浙江省北斗联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（PDF版附解析）.pdf

1、高二数学学科 试题 第 1页(共 6 页)绝密考试结束前2023 学年第一学期杭州北斗联盟期中联考高二年级数学学科 试题命题：淳安二中北师大嘉兴附中考生须知：1本卷共 6 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。4考试结束后，只需上交答题纸。选择题部分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A=x|1 2x 4，B=x|y=ln(x 1)，则 A B=()A.x|0 x 1B.x|

2、1 x 2C.x|0 x 2D.x|0 x 13，y 2，且 3x+y=7，则13x1+1y2的最小值为15.某学校 10 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织 2 位同学参加，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给 2 位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为_16.已知单位空间向量e1，e2，e3 满足e1 e2=0，e2 e3=e1 e3=12.若空间向量a 满足a e1=a e2=3 22，且对于任意实数x,y，|a xe1 ye2|的最小值是2，则|a e3|R 的最小值是三#QQABKY

3、QUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 试题 第 4页(共 6 页)四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.17如图，在四棱锥 中，平面，/，且=1，=2，=2 2，=1，为的中点(1)求证：/平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值18.亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届.1951 年第 1 届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主

4、.第 19届杭州亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，某地举办了亚运知识竞赛活动.活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有 40 名选手参加，下图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于 85 到 145 之间），(1)求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第 10 的选手分数；(2)若计划从男子组中 105 分以下的选手中随机抽样调查 2 个同学的答题状况，则抽到的选手中至少有 1 位是 95 分以下选手的概率是多少？(3)若女子组 40 位选手的平均分为 117，标准差为 12，试求所有选手的平均分和方差.

5、#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 试题 第 5页(共 6 页)19已知函数25()3 sin(2)sin(2)36f xxx.(1)若方程 f xm在,4 4x 上有且只有一个实数根，求实数 m 的取值范围；(2)在 ABC中，若 2f B ，内角 A 的角平分线3AD，2AB，求 AC 的长度.20.已知圆22:(1)(2)2Mxy关于直线 260axby对称，记点(,)P a b，过点 P 的直线与圆相切于点,A B（1）求 PA 的最小值；（2）当 PA 取最小值时，求切点,A B 所在的直线方程#Q

6、QABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 试题 第 6页(共 6 页)21.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，底面是边长为 2 的等边三角形，CC1=2,D,E 分别是线段AC,CC1的中点，C1在平面 ABC 内的射影为 D(1)求证：A1C 平面 BDE；(2)若点 F 为棱B1C1的中点，求点 F 到平面 BDE 的距离；(3)若点 F 为线段B1C1上的动点(不包括端点)，求锐二面角F BD E 的余弦值的取值范围22.在区间 D 上，如果函数 f(x)为减函数，而 xf(x)为增函数，则称 f(x)为

7、D 上的弱减函数若 f(x)=11+x(1)判断 f(x)在区间0,+)上是否为弱减函数；(2)当 x 1,3时，不等式ax 11+x a+42x 恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)若函数 g(x)=f(x)+k|x|1 在0,3上有两个不同的零点，求实数 k 的取值范围#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 1 页(共 20 页)绝密考试结束前 北斗联盟 2023 学年第一学期期中联考 高二年级数学学科 参考答案 命题：淳安二中 北师大嘉兴附中 选择题部分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题

8、 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=*x|1 2x 4+，B=*x|y=ln(x 1)+，则A B=()A.*x|0 x 1+B.*x|1 x 2+C.*x|0 x 2+D.*x|0 x 2+【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查利用函数的性质求解指数不等式和对数函数的定义域，集合的运算.属基础题【解答】A=*x|1 2x 4+=*x|0 1+，所以A B=*x|1 0)相切时，得k最小，此时设 AP:y=k(x 2)，故|12k|k2+1=1，解得 k=43 或 k=0(舍去)，即 kmin=43 故选：C 6.已知f(x)是定义域为

9、(,+)的奇函数，满足f(1 x)=f(1+x)，若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.50 B.0 C.50 D.2【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键 根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数f(x)是以4为周期的周期函数，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可【解答】解：f(x)是定义域为(,+)的奇函数，且f(1 x)=f(1+x)，f(0)=0，f(1 x)=f(1+x)=f(x 1)，则f(x+2)=f(x)，则f(x+4)=f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是以4为周期的

