2022版新教材数学必修第二册（人教B版）学案：4-1-2-2 指数函数的图像和性质 WORD版含答案.docx

1、第2课时指数函数的图像和性质 基础自测1.下列函数中是奇函数，且在(0，)上单调递增的是()Ay1xBy|x|Cy2x Dyx32下列判断正确的是()A1.51.51.52 B0.520.53Ce22e D0.90.20.90.53已知y1(13)x，y23x，y310x，y410x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图像为()4已知函数f(x)4ax1(a0且a1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是_课堂探究素养提升强化创新性利用指数函数的单调性比较大小教材P12例1例1利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：(1)0.80.1与0.80.2；(2)2.5a与2.5a1.状元随笔对于(1

2、)(2)，要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较可以利用函数y0.8x和y2.5x的单调性，以及“x0时，y1”这条性质把它们联系起来教材反思1.由例题可以看出，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系2比较幂值大小的三种类型及处理方法跟踪训练1比较下列各题中两个值的大小： (1) (57)-1.8与(57)-2.5；(2) (23)-0.5与(34)-0.5；(3)0.20.3与0.30.2.底数相同，指数不同；底数不同，指数相同；底数不同，指数不同指数函数的图像问题经典例题例2(1)如图所示是下列指数函数的图像

3、：(1)先由a1，0a1两个角度来判断函数的单调性，确定函数图像yaxybxycx ydx则a，b，c，d与1的大小关系是()Aab1cd Bba1dcC1abcd Dab1dc(2)当a0且a1时，函数f(x)ax32必过定点_.(2)由yax过定点(0，1)来求f(x)过定点【解析】(1)可先分为两类，的底数一定大于1，的底数一定小于1，然后再由比较c，d的大小，由比较a，b的大小当指数函数的底数大于1时，图像上升，且当底数越大，图像向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图像下降，且当底数越小，图像向下越靠近x轴，故选B.(2)当a0且a1时，总有f(3)a3321，所以函数f(x)ax3

4、2必过定点(3，1)【答案】(1)B(2)(3，1)方法归纳指数函数的图像随底数变化的规律可归纳为：(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数yax(a0，a1)的图像与直线x1相交于点(1，a)，由图像可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大(2)指数函数的底数与图像间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大 跟踪训练2(1)已知1nm0，则指数函数ymx，ynx的图像为()由底数的范围判断函数图像 .(2)若a1，1b0，则函数yaxb的图像一定在()A第一、二、三象限 B第一、三、四象限C第二、三、四象限 D第一、二、四象限解简单的指数不等式经典例题例3(1)不等

5、式3x21的解为_；(2)若ax1(1a)5-3x (a0，且a1)，求x的取值范围状元随笔首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后根据单调性确定x的取值范围方法归纳解指数不等式应注意的问题(1)形如axab的不等式，借助于函数yax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论；(2)形如axb的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数yax的单调性求解跟踪训练3(1)解不等式(13)x2-23；(2)已知(a2+2a+3)x (a2+2a+3)1-x，求x的取值范围(1)化成同底，确定指数函数的单调性(2)判断a22a3的范围指数函数性质的综合应用例4已

6、知函数f(x)a12x+1 (xR)(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(，)上为增函数；(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间1，5上的最小值(1)用定义法证明函数的单调性需4步：取值；作差变形；定号；结论(2)先由f(x)为奇函数求a , 再由单调性求最小值方法归纳(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，根据f(x)f(x)或f(x)f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数；(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)0，建立方程求参数跟踪训练4已知定义在R上的函数f(x)2xa2x，a为常数，若f(x)为偶函数，(1)求a的值；

