2022版新教材高中数学 第二章 平面解析几何 7 抛物线及其方程 1 抛物线的标准方程训练（含解析）新人教B版选择性必修第一册.docx

1、抛物线的标准方程基础达标练1.（2020山东济宁高二期末）抛物线x2=12y的焦点坐标为( )A.(12,0) B.(0,12) C.(18,0) D.(0,18)答案：D2.（2020哈尔滨第一中学高二期末）已知抛物线x2=4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为3,则点M的纵坐标是 ( )A.0B.12 C.2D.2答案：C3.过点(1,-2)的抛物线的标准方程是( )A.y2=4x或x2=14y B.y2=4xC.y2=4x或x2=-12y D.x2=-12y答案：C4.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F ,过点(p,0)且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A ,若|

2、AF|=1 ,则抛物线C的方程为( )A.y2=43x B.y2=2x C.y2=3x D.y2=4x答案：A5.平面直角坐标系xOy中,动点P到圆(x-2)2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=-1的距离相等,则P点的轨迹方程是( )A.y2=8x B.x2=8y C.y2=4x D.x2=4y答案：A6.（2021湖南长郡中学高二期中）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是“东方之门”的立意基础,“门”的内侧曲线呈抛物线型,如图1,两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接,在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户,两窗户的水平距离为30m ,如图2,则此抛

3、物线顶端O到连桥AB的距离为( )A.180m B.200mC.220m D.240m答案：B7.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F ,A为C上一点,且|AF|=5,O为坐标原点,则AOF的面积为 .答案： 2解析：根据题意,抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0) ,设A(m,n) ,则|AF|=(m-1)2+n2=m+1=5,m=4,n=4,SAOF=1214=2 .8.（2020江西南昌高二期中）已知圆的方程为x2+y2=4 ,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0) ,且以圆的某一条切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程是 .答案：x24+y23=1(y0)解析：设抛物线的焦点为F ,过

4、A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1（图略）,则有|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4 ,由抛物线的定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|，|FA|+|FB|=4 ,故点F的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆（去掉长轴两端点）,抛物线的焦点的轨迹方程是x24+y23=1(y0) .素养提升练9.已知直线l过抛物线y2=2px(p0)的焦点F ,交抛物线于点A,B ,交其准线于点C ,若|BC|=2|BF|(B位于A,C之间）,且|AF|=4 ,则抛物线的方程为( )A.y2=8x B.y2=6x C.y2=4x D.y2=2x答案： C 解析：分别过点A,B作AM,B

5、D垂直于准线,如图,结合抛物线的定义,可得|AF|=|AM|=4,|BF|=|BD|=12|BC| ,易知BDCAMC ,所以|BC|BD|=|AC|AM| ,代入数据,得到|AC|=8 ,所以|CF|=|AC|-|AF|=4 ,易知CFNCBD ,所以|BC|BD|=|CF|NF| ,则|NF|=2 ,故p2=1,p=2 ,所以抛物线的方程为y2=4x ,故选C.10.（多选）（2021山东枣庄八中高二月考）已知抛物线E:x2=4y的焦点为F ,圆C:x2+(y-1)2=16与抛物线E交于A,B两点,点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,过点P作平行于y轴的直线l交抛物线E于点N ,则下列

6、四个命题中正确的是( )A.点P的纵坐标的取值范围是(23,5)B.|PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离C.圆C的圆心到抛物线准线的距离为2D.PFN周长的取值范围是（8,10）答案： B; C; D 解析：圆C:x2+(y-1)2=16的圆心为C（0,1） ,半径r=4,与y轴正半轴的交点为（0,5）,抛物线E:x2=4y的焦点为F（0,1） ,准线为直线y=-1 ,联立圆的方程和抛物线的方程可得A,B两点的纵坐标为3,所以点P的纵坐标yP(3,5) ,故A错误;由抛物线的定义可得|PN|+|NF|等于点P到抛物线准线的距离,故B正确;圆C的圆心到抛物线准线的距离为2,故C正确;PF

7、N的周长为|PF|+|PN|+|NF|=r+yP+1=yP+5(8,10) ,故D正确.11.如图所示,抛物线C的顶点为坐标原点O ,焦点F在y轴上,准线l与圆x2+y2=1相切（1）求抛物线C的方程;（2）若点A,B都在抛物线C上,且FB=2OA ,求点A的坐标答案：（1）依题意,可设抛物线C的方程为x2=2py(p0) ,则准线l的方程为y=-p2 .准线l与圆x2+y2=1相切,圆心（0,0）到准线l的距离d=0-(-p2)=1 ,解得p=2 .故抛物线C的方程为x2=4y .（2）设A(x1,y1),B(x2,y2) ,则x12=4y1,x22=4y2,由题意得F(0,1),FB=(x

8、2,y2-1),OA=(x1,y1),FB=2OA,(x2,y2-1)=2(x1,y1)=(2x1,2y1),即x2=2x1,y2=2y1+1,代入得4x12=8y1+4,即x12=2y1+1又x12=4y1,所以4y1=2y1+1,解得y1=12,x1=2,即点A的坐标为(2,12)或(-2,12) .创新拓展练12.如图,圆C:x2+(y-4)2=1上有一动点M ,抛物线y2=12x上有一动点N(x0,y0) ,则x0+|MN|的最小值为( )A.1B.3C.4D.6答案： A解析：命题分析已知圆上的动点M和抛物线上的动点N(x0,y0) ,求x0+|MN|的最小值.答题要领利用抛物线的定

9、义求出(x0+|CN|)min=2 ,再利用x0+|MN|的最小值为(x0+|CN|)min-r求解即可详细解析易知抛物线y2=12x的焦点为F（3,0） ,准线方程为x=-3,圆C:x2+(y-4)2=1的圆心为C（0,4） ,半径r=1 ,设N到准线的距离为d ,则x0=d-3 ,所以x0+|CN|=d-3+|CN|=|NF|+|CN|-3|CF|-3=32+(-4)2-3=2 ,当C,N,F三点共线时,取最小值,所以x0+|CN|的最小值为2,所以x0+|MN|的最小值为(x0+|CN|)min-r=2-1=1 .方法感悟与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离;（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,使问题得到解决.