江苏省华罗庚中学2015届高三数学（理）最后一讲（填空解析版）（PDF版）.pdf

1、十年寒窗只为一日成雄，万般历练只是昨夜风尘。秣马厉兵战鼓擂擂，号角起，利剑出，风云际会终成龙。祝同学们 2015 高考顺利，金榜题名！省华中 2015 高考再创佳绩！1江苏省华罗庚中学 2015 届高三数学最后一讲（解析版）第二部分卷一填空题部分（一）主要考点1复数 2集合（简易逻辑）3双曲线与抛物线 4统计 5概率 6流程图 7立体几何 8导数 9三角 10向量 11数列 12解析几何 13不等式 14函数填空题的能力题体现在考试说明中的C 级（8 个）以及 B 级（36 个）中，近几年，主要体现在：导数，三角计算，解析几何（直线与圆），平面向量（基本定理与数量积），不等式（性质、线性规划、

2、基本不等式），数列综合，函数综合等（二）主要策略在解填空题时要做到：细审题要细，读全，边读边画出关键词，不能粗心大意；稳变形要稳，不可操之过急；全答案要全，力避残缺不齐，要答是所问；活解题要活，不要生搬硬套，力戒小题大做。合理推理、优化思路、少算多思将是快速、准确的解答填空题的基本要求当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（如特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论。另外数形结合以及归纳猜想也是填空题必备的解题思想与方法.特别

3、提醒：填空题的结果如何填写呢?定义域、值域、解集等要写成集合的形式；关注区间端点符合不符合。（三）典型题示例1.1 考查集合的交、并、补的运算，以及子集问题1-1 设集合 Ax|1x2，Bx|0 x4，xN，则 AB1AB(1,231-2 已知集合|23,2,1,0,1,2AxxB ，则 AB的子集个数为16说明：注意是求交集还是并集，代表元素是否,xZ xN等；考查集合交并补的运算，要善于运用数轴解此类问题，要弄清集合的代表元素，明确列举法与描述法两种表示方法；注意元素互异性；注意空集的特殊性；最后结果的形式应是集合或区间.1.2 考查简易逻辑1-3 已知命题“021)1(2,2xaxRx”

4、是假命题，则实数 a 的取值范围是_31a解析：原命题的否定：21,2(1)02xRxax，再由0 得解31a说明：正面处理比较困难时要从反面入手（补集思想）2.考查复数的加减乘除运算尤其要熟练除法运算；复数的模；共轭复数；复数的几何意义2-1.复数 z 满足(1)(43)34zii,则 z 的虚部为.解析:(1)(43)34(43)ziiii1zi z的虚部为1.2-2.已知 i 是虚数单位，复数iiz4321，则z_1255 i;|z=553.考查：统计有关的抽样方法、频率分布直方图、方差、标准差、平均数3-1 一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了 10000 人，并根据所得数据画

5、出样本的频率分布直方图（如图所示）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这 10000 人中用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在2500,3500（元/月）收入段应抽出人.分析：关键是计算公式，404.考查概率问题：古典概型或几何概型4-1 在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多 12 人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为 920，则参加联欢会的教师共有人解答：1204-2 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋，已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为0.54-3 在0,1中随机取两个数,a b，则恰有0

6、.5ab的概率为_.81解析：建立平面直角坐标系，区域01:01aDb，其面积为 1，区域01d:010.5abab ，其面积为 18，故得概率为 185.考查算法，主要有程序框图与伪代码两类，一般是循环结构5-1 右图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值为简答：9.5-2 图 1 是某学生的数学考试成绩茎叶图，第 1 次到第 14 次的考试成绩依次记为 A1，A2，A14图2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么算法流程图输出的结果_解析：此算法的功能是统计 14 次考试中得分在 90 分以上（含 90）的次数，故输出 105-3 运行如图算法语句，则输出的结果为76

