2022年高考数学一轮复习 专题六 数列 2 等差数列 综合集训（含解析）新人教A版.docx

1、等差数列 基础篇【基础集训】考点一 等差数列的有关概念及运算 1.若an为等差数列,且 a7-2a4=-1,a3=0,则公差 d 等于()A.-2 B.-C.D.2 答案 B 2.已知在等差数列an中,a1=1,a3=2a+1,a5=3a+2,若 Sn=a1+a2+an,且 Sk=66,则 k 的值为 ()A.9 B.11 C.10 D.12 答案 B 3.设等差数列an满足 3a8=5a15,且 a10,Sn为其前 n 项和,则数列Sn的最大项为()A.S23 B.S24 C.S25 D.S26 答案 C 4.已知数列an满足 a1=,且 an+1=.(1)求证:数列 是等差数列;(2)若

2、bn=anan+1,求数列bn的前 n 项和 Sn.考点二 等差数列的性质 5.设 Sn是等差数列an的前 n 项和,若 =,则 =()A.1 B.-1 C.2 D.答案 A 6.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 a3=,S9=9,则 a7=()A.B.1 C.-D.2 答案 C 7.已知数列an是公差为 d 的等差数列,Sn为其前 n 项和,若 -=100,则 d 的值为()A.B.C.10 D.20 答案 B 8.在等差数列an中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8=.答案 74 9.已知 An及 Bn是等差数列an、bn的前 n 项和,且 =,则 =.答案 10.已知

3、数列an是等差数列.(1)前四项和为 21,末四项和为 67,且各项和为 286,求项数;(2)项数为奇数,奇数项和为 44,偶数项和为 33.求数列的中间项和项数.教师专用题组【基础集训】考点一 等差数列的有关概念及运算 1.已知等差数列an中,a2=1,前 5 项和 S5=-15,则数列an的公差为()A.-3 B.-C.-2 D.-4 答案 D 设等差数列an的公差为 d,因为 -所以 -解得 d=-4,故选 D.2.(2019 福建龙岩新罗模拟,12)已知等差数列an的公差为-2,前 n 项和为 Sn,a3,a4,a5为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为 120,若 SnSm对任

4、意的 nN*恒成立,则实数 m=()A.7 B.6 C.5 D.4 答案 B 等差数列an的公差为-2,又 a3,a4,a5为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为 120,=+-2a4a5cos120,即(a4+2)2=+(a4-2)2+2a4(a4-),整理为 -5a4=0,又 a4 a4=5,a3=7,a5=3,a6=1,a7=-1.SnSm对任意的 nN*恒成立 实数 m=6.故选 B.3.(2020 浙江慈溪期中,11)设等差数列an的前 n 项和为 Sn(nN*),若 a1=3,a5=-11,则a3=,S5=.答案-4;-20 解析 本题考查等差数列的前 n 项和、通项公式及性质

5、;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.解法一:由 2a3=a1+a5,得 a3=-=-4.S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=-20.解法二:设等数列an的公差为 d,由 -得 -所以 a3=a1+2d=-4,S5=5a1+d=-20.考点二 等差数列的性质及应用 (2018 河北唐山第二次模拟,7)设an是任意等差数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 4n项和分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.2X+Z=3Y B.4X+Z=4Y C.2X+3Z=7Y D.8X+Z=6Y 答案 D 设数列an的前 3n 项和为 R,则由等差数列的性质得 X,Y-X,R

6、-Y,Z-R 成等差数列,所以 2(Y-X)=X+R-Y,得 R=3Y-3X,又因为 2(R-Y)=Y-X+Z-R,把 R=3Y-3X 代入得 8X+Z=6Y,故选D.综合篇【综合集训】考法一 等差数列的判定与证明 1.(2019 河北冀州模拟,9)已知an,bn均为等差数列,且 a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由an,bn的公共项组成新数列cn,则 c10=()A.18 B.24 C.30 D.36 答案 C 2.(2021 届湖北宜昌葛洲坝中学 9 月月考)已知数列an满足a1=3,(n+2)an+1=(n+3)an+n2+5n+6(nN*).(1)证明:为等差数列;(2)设 bn

7、=(nN*),求数列bn的前 n 项和 Sn.考法二 等差数列前 n 项和及性质问题 3.(2020 福建泉州毕业班适应性线上测试)已知an是公差为 3 的等差数列.若 a1,a2,a4成等比数列,则an的前 10 项和 S10=()A.165 B.138 C.60 D.30 答案 A 4.(2020 浙江高中发展共同体期末)已知an是公差为 d 的等差数列,前 n 项和是 Sn,若S9S80,S170 B.d0,S170,S180,S180 答案 D 5.(2021 届江苏启东中学检测,19)在公差不为 0 的等差数列an中,a1,a4,a8成等比数列.(1)已知数列an的前 10 项和为