10、周期函数，f(1)=2，f(2)=f(0)=0，f(3)=f(1)=2，f(4)=f(0)=0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0 2+0=0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)-+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2，故选：D 7.如图，在三棱锥O ABC中，点G为底面 ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 4 页(共 20 页)过点M的平面分别交棱OA，OB，

11、OC于点D，E，F，若OD=k OA，OE=m OB，OF=n OC，则1k+1m+1n=()A.133 B.23 C.32 D.92【答案】D 【解析】本题考查空间向量基本定理，空间向量共面定理，属于中档题 由空间向量基本定理，用OA,OB,OC 表示OM，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数,，使DM=DE+DF，再转化为OM=(1 )k OA+m OB+n OC，由空间向量分解的唯一性，分析即得解【解答】解：由题意可知，OM=23 OG=23(OA+AG)=23 OA+23 12(AB+AC)=23 OA+13(OB OA)+13(OC OA)=29 OA+29 OB+29 OC，因为

12、D，E，F，M四点共面，所以存在实数,，使DM=DE+DF，所以OM OD=(OE OD)+(OF OD)，所以OM=(1 )OD+OE+OF=(1 )kOA+m OB+n OC，所以 (1 )k=29m=29n=29,所以1k+1m+1n=92(1 )+92 +92 =92 故选：D#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 5 页(共 20 页)8.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊平衡盾构机等国之重器更是世界领先

13、.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 ABCD棱长为2 6，则模型中九个球的表面积和为（）A.6 B.9 C.314 D.21 【答案】B【解析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.如图，取 BC 的中点 E，连接 DE，AE，则6CEBE，2463 2AEDE，过点 A 作 AF 底面 BCD，垂足在 DE 上，且2DFEF，所以2 2,2DFEF，故2224 84AFADDF，点O 为最大球的球心，连接 D

14、O 并延长，交 AE 于点 M，则 DM AE，设最大球的半径为 R，则OFOMR，因为RtAOM Rt AEF，所以 AOOMAEEF，即 43 22RR，解得1R，即1OMOF，则4 13AO ，故1sin3OMEAFAO 设最小球的球心为 J，中间球的球心为 K，则两球均与直线 AE 相切，设切点分别为,H G，连接,HJ KG，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b，则33,33AJHJa AKGKb，则33JKAKAJba，#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第

15、6 页(共 20 页)又 JKab，所以33baab，解得2ba，又3 3OKRbAOAKb，故432bR，解得12b，所以14a，模型中九个球的表面积和为22244444449Rba.故选：B 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.9.有一组样本甲的数据ix，一组样本乙的数据21ix ，其中1,2,3,4,5,6,7,8ix i 为不完全相等的正数，则下列说法正确的是（）A.样本甲的极差一定小于样本乙的极差 B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差 C.若样本甲

16、的中位数是m，则样本乙的中位数是21m D.若样本甲的平均数是n，则样本乙的平均数是21n+【答案】ACD【解析】根据统计中的相关概念和性质运算求解.不妨设样本甲的数据为1280 xxx ，且18xx，则样本乙的数据为128212121xxx ，且182121xx ，对于选项 A：样本甲的极差为810 xx，样本乙的极差 818121212xxxx，因为 81818120 xxxxxx，即 81812 xxxx，所以样本甲的极差一定小于样本乙的极差，故 A 正确；对于选项 B：记样本甲的方差为20s 甲，则样本乙的方差为24s甲，因为222430sss甲甲甲，即224ss甲甲，#QQABKYQ

17、UggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 7 页(共 20 页)所以样本甲的方差一定小于样本乙的方差，故 B 错误；对于选项 C：因为样本甲的中位数是452xxm，则样本乙的中位数是454521211212xxnxxm，故 C 正确；对于选项 D：若样本甲的平均数是n，则样本乙的平均数是21n+，故 D 正确；故选：ACD.10.已知，是圆：上两点，则下列结论正确的是（）A若，则 B若点到直线的距离为，则 C若，则的最大值为 D若，则的最大值为 【答案】AD【解析】对于 A，因为圆的半径为，所以当时，为等边三角形，则

18、，故 A 正确；对于 B，由垂径定理可知，其中为弦心距，因为点到直线的距离为，所以，因为，所以，故 B 错误；对于 CD，因为的值可转化为单位圆上的，两点到直线的距离之和，因为，所以为等腰直角三角形，设是的中点，则，且，则在以点为圆心，半径为的圆上，则，两点到直线的距离之和为到直线的距离的两倍，因为点到直线的距离为，所以点到直线的距离的最大值为，则的最大值为，的最大值为，故 D 正确；故选 AD 11,A x y22,B xyO221xy1AB 3AOBOAB1232AB 2AOB112211xyxy2 22AOB112211xyxy411AB ABO3AOB222ABrddOAB1212d