7、考查双曲线的离心率、渐近线，抛物线的标准方程，焦点、准线（有可能进行简单的综合）6-1.已知双曲线22135xymm的离心率为 43，则此双曲线的准线方程为解析：9 28y ，此题要注意焦点位置6-2 平面直角坐标系中，双曲线C 的离心率等于 2，它的一条准线过抛物线24yx的焦点，则双曲212002PrintSIWhileSIISSIEnd WhileI开始是输出 n否n1，S0S100SS+2nnn+2结束内部资料请勿外传十年寒窗只为一日成雄，万般历练只是昨夜风尘。秣马厉兵战鼓擂擂，号角起，利剑出，风云际会终成龙。祝同学们 2015 高考顺利，金榜题名！省华中 2015 高考再创佳绩！2线

8、C 的方程为【答案】x24y2121【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法说明：研究抛物线问题首先要将方程“化标”；举例：抛物线22(0)yaxa的焦点坐标为1(0,)8a6-3 已知双曲线22221,(0,0)xyabab的一条渐近线与函数311633yxx图象相切，则该双曲线的离心率为10解析：由题可知：渐近线是该函数过原点的切线，设切点为3000116(,)33xxx切线方程为：320000116()(1)()33yxxxxx，由过(0,0)得：30082xx3ba即10e 说明：双曲线（尤其渐近线）问题常与圆或导数问题作简单综合7.考查：立体几何问题主要题型有-空

9、间位置判断（多选题）、简单几何体体积、表面积以及侧面展开问题等7-1 如图，在长方体1111ABCDA B C D中，AB 3 cm，AD 2 cm，1AA 1cm，则点1B 到面1ABD 的距离为cm 2 55AA1B不C不B1不C1不D1不D不（第 7-1 题）7-2 如图，三 棱锥 PABC的体积为 12，D 为 PB 中点，且1/2EFMNAC，则三棱 柱BEFDMN的体积为92解析：112363P ABCVShSh，119422BEF DMNVSh7-3 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与相邻两边所成的角为,，则有22coscos1，类 比 到 空 间 的 一 个 正 确 命 题

10、 是：在 长 方 体1111ABCDA B C D中，对角线1AC 与相邻三个面所成的角为,，则有222coscoscos2解析：设,ABa BCb ACc则222222222222222222cos,cos,cosabbcacabcabcabc222coscoscos2说明：对于类比推理常从平面到空间，等差数列到等比数列，这类问题应注重方法的类比，从平面的推导方法得到空间的推导方法.8.考查三角函数图象与性质、三角恒等变换以及解三角形问题8-1 已知函数 ysinx(0)在区间0，2上为增函数，且图象关于点(3，0)对称，则的取值集合为 1 2,13 3解析：ysinx(0)在区间0，2上为

11、增函数 22 即1；图象关于点(3，0)对称sin3033kk1 2,13 38-2 已知111222(,),(,)P x yP xy在圆22:4O xy上，12(POP 为钝角），1sin()43，则1212x xy y2 283解析：1212124cos4cos()44x xy yOP OP 2 283法二：设以Ox 为始边1OP 为终边的角为2,OP为终边的角为 ，则12124coscos4sinsin4cos()4cosx xy y8-3 在 ABC中，角,A B C 的对边分别是,a b c，已知2,cos2coscos()1bBBAC，则2ac的最小值为4 29.考查数列问题主要是

12、等差等比数列的性质，研究项与和9-1 已知数列an为正项等差数列，满足 1a1 4a2k11(其中 kN*且 k2)，则 ak的最小值为_【答案】92【提示】因为an为正项等差数列，则 aka1 a2k12a1 a2k12(1a1 4a2k1)12(5a2k1a1 4 a1a2k1)12(52a2k1a1 4 a1a2k1)92(当且仅当 1a1 4a2k11，且a2k1a1 4 a1a2k1，即 a13，a2k16 时取“”号)【说明】本题将等差数列的运算性质(等差中项)与基本不等式进行综合十年寒窗只为一日成雄，万般历练只是昨夜风尘。秣马厉兵战鼓擂擂，号角起，利剑出，风云际会终成龙。祝同学们