8、45,求数列an的通项公式;(2)若 bn=,且数列bn的前 n 项和为 Tn,若 Tn=-,求数列an的公差.6.(2020 河北邯郸空中课堂备考检测,17)数列an是公差不为 0 的等差数列,若 a4=2a2,且4,a4,a8成等比数列.(1)证明:4 是数列an中的一项;(2)记 Sn为数列an的前 n 项和,求数列 的前 n 项和 Tn.教师专用题组【综合集训】考法一 等差数列的判定与证明 1.(2019 广东珠海 3 月联考,5)已知数列an中,a1=1,=,则数列an()A.既非等差数列,又非等比数列 B.既是等差数列,又是等比数列 C.仅为等差数列 D.仅为等比数列 答案 B 根

9、据题意,数列an中,=,则 -=-(n2),则 Sn=-S1=-=n(n2),当 n=1 时,S1=a1=1 符合,则当 n2时,an=Sn-Sn-1=n-(n-1)=1,当 n=1 时,a1=1 符合,故 an=1(nN*),则数列an为非零的常数列,它既是等差数列,又是等比数列,故选 B.2.(202053 原创题)数列an满足 a1=1,an+1=-.(1)求证:-是等差数列;(2)求 an.解析(1)证明:-=-=-)-)-=-=2,因此 -是等差数列.(2)由(1)知,-是以 -=1 为首项,2 为公差的等差数列,故 -=2n-1,解得 an=-.3.(2018 山东济南一中 1 月

10、检测,18)各项均不为 0 的数列an满足 )=an+2an,且a3=2a8=.(1)证明:数列 是等差数列,并求数列an的通项公式;(2)若数列bn的通项公式为 bn=,求数列bn的前 n 项和 Sn.解析(1)依题意,an+1an+an+2an+1=2an+2an,两边同时除以 anan+1an+2,可得 +=,故数列 是等差数列.设数列 的公差为 d.因为 a3=2a8=,所以 =5,=10,所以 -=5=5d,即 d=1,故 =+(n-3)d=5+(n-)=n+2,故 an=.(2)由(1)可知 bn=)=(-),故 Sn=(-)=).4.(2019 浙江金丽衢联考,20)已知数列an

11、,a1=2,a2=6,且满足 -=2(n2 且 nN*).(1)求证:an+1-an为等差数列;(2)令 bn=)-,设数列bn的前 n 项和为 Sn,求S2n-Sn的最大值.解析(1)证明:由 -=2 得 an+1+an-1=2an+2,则(an+1-an)-(an-an-1)=2.又 a2-a1=4,所以an+1-an是首项为 4,公差为 2 的等差数列.(5 分)(2)当 n2 时,由(1)知 an=(an-an-1)+(a2-a1)+a1=2n+4+2=2 )=n(n+1).当 n=1 时,a1=2 满足 an=n(n+1),故 an=n(n+1).(8 分)bn=)-=-.Sn=10

12、()-,S2n=10()-.设 Mn=S2n-Sn=10()-,(11 分)Mn+1=10()-,Mn+1-Mn=10(-)-=10(-)-=)-.当 n=1 时,Mn+1-Mn=-0,即 M1M2;当 n2 时,Mn+1-MnM3M4,Mn的最大值为 M2,M2=()-1=,即S2n-Sn的最大值为 S4-S2=.(15 分)考法二 等差数列前 n 项和及性质问题 1.(2018 广东汕头模拟,8)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,a1=9,-=-4,则 Sn取最大值时的 n 为()A.4 B.5 C.6 D.4 或 5 答案 B 由an为等差数列,得 -=a5-a3=2d=-4,即

13、d=-2,由于 a1=9,所以 an=-2n+11,令an=-2n+110,得 n0,若 a1+a3+a5+a201=2020,则 a2a200的最大值是 .答案 400 解析 易知 a1,a3,a5,a201成等差数列,且项数为 101,由等差数列求和公式得 )=2020,故 a1+a201=40,因为 an0,所以由基本不等式知 a2a200()=()=400.故 a2a200的最大值是 400.4.(2018 山东青岛调研,17)已知 Sn是数列an的前 n 项和,Sn=n-3,其中 nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)数列bn为等差数列,Tn为其前 n 项和,b2=a5,b11=

14、S3,求 Tn的最值.解析(1)由 Sn=n-3,nN*,得(i)当 n=1 时,a1=S1=1-3=3.(ii)当 n2 时,an=Sn-Sn-1=n-3)-n-1-)=n-2n-1)=n-1(*).又当 n=1 时,a1=3也满足(*)式.所以,对任意 nN*,都有 an=n-1.(2)解法一:设等差数列bn的首项为 b1,公差为 d,由(1)得b2=a5=5-1=48,b11=S3=3-3=21.由等差数列的通项公式得 解得 -所以 bn=54-3n.bn+1-bn=-30,当 n19 时,bn0.所以 Tn有最大值,无最小值,且 T18(或 T17)为 Tn的最大值,T18=)=+)=.解法二:由解法一可知 Tn=51n+-)-3)=-n2+n=-(n2-35n)=-(-)-=-(-)+,nN*当 n=17 或 18 时,Tn有最大值,T17=T18=459.