2022版新教材高中数学 第三章 圆锥曲线的方程 2.docx

1、双曲线的简单几何性质1.（多选题）（2020江苏盐城东台中学高二段测）下列关于双曲线x26-y23=1 的判断正确的是( )A.渐近线方程为2xy=0 B.焦点坐标为(3,0)C.实轴长为6 D.顶点坐标为(6,0)答案：B; D2.（2021山东新泰第一中学高二第二次质检）经过点P(2,-2) 且与双曲线C:x22-y2=1 有相同渐近线的双曲线的方程是( )A.x24-y22=1 B.y22-x24=1C.x22-y24=1 D.y24-x22=1答案：B3.（2021北京平谷高二期末）已知椭圆x2m+y29=1(m9) 的右顶点A 到双曲线x26-y24=1 的一条渐近线的距离为6 ，那

2、么m= ( )A.10B.15C.24D.225答案：B4.（2021天津第二十中学高二期中）若点(3,0) 到双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的渐近线的距离为2 ，则双曲线的离心率为( )A.3 B.62 C.3 或62 D.33答案：A5.（多选题）若双曲线C的一个焦点为F(5,0) ，P 是双曲线上一点，且渐近线方程为y=43x ，则下列结论正确的是( )A.C 的方程为x29-y216=1 B.C 的离心率为54C.焦点到渐近线的距离为3D.|PF| 的最小值为2答案：A; D6.（2021北京平谷第五中学高二期中）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左焦

3、点为F1(-2,0) ，右焦点为F2(2,0) ，点P 为双曲线右支上的一点，且|F1F2|=2|PF2| ，PF1F2 的周长为10，则双曲线的渐近线方程为( )A.y=3x B.y=33x C.y=2x D.y=12x答案： A7.（2021辽宁六校协作体高二期中）已知双曲线x2a2-y22=1 的两条渐近线的夹角为3 ，则双曲线的离心率为( )A.233 或2B.263 C.3 D.2或263答案：A8.（2021北京第五十五中学高二月考）已知双曲线x2a2-y2=1(a0) 的一条渐近线方程为y=12x ，则a= ；离心率e= .答案：2; 529.（2021北京房山高二期末）已知曲线

4、C:x2m+y2n=1(mn0) ，给出下列四个命题：曲线C 过坐标原点；若m=n0 ，则C 是圆，其半径为m ；若mn0 ，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上；若mn0 ，则C 是双曲线，其渐近线方程为y=-nmx .其中所有真命题的序号是 .答案： 解析：将原点坐标(0,0)代入曲线C:x2m+y2n=1(mn0) 的方程，显然不成立，故曲线C不过坐标原点，故是假命题；若m=n0 ，曲线C:x2m+y2n=1(mn0) 的方程为x2+y2=m=(m)2 ，对应曲线是以原点为圆心，半径为m 的圆，故是假命题；若mn0 ，则曲线C:x2m+y2n=1(mn0) 表示长半轴长a=m ，短半轴长b=n

5、 ，焦点在x轴上的椭圆，故是真命题；若mn0 ，曲线C:x2m+y2n=1(mn0) 表示双曲线，渐近线方程为x2m+y2n=0 ，即y=-nmx ，故是真命题.素养提升练10.（多选题）（2021辽宁沈阳郊联体高二期中）已知方程x23-k-y2k-5=1(kZ) 表示双曲线，则此时( )A.双曲线的离心率为2B.双曲线的渐近线方程为xy=0C.双曲线的一个焦点坐标为(2,0)D.双曲线的焦点到渐近线的距离为1答案：A ; B ; D解析：因为方程x23-k-y2k-5=1(kZ) 表示双曲线，所以(3-k)(k-5)0且kZ ，解得3k5 且kZ ，所以k=4 ，所以双曲线的方程为y2-x2

6、=1 ，可得a=1 ，b=1 ，c=a2+b2=2 ，所以双曲线的离心率e=ca=2 ，所以A正确；双曲线的渐近线方程为y=x ，即xy=0 ，所以B正确；因为双曲线的焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,-2) 和(0,2) ，所以C不正确；由点到直线的距离公式可得焦点(0,2) 到一条渐近线x+y=0 的距离为|2|12+12=1 ，所以D正确.11.（2020山东聊城高二期末）已知直线y=kx 与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左、右两支分别交于A、B 两点，F 为双曲线的右焦点，其中ABF=2 ，BAF=6 ，则双曲线C 的离心率为( )A.2B.3+1 C.3 D.7

7、答案：D解析：取左焦点为F1 ，连接AF1,BF1 ，如图所示，由ABF=2,BAF=6 ，易知|BF1|=|AF|=2|BF| ，由双曲线的定义知|BF1|-|BF|=2a ，两式联立可得|BF|=2a ，则|AF|=4a ，|AB|=23a ，由双曲线的对称性知|OA|=|OB|=12|AB|=3a ，在RtOBF 中，|OF|=c ，|BF|=2a ，|OB|2+|BF|2=|OF|2 ，即3a2+4a2=c2 ，即c=7a ，e=ca=7 .12.（2021山东日照五莲高二期中）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左、右焦点分别为F1,F2 ，点P 是C 的右支上一点

8、，连接PF1 与y 轴交于点M, 若|F1O|=2|OM| （O 为坐标原点），PF1PF2 ，则双曲线C 的渐近线方程为 .答案：y=2x解析：设F1(-c,0) ，F2(c,0) ，由|F1O|=2|OM| ，OMF1 与PF2F1 相似得|F1O|OM|=|PF1|PF2|=2 ，即|PF1|=2|PF2| ，因为|PF1|-|PF2|=2a ，所以|PF1|=4a ，|PF2|=2a ，由勾股定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 ，所以4c2=16a2+4a2 ，即c2=5a2 ，b2=c2-a2=4a2 ，所以双曲线C 的渐近线方程为y=2x .13.（2021辽宁本溪重

9、点高中高二月考）已知F1,F2 分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左、右焦点.若双曲线C 与圆O:x2+y2=a2+b2 的一个交点为A(x0,y0)(x00,y00) ，且双曲线C 的渐近线为y=26x ，则cosAF2F1= .答案：45解析：因为a2+b2=c2 ，所以圆O:x2+y2=c2 ，所以|F1F2| 为圆O 的直径，故|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2 ，又双曲线C 的渐近线为y=26x ，则ba=26 ，且c2=a2+b2 所以c=5a ，设|AF2|=x ，则|AF1|=x-2a ，代入得x2+(x-2a)2=100a2 ，解得|AF2|=8a （负值舍去），所以cosAF2F1=|AF2|F1F2|=45 .