13、 2015 高考顺利，金榜题名！省华中 2015 高考再创佳绩！39-2 已知等差数列an的前 n 项和为nS，且nnSa是公差为 d 的等差数列，则 d 的取值集合为解析：设2,nSAnBn则2naAnBA，()2nnSn AnBaAnBA要使nnSa为一次式，则0A 或0BA或2BAB（此时10a 舍去），代入得：,2nnSnn ora 112dor法 二：利 用 前 三 项：3211312221322()SSSa aaa aaaa，设 等 差 数 列 an 公 差 为 d，则210da d10ad ord,2nnSnn ora112dor9-3 等比数列an中，首项 a12，公比 q3，

14、anan1am720(m，nN*，mn)，则 mn【答案】9【提示】因为 an23n 1，则 anan 1am23n1(13mn1)133n 1(3m n 11)72032245，则n12mn14，解得 n3，m6，则 mn9【说明】本题考查等比数列中的基本运算，涉及到简单的数论知识（整数的分解）10.考查向量问题，主要有：向量的数量积，向量的表示，求向量的模、夹角等；主要涉及方法：建系、基向量转化、数量积定义、投影等10-1 已知(2,1)a，|2abab且b与(1,1)c 夹角为锐角，则b的坐标为解析：由 ab，ab 是以,a b为邻边的平行四边形的对角线得对角线长相等故ba 且|1b，记

15、(1,2)d ，则36(,)33|dbd，又由b与(1,1)c 夹角为锐角得：360(,)33b cb 说明：与已知向量(,)ax y垂直的向量通常可设为(,)yx，再根据其他条件确定 值；与已知向量b共线的单位向量的表示：|bb；两向量,a b夹角为锐角0/a ba且b.10-2 如图，在平行四边形 ABCD 中，120,2,1BADABAD.若,DEtDC AEBD，则实数t 的值为25解析：AEADDEADtDCADt AB22()()(1)0AE BDADt AB ADABADt ABtAB AD 21 4(1)05ttt 说明：本题实质是利用数量积求t，在平行四边形中常以一组两边为基

16、底转化，本题也可通过建系求解.10-3.如图，已知 AB 为圆 O 的一条直径，,C D 为圆上两点，且45,60ABDABC，若CDxOAyBC，则 xy33解 析：设 半 径 为 1，以 O 为 圆 心，AB 所 在 直 线 为 x 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，则13(1,0),(1,0),(0,1),(,)22ABDC131313(,1)(1,0)(,)(,)222222xyxyy 1133,12222xyy xy33说明：建系或基底转化是解决向量问题的常用方法，若能建系通常首选建系的方法.10-4.以 C 为钝角的ABC 中，BC3，BABC12，当角 A 最大时，ABC

17、面积为_【答案】3【提示】过 A 作 ADBC，垂足为 D，则BABC|BA|BC|cosBBDBC3BD12，（这里也可由投影得到1CD ）所以 BD4，又 BC3，所以 CD1设 ADy(y0)，则 tanBAC4y1y14y2 3y4y34，且仅当 y4y，即 y2 时取“”，由正切函数的单调性知此时BAC 也最大【说明】学会从向量的数量积处理的三种手法：定义法基底法和坐标法中选择，本题用定义法最为简洁，用坐标法也可以得出同上结论，另由两个直角三角形拼接的平面图形，计算角的最值，可转化到直角三角形用两角和与差的正切来解决，体现了化归与转化的思想法二：BABC124cos4coscBcB，