19、1r 3AB 11221122xyxy11,A x y22,B xy10 xy 2AOBABOMABOMAB2222OMOAMO2211,A x y22,B xy10 xy M10 xy 0,0O10 xy 1222M10 xy 211221122xyxy2 2112211xyxy4#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 8 页(共 20 页)11.已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，7.现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件A=

20、“抽取的两个小球标号相同”，事件B=“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件C=“抽取的两个小球标号之和大于8”，则()A.事件A与事件B是互斥事件 B.事件A与事件B是对立事件 C.P(A C)=P(B)D.P(B C)=P(A)【答案】AC 【解析】【分析】本题考查了互斥事件、对立事件和事件的并、交运算，属于中档题 由两球编号写出事件A，B所含有的基本事件，同时得出所有的基本事件，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断AB，求出A B、B C的概率判断CD【解答】解：事件A的所有基本事件为甲3乙3，甲4乙4，甲5乙5，共3个;事件B的所有基本事件为甲1乙4，甲1乙6，甲2乙3，甲2乙5，甲2乙

21、7，甲3乙4，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙6，共12个;事件C的所有基本事件为甲2乙7，甲3乙6，甲3乙7，甲4乙5，甲4乙6，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙5，甲5乙6，甲5乙7，共10个 从甲、乙两盒中各取1个小球共有25个基本事件 因为事件A与事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，故 A 正确;因为甲2乙4这个事件不在事件A中，也不在事件B中，所以A，B和事件不是全体，所以 B 错误;因为事件A C的所有基本事件共有12个，所以P(A C)=1225，所以P(A C)=P(B)，故 C 正确;因为事件B C的所有基本事件共有6个，事件A的所有基本事件共有3

22、个，所以P(B C)=625,P(A)=325，所以P(B C)P(A)，故 D 错误 12.如图，在正四棱柱中，是该正四棱柱表面或内部一点，直线与底面所成的角分别记为(0,0)，且，记动点的轨迹与棱 CC1 的交点为，则下列说法正确的是（）1111ABCDA BC D3AB 12 6AA P,PB PCABCD,sin2sinPQ#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 9 页(共 20 页)A为 CC1 中点 B线段长度的最小值为 5 C存在一点，使得平面 D 若在正四棱柱表面，则点的轨迹长度为4

23、3 36【答案】BCD【解析】由题可知：，建系可得：，即得：，球心，半径，取 CC1 上一点 Q,使 CQ=3，BC 上一点 E，CD 上一点 F,使 CE=CF=3 24,连接，由球心及半径可得：面与球存在交点；当位于正四棱柱表面时，则43 323326L；故选：BCD 非选择题部分 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.过点且方向向量为的直线的方程为 【答案】【解析】设点为直线上的任意一点，则，所以，故填 14.已知x 13，y 2，且3x+y=7，则13x1+1y2的最小值为 【答案】1 【解析】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

24、 由13x1+1y2=14(13x1+1y2),(3x 1)+(y 2)-，利用基本不等式，即可得出 【解答】Q1PAP/PQ11AB DP1111ABCDA BC DP2PBPC3 0 03,3,0BC，,P x y z2222223233xyzxyz222344xyz3,4,02r 2221 min342 625PA,QE QF EFQEFP2,11,2250 xy,Q x y2,11,2xy250 xy250 xyA1B1C1D1BCDAPQ三、#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 10 页

25、(共 20 页)解：因为x 13，y 2，且3x+y=7，所以(3x 1)+(y 2)=4，则13x1+1y2=14(13x1+1y2),(3x 1)+(y 2)-=14(2+y23x1+3x1y2)14(2+2 y23x1 3x1y2)=1，当且仅当y23x1=3x1y2 且3x+y=7，即x=1，y=4时取等号 故答案为115.某学校 10 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织 2 位同学参加，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给 2 位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为_【答案】【解析】

26、；故填：16.已知单位空间向量e1，e2，e3 满足e1 e2=0，e2 e3=e1 e3=12.若空间向量a 满 足a e1=a e2=3 22，且对于任意实数x,y，|a x e1 y e2|的最小值是2，则|a e3|(R)的最小值是【答案】22 【解析】【分析】本题考查空间向量的数量积，空间向量模的最小值问题，属于高档题 以向量e1，e2 方向为x，y轴，垂直于向量e1，e2 的方向为z轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 的坐标，由二次函数求最值即可求得最小值【解答】解：以向量e1，e2 方向为x，y轴，垂直于向量e1，e2 的方向为z轴，建立空间直角坐标系，则e1=(1,0,0)，