7、(2)判断函数f(x)在(0，)上的单调性，并用单调性定义给予证明；(3)求函数f(x)的值域(1)由偶函数求a.(2)4步法证明f(x)在(0，)上的单调性(3)利用单调性求最值，得值域第2课时指数函数的图像和性质基础自测1解析：y1x在(0，)上单调递减，所以排除A；y|x|是偶函数，所以排除B；y2x为非奇非偶函数，所以排除C.选D.答案：D2解析：因为y0.9x是减函数，且0.50.2，所以0.90.20.90.5.答案：D3解析：方法一y23x与y410x单调递增；y1(13)x与y310x(110)x单调递减，在第一象限内作直线x1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A

8、.方法二y23x与y410x单调递增，且y410x的图像上升得快，y1(13)x与y23x的图像关于y轴对称，y310x与y410x的图像关于y轴对称，所以选A.答案：A4解析：令x10，得x1，此时f(1)5.所以函数f(x)4ax1(a0且a1)的图像恒过定点P(1，5).答案：(1，5)课堂探究素养提升例1【解析】(1)因为0.80.1与0.80.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为0.10.2，所以0.80.10.80.2.(2)因为2.5a与2.5a1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数

9、，又因为aa1，所以2.5a2.5a1.跟踪训练1解析：(1)因为0571，所以函数y(57)x在其定义域R上单调递减，又1.82.5，所以(57)-1.8(57)-2.5.(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y(23)x与y(34)x的图像，如图所示当x0.5时，由图像观察可得(23)-0.5(34)-0.5.(3)因为00.20.31，所以指数函数y0.2x与y0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，)上函数y0.2x的图像在函数y0.3x的图像的下方，所以0.20.20.30.2.又根据指数函数y0.2x的性质可得0.20.30.20.2，所以0.20.30.30.2.跟踪训练

10、2解析：(1)由于0mn1，所以ymx与ynx都是减函数，故排除A、B，作直线x1与两个曲线相交，交点在下面的是函数ymx的图像，故选C.(2)a1，且1b0，故其图像如右图所示答案：(1)C(2)A例3【解析】(1)3x213x230x20x2，所以解为(2，).(2)因为ax1(1a)5-3x，所以当a1时，yax为增函数，可得x13x5，所以x3.当0a1时，yax为减函数，可得x13x5，所以x3.综上，当a1时，x的取值范围为(，3)，当0a1时，x的取值范围为(3，).【答案】(1)(2，)(2)见解析跟踪训练3解析：(1) (13)x22(31)x2232x2，原不等式等价于 3

11、2x231.y3x是R上的增函数，2x21.x21，即x1或x1.原不等式的解集是x|x1或x1(2)a22a3(a1)221，y(a22a3)x在R上是增函数x1x，解得x12.x的取值范围是 x| x12.例4【解析】(1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1x2，则f(x1)f(x2)a12x1+1a12x2+12x1-2x2(12x1)(12x2).因为x1x2，所以2x12x20，又(12x1)(12x2)0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以不论a为何实数，f(x)在(，)上为增函数(2)因为f(x)在xR上为奇函数，所以f(0)0，即a120+10，解得

12、a12.所以f(x)1212x+1，由(1)知，f(x)为增函数，所以f(x)在区间1，5上的最小值为f(1).因为f(1)121316，所以f(x)在区间1，5上的最小值为16.跟踪训练4解析：(1)由f(x)为偶函数得对任意实数x都有2xa2x12xa2x成立，即2x(1a)12x(1a)，所以1a0，所以a1.(2)由(1)知f(x)2x12x，f(x)在(0，)上单调递增证明如下：任取x1，x2(0，)且x1x2，则f(x1)f(x2)2x112x1(2x2+12x2)(2x12x2)(12x1-12x2)(2x12x2)2x2-2x12x12x2(2x12x2)(1-12x1+x2)(2x12x2)2x1+x2-12x1+x2，因为x1x2，且x1，x2(0，)，所以2x12x2，2x1+x21，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，)上单调递增(3)由(2)知f(x)在0，)上单调递增，又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(，0上单调递减，所以f(x)f(0)2.故函数f(x)的值域为2，).