a,所以A正确.对于B,当a=14,b=2时满足

11、a0,b0,而ln +(ab)=ln +12=0,ln +a+ln +b=ln +14+ln +2=ln 2,所以ln +(ab)ln +a+ln +b,所以B错误.对于C,令a=2,b=4,则ln +(2+4)=ln 6,ln +2+ln +4=ln 2+ln 4=ln 8,所以ln 6ln 8,所以C错误.对于D,由“正对数”的定义知,当x1x2时,有ln +x1ln +x2,当0a1,0b1时,有0a+b2,从而ln +(a+b)ln +2=ln 2,ln +a+ln +b+ln 2=0+0+ln 2=ln 2,所以ln +(a+b)ln +a+ln +b+ln 2;当a1,0b1,从而

12、ln +(a+b)=ln(a+b)ln(a+a)=ln(2a),ln +a+ln +b+ln 2=ln a+0+ln 2=ln(2a),所以ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln 2;当0a1,从而ln+(a+b)=ln(a+b)ln(b+b)=ln(2b), ln+a+ln+b+ln 2=0+ln b+ln 2=ln(2b),所以ln+(a+b)0,b0时,ln +(a+b)ln +a+ln +b+ln 2,所以D正确.故选AD.三、填空题13.答案2;1,2)解析g32=f32-1=f12=2,令t=x-x0,1),g(x)=f(x-x)=f(t)=2t,t0,1),g(x)的值域为1,

13、2).14.答案(1)6(2)1016.8 解析(1)把E1=10 000E2代入m2-m1=32lg E1E2中,可得m2-m1=6.(2)设太阳的星等是m1=-26.7,天狼星的星等是m2=-1.5,太阳的亮度为E1,天狼星的亮度为E2.由题意可得,-1.5-(-26.7)=32lg E1E2,所以lg E1E2=16.8,则E1E2=1016.8.15.答案-1,+)解析由题意得,当a1时, f(x)=loga(-x+1)在-2,0上单调递减,f(-2)=loga3=0,f(0)=loga1=-1,无解;当0a0,即m-12,所以m=-1,则g(x)=2x-12x.4分因为y=2x与y=

14、-12x均在R上单调递增,所以函数g(x)在R上单调递增.5分(2)易知g(x)的定义域为R.因为g(-x)=2-x-12-x=-2x-12x=-g(x),所以g(x)是奇函数,7分所以不等式g(1-3t)+g(1+t)0可变为g(1-3t)-g(1+t)=g(-1-t).10分由(1)知g(x)在R上单调递增,所以1-3t-1-t,解得t1.12分19.解析(1)设2018年的产能为1.依题意得(1-x)n=a,2分1-x=na,x=1-na(nN*).5分(2)设m年后年产能不超过2018年的25%,则(1-10%)m25%,6分即910m14,解得m2lg21-2lg3,即m30123,

15、8分133012314,且mN*,m的最小值为14,11分2 018+14=2 032.至少要到2032年才能使年产能不超过2018年的25%.12分20.解析(1)当a=1时, f(x)=(lg x)2-2lg(10x)+3=(lg x)2-2(lg 10+lg x)+3=(lg x)2-2lg x+1=(lg x-1)2,2分由x1100,10得-2lg x1.3分因此,当lg x=1时, f(x)min=0;当lg x=-2时, f(x)max=9.4分故f(x)的值域为0,9.5分(2)f(x)=(lg x)2-2alg x-2a+3,x1100,10.令t=lg x,t-2,1,则g

16、(t)=t2-2at-2a+3,易知g(t)为二次函数,其图像的对称轴为直线t=a.7分当a1时, g(t)min=g(1)=4-4a.10分所以m(a)=2a+7,a1,所以m(a)max=4.12分21.解析(1)由已知得loga2+b=5,loga8+b=7,2分消去b得loga8-loga2=loga4=2,即a2=4,又a0且a1,所以a=2,b=4.4分(2)由(1)知f(x)=log2x+4,g(x)=4x-2x+2.函数f(x)=log2x+4单调递增,当x1,4时,其值域为A=4,6.6分令2x=t,当x0,log25时,t1,5,于是y=t2-4t=(t-2)2-4,易得y

17、-4,5.8分设函数h(x)=g(x)+m,则函数h(x)的值域为B=-4+m,5+m,10分根据条件知AB,于是5+m6,-4+m4,解得1m8.所以实数m的取值范围为1,8.12分22.解析(1)函数f(x)=log134-axx-4为奇函数,f(x)+f(-x)=log134-axx-4+log134+ax-x-4=log1316-a2x216-x2=0恒成立,2分16-a2x216-x2=1,即a2=1,解得a=1或a=-1.当a=1时,4-xx-4=-10,故舍去,所以a=-1.4分(2)函数f(x)在x(-,-4)上为增函数,证明如下:由(1)得,f(x)=log134+xx-4=

18、log131+8x-4,令t=g(x)=1+8x-4,任取x1,x2(-,-4),且x1x2,则g(x1)-g(x2)=1+8x1-4-1+8x2-4=8x1-4-8x2-4=8(x2-x1)(x1-4)(x2-4),6分x1,x2(-,-4),x10,即g(x1)g(x2).函数g(x)在x(-,-4)上单调递减.又y=log13t是减函数,函数f(x)在x(-,-4)上为增函数.7分(3)由题意,对任意x(-,-5),都有f(x)12x+m恒成立,即对任意x(-,-5),都有mf(x)-12x恒成立.9分设h(x)=f(x)-12x.由(2)知,h(x)在x(-,-5)上为增函数,故h(x)h(-5)=-30,故m-30,实数m的取值范围是-30,+).12分