27、e2=(0,1,0)，设e3=(x,y,z)，e2 e3=e1 e3=12，(0,1,0)(x,y,z)=(1,0,0)(x,y,z)=12，解得x=12,y=12，可设e3=(12,12,z)，由e3 是单位空间向量，可得e3=(12,12,22)，9252491525P 925#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 11 页(共 20 页)同理由a e1=a e2=3 22，可设a=(3 22,3 22,z2)，|a x e1 y e2|=(3 22 x)2+(3 22 y)2+z22，当且仅当

28、x=y=3 22 时，|a x e1 y e2|的最小值是2，z2=2，a=(3 22,3 22,2)，|a e3|2=2 5 2+13=(5 22)2+12 12，或|a e3|2=2 2+13=(22)2+252 252，|a e3|22，|a e3|(R)的最小值为 22 故答案为 22 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.17如图，在四棱锥 中，平面，/，且=1，=2，=22，=1，为的中点(1)求证：/平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)55【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明线面平行；（2）取中点为，

29、以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和 的坐标，利用向量法即可求得直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）取中点为，连接，如图所示，2 分#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 12 页(共 20 页)因为，分别是，的中点，所以/且=12，又因为/且=12，所以/，=，所以四边形为平行四边形，4 分所以/，又因为 平面，平面，所以/平面；5 分（2）取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0)，(0,0,1

30、)，(0,1,0)，(22,1,0)，(22,1,0)，设平面的法向量为=(,)，因为=(0,1,1)，=(22,0,0)，所以 =+=0 =22=0，令=1，解得=0=1，即=(0,1,1)，8 分又因为=(22,1,1)，所以直线与平面所成角的正弦值为|cos,|=|=55 10 分#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 13 页(共 20 页)18.亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届.1951 年第 1 届亚运会在印度首都新

31、德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主.第 19届杭州亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，某地举办了亚运知识竞赛活动.活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有 40 名选手参加，下图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于 85 到 145 之间），(1)求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第 10 的选手分数；(2)若计划从男子组中 105 分以下的选手中随机抽样调查 2 个同学的答题状况，则抽到的选手中至少有 1 位是 95 分以下选手

32、的概率是多少？(3)若女子组 40 位选手的平均分为 117，标准差为 12，试求所有选手的平均分和方差.【答案】(1)0.025，129(2)35(3)平均分为118，方差为 3152【分析】（1）先求出所有矩形的面积，再用 1 减去这个面积可得缺失部分的面积，除以 10 可得其高度，可求得第 10 名的成绩是第 75 百分位数，然后利用百分位数的定义可求得结果；（2）求得 105 以下合计 6 个人，对这 6 人编号后，利用列举法求解；（3）利用平均数和方差的定义求解即可.【详解】（1）因为已有矩形的面积和为10(0.0052 0.0100.0200.030)0.75，所以缺失的矩形面积为

33、1 0.750.25，所以高度为0.25 100.025，2 分#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 14 页(共 20 页)由于 100.2540，所以第 10 名记为第 75 百分位数，设第 10 名的成绩为 x，则 x 位于第 5 组，且0.025(135)10 0.0050.25x，解得129x，所以成绩排名第 10 的选手分数为 129；4 分（2）105 以下合计 6 个人，将 6 人依次编号为 1，2，3，4，5，6（95 分以下的人编号为 1，2），任选 2 个人的方法数，列举出所

34、有样本点：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56 共计 15种，包含 1，2 的有 9 种，故概率为93155；8 分（3）男子组选手的平均分90 0.05 100 0.1 110 0.2 120 0.3 130 0.25 140 0.1 119x，男子组得分的方差222(90 119)0.05(100 119)0.1(110 119)0.2222(120 119)0.3(130 119)0.25(140 119)0.1169所有选手的平均得分为1191171182，10 分所以所有选手得分的方差2211315144(117118)169(11

35、9118)222.12 分19已知函数25()3sin(2)sin(2)36f xxx.(1)若方程 f xm在,4 4x 上有且只有一个实数根，求实数 m 的取值范围；(2)在 ABC 中，若 2f B ，内角 A 的角平分线3AD，2AB，求 AC 的长度.【答案】(1)33m或2m.（2）6【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式化简函数()f x，再探讨()yf x在,4 4上的性质，画出图象，数形结合求解作答.（2）由（1）求出 B，由正弦定理求出ADB，进而求出BAC，再利用等腰三角形性质求解作答.#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoA

36、ABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 15 页(共 20 页)【详解】（1）依题意，()3sin(2)sin(2)3cos(2)sin(2)26666f xxxxx2sin(2)2sin(2)636xx，2 分当,4 4x 时，22,633x ，则当,4 6x 时，()yf x单调递增，函数值从3增大到 2，当,6 4x时，()yf x单调递减，函数值从 2 减小到3，方程 f xm在,4 4x 上有且只有一个实数根，即直线 ym与函数()yf x在,4 4的图象只有一个公共点，4 分在同一坐标系内作出直线 ym与函数()yf x在,4 4的图象，如图，观察图象，当33m或2m 时

37、，直线 ym与函数()yf x在,4 4的图象只有一个公共点，所以实数 m 的取值范围是33m或2m.6 分（2）由（1）知，()2sin(2)26f BB ，即sin(2)16B ，在 ABC 中，0B，即 132666B，则3262B，解得23B，8 分在ABD中，3AD，2AB，由正弦定理得 sinsinABADADBB，#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 16 页(共 20 页)xyMOBAP则32sin22sin23ABBADBAD，显然03ADB，有4ADB=，10 分于是12BAD

38、BADB，即有26BACBAD，则6CBAC，ABC 是等腰三角形，所以32cos2 262ACABBAC.12 分 20.已知圆关于直线对称，记点，过点的直线与圆相切于点（1）求的最小值；（2）当取最小值时，求切点所在的直线方程【答案】(1)4 （2）【分析】（1）圆关于直线对称，该直线经过圆心，1 分易得圆的半径为，因此点是在直线上的动点，3 分直线是圆的切线，当取得最小值时，最小，当直线时，最小（如图），此时即为点到直线 的距离，5 分此时取得最小值，6 分（2）法 1：（圆与圆的交线方程）由（1）得，当直线时，取得最小值，此时直线方程为：，联立直线 与直线可得此时点坐标：，8 分四点共

39、圆，且线段即为该圆的直径，因此，以线段为直径的圆方程即为，10 分22:(1)(2)2Mxy260axby(,)P a bP,A BPAPA,A B3370 xyM260axby(1,2)M M2R 2260ab3ba(,3)P a aP:30l xyPAPAAM222222PAPMMAPMRPMPMPAMPlPMPMPl221233 211d PA22min4PAdRMPlPAMP(1)21yxx lMPP13yxyx 21xy(2,1)P,PAAM PBBMPAMB、MPMP(1)(2)(2)(1)0 xxyy#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBA

40、MoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 17 页(共 20 页)又圆，两圆方程相减消去平方项，即为交线的方程：直线的方程为12 分（2）法 2：（圆的切点弦方程）圆的切点弦方程：过圆外一点作圆的两条切线，记切点分别为，则直线的方程为，9 分因此直线方程为，整理得12 分21.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2,D,E分别是线段AC,CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D(1)求证：A1C 平面BDE；(2)若点F为棱B1C1的中点，求点F到平面BDE的距离；(3)若点F为线段B1C1上的动点(不包括端点)，求锐二面角F BD E的余

41、弦值的取值范围【答案】(1)见解答（2）3 34（3）(12,32)【分析】(1)法一：连结AC1，因为 ABC 为等边三角形，D 为 AC 中点，BD AC，1 分又 C1D 平面 ABC，BD 平面 ABC，C1D BD，AC C1D=D,AC,C1D 平面 AA1C1C，BD 平面 AA1C1C，又 A1C 平面 AA1C1C,BD A1C，由题设知四边形 AA1C1C 为菱形，A1C AC1，3 分 D,E 分别为 AC,CC1 中点，DE/AC1,A1C DE，又 BD DE=D,BD，DE 平 面BDE,A1C 平22:(1)(2)2MxyAB2222402430 xyxyxyxy

42、AB3370 xyP00(,)xy222()()xaybrAB、AB200()()()()xa xayb ybrAB(1)(21)(2)(12=2xy ）3370 xy#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 18 页(共 20 页)面 BDE 4 分法二：由 C1D 平面 ABC，BD,AC 平面 ABC，C1D BD,C1D AC,又 ABC 为等边三角形，D 为 AC 中点，BD AC，则以 D 为坐标原点，DB、DA、DC1 所在直线为 x,y,z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 D(0