18、由正弦定理：34sinsinsincoscACCB34tan1sin()sincostan4BBCCBC 23tan3tantan()4tan14BABCB 当且仅当1tan2B 时取等号，此时6tan3SB 11.考查直线与圆有关问题主要是圆方程，直线与圆、圆与圆位置关系的问题11-1 已知圆228xy上至少有三个点到直线(4)yk x的距离都等于2，则实数 k 的取值范围是ABCD十年寒窗只为一日成雄，万般历练只是昨夜风尘。秣马厉兵战鼓擂擂，号角起，利剑出，风云际会终成龙。祝同学们 2015 高考顺利，金榜题名！省华中 2015 高考再创佳绩！4解析：设圆心到直线距离为 d，2|4|1kd

19、k，由22 277277|2|2 2ddkd 说明：这类问题实质是利用轨迹思想来考虑的，即平面内满足到直线距离为2 的点是两条平行直线.11-2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点0,2A，0,1B，,00D tt，M 为线段 AD 上的动点.若2AMBM恒成立，则正实数t 的最小值为.解析 设,M x y，由2AMBM，得222439xy.故线段 AD 始终在圆2224=39xy的外部.当t 最小时，线段与圆相切，从而，:12ADxylt .于是22222 33334tttt.说明：本题实质是考查阿波罗尼斯圆11-3 已 知 圆 O：),0,1(,422Myx直 线byxl:，P 在 圆

20、O 上，Q 在 直 线 l 上，满 足MQMPMQMP,0，则b 的最大值为222 解析：考虑点Q 的轨迹：设(,)Q x y，则(1,)MQxy，易知(,1)or(y,1x)(1,1)or(y 1,1x)MPy xPyx 代入圆方程得点Q 轨迹为：22(1)(1)4xy和22(1)(1)4xy，又点Q 在l 上，故直线l 圆点Q 轨迹有公共点，|2|2222bbormax22 2b11-4 已知圆222:(0)O xyrr和圆22:(4)(3)18Cxy，对于圆O 上任意一点 P，圆C上均存在两点,A B，使得APB为钝角，则 r 的取值范围是(0,1)解析：过点 P 作圆C 的两条切线,P

21、M PN，要使圆C 上均存在两点,A B，使得APB为钝角只需90MPN26CPCr即对于圆O 上任意一点 P，6PC max6PC601OCrr12.考查基本不等式、线性规划以及不等式求解与不等式恒成立、有解问题12-1 已知函数1yx在1x 处的切线与坐标轴围成一个三角形区域 D（包含边界），点(,)P x y 是区域 D 内任意一点，则2xy 的取值范围是 4,112-2 已知三个正数,a b c 满足223,3()5abcaba acb，则2bca的最小值为解 析：由 题 得：2213,3()15()bcbcbaaaaa 令,bcxyaa，则2213315xyxyx，22bczxya，

22、即1122yxz，由 线 性 规 划 得：当1122yxz过 点4 22(,)55B时，min185z 说明：本题是典型的三元问题通过齐次条件转化为二元线性规划的问题.12-3 设 2,0,1,0.xaxf xxa xx 若 0f是 f x 的最小值，则实数 a 的取值范围为.0,2解析：等价于201axaax 对0 x 恒成立，02a 12-4 设实数,x y 满足2210 xxy，则22xy的最小值为512解析：22222151151,24422xyxyxxx13.考查基本函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、图象、最值，尤其关注二次及可转化到二次的问题；考查导数有关问题13-1 已知函数

23、f(x)x4，xa，x22x，xa，若任意实数 b，总存在实数 x0，使得 f(x0)b，则实数 a 的取值范围是【答案】5a4【提示】“任意实数 b，总存在实数 x0，使得 f(x0)b”等价于函数 f(x)的值域为 R在平面直角坐标系 xOy 中，分别作出函数 yx4 及 yx22x 的图像，观察图像可知5a4【说明】本题要注意条件的等价转化一般情况下涉及到分段函数的问题都要有意识的作出图像，运用数形结合的方法解决问题，学会从特殊值验证，再到一般结论的发展13-2 已知函数3()3xf xxxa的定义域为0,)，则实数 a 的取值范围为解析：等价于330 xxa在0,)上无解令32()3,

24、()333(1)(1)g xxx g xxxx()g x在(0,1)上递减，在(1,)上递增，min()(1)2g xg ，2a 即2a 说明：本题要注意合理转化.13-3 设函数)(xfy 满足对任意的Rx，0)(xf且9)()1(22xfxf。已知当1,0 x时，有242)(xxf，则62013f的值为5解析：令2()()g xfx，则(1)()9g xg x，以1x 代 x 得：(2)(1)9g xg x两式相减得：(2)()g xg x即22(2)()fxfx()0f x(2)()f xf x20133()62ff 又2 3()2f2 11()9,()222ff3()52f201356

25、f 说明：本题关键是()(),(,f xaf xc a c为常数，0a）()f x周期为 2a；十年寒窗只为一日成雄，万般历练只是昨夜风尘。秣马厉兵战鼓擂擂，号角起，利剑出，风云际会终成龙。祝同学们 2015 高考顺利，金榜题名！省华中 2015 高考再创佳绩！5强化周期的探究意识，可以从一般情形推导，也可以用特殊值归纳猜想；由此引发数列中的一类周期问题：数列na满足：12,(nnn maaac c为常数），*nN（又称等和数列）数列na是循环数列，其周期为 m13-4 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是函数()(0)xf xex的图象上的动点，该图象在点 P 处的切线与两坐标轴分别

26、交于,A B 两点，则 AOB面积的最大值为2e解析：设00(,)xP x e，则切线：000()xxyeexx，000(1,0),(0,(1)xA xBex0020000011()(1)()(1)(1)22xxS xexS xexxmax2(1)SSe13-5 已知函数()lnf xmx图象与函数()2g xx图象在交点处切线方程相同，则 m e14.考查函数、不等式、方程的综合问题14-1 已知函数32|2|,1()ln,1xxxxf xx x，若方程()f xkx有且只有两个不同解，则 k 的取值范围是10k 或1ke或1k 解析：如图三条直线均为函数()f x 的切线，由图可知两个交点

27、时：10k 或1ke或1k 14-2 已知函数()f x 是定义在 5,5上的偶函数，且22,01()1(3),154xxf xxx，对任意0k，方程()f xkxb恒有且只有一解，则实数b 的取值范围4b 或2b 解析：如图：三条直线是函数的三条切线，可知：4b 或2b 14-3已知函数22()2|1,()5f xxxg xxbxb，若()0g f x恰好有五个不同的解，则()0g x 的解集为(,12,)解析：令()tf x，则()0g t 由图知方程()0g t 两根为0,1或一根为 1 另一根大于 1，解得：3b，故()0g x 的解集为(,12,)14-4 已知,a bR，且满足2(

28、2)43a abb，则224ab的取值范围为解析：法一：基本不等式，令 2bc，则223acac，22224abac由222222|222acacacacac，2222222222222222132222acacacacacacacacac即2213322ac2226ac 法二：三角换元223()324cac，设33 cos,3sin22cac，则3 cossin,2sinac，2222224(3 cossin)4sin42sin(2)2,66abac法三：构造齐次式2222222111()cacacacacacaca ，令cxa，则222221()1acacxf xacx，0 x 时，()1f x；0 x 时，1()11f xxx 1(,22,)xx 13(),1)(1,22f x，综上1 3(),2 2f x，2226ac 14-5 已知函数 2,f xxaxb a bR，若存在非零实数t，使得 12f tft ，则224ab的最小值为解析由 12f tft 得：221220atatbtt，即21120ta tbtt.（*）设,2axby，1ktt，则2k，（*）式可化为20kxyk，2222224=1kabxyk，442222221 11164121115kkabkkkk 说明：注意整体换元和主元变换的意识.