43、,0,0)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，C1(0,0,3)，E(0,12,32)，B1(3,1,3)，A1(0,2,3)，1 分 DB=(3,0,0),DE=(0,12,32),A1C=(0,3,3)，DB A1C=0,DE A1C=0，BD A1C,DE A1C，3 分又BD DE=D,BD，DE 平面 BDE,A1C 平面BDE 4 分法三：(同法二建系)设平面 BDE 的一个法向量为 m=(x,y,z)，DB m=0DE m=0，即 3x=0 12 y+32 z=0,不妨取 z=1，则 y=3，则 m=(0,3,1)，所以平面 BDE 的一个法向量为 m=(0,3,1)，3 分

44、A1C=(0,3,3)，A1C=3 m，A1C/m，A1C 平面 BDE4 分(2)由(1)坐标法得 F(32,12,3)，平面 BDE 的一个法向量为 m=(0,3,1)，DF=(32,12,3)，点到F到平面 BDE 的距离为|m DF|m|=32+32=3 34 7 分(3)C1B1=(3,1,0),CA1=(0,3,3)，设 F(x,y,z),C1F=C1B1(0 1)，则(x,y,z 3)=(3,0)，x=3,y=,z=3,F(3,3),8 分 DF=(3,3)；由(1)知：A1C 平面 BDE,平面 BDE 的一个法向量 m=CA 1=(0,3,3)(或者由(1)中待定系数法求出法

45、向量)；设平面 FBD 的法向量 n=(a,b,c)，则 DB n=3a=0DF n=3a+b+3c=0，令 b=3，则 a=0,c=,n=(0,3,)；#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 19 页(共 20 页)|cos m,n|=|m n|m|n|=|3 3 3|2 3 3+2=|3|2 3+2=12 (3)23+2，10 分令 3 =t (2,3)，则 =3 t，|cos m,n|=12 t2126t+t2=12 112t26t+1；1t (13,12),12t2 6t+1 (13,1),

46、|cos m,n|(12,32)，即锐二面角 F BD E 的余弦值的取值范围为(12,32).12 分22.在区间D上，如果函数f(x)为减函数，而xf(x)为增函数，则称f(x)为D上的弱减函数若f(x)=1 1+x(1)判断f(x)在区间,0,+)上是否为弱减函数；(2)当x ,1,3-时，不等式ax 1 1+x a+42x 恒成立，求实数a的取值范围；(3)若函数g(x)=f(x)+k|x|1在,0,3-上有两个不同的零点，求实数k的取值范围【答案】(1)f(x)=1 1+x是,0,+)上的弱减函数（2）,1,22-（3）,16,12)【分析】本题主要考查新定义，函数的单调性的应用，函

47、数的零点与方程根的关系，属于拔高题(1)利用初等函数的性质、弱减函数的定义，判断f(x)=1 1+x是,0,+)上的弱减函数(2)根据题意可得a (x 1+x)mina+42 (x 1+x)max，再利用函数的单调性求得函数的最值，可得a的范围(3)根据题意，x=0为函数的一个零点，则当x (0,3-时，方程1 1 1+x=k|x|只有一解，分离参数k，换元利用二次函数的性质，求得k的范围【详解】解：(1)由初等函数性质知，f(x)=1 1+x在,0,+)上单调递减，而xf(x)=x 1+x=(x+1)1 1+x=1+x 1 1+x在,0,+)上单调递增，所以f(x)=1 1+x是,0,+)上

48、的弱减函数2 分(2)不等式化为a x 1+x a+42 在x ,1,3-上恒成立，#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#高二数学学科 参考答案 第 20 页(共 20 页)则a (x 1+x)mina+42 (x 1+x)max，而y=x 1+x在,1,3-上单调递增，4 分x 1+x的最小值为 22，x 1+x的最大值为32，a 22a+42 32,a ,1,22-.6 分(3)由题意知方程1 1 1+x=k|x|在,0,3-上有两个不同根，当x=0时，上式恒成立；7 分当x (0,3-时，则由题意可得方程1 1 1+x=k|x|只有一解，根据k=1x(1 1 1+x)=1x 1+x1 1+x=1x x 1+x(1+x+1)=1(1+x)2+1+x，9 分令t=1+x，则t (1,2-，10 分方程化为k=1t2+t在t (1,2-上只有一解，所以k ,16,12)综上所述，实数k的取值范围为,16,12)12 分#QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=#