2022版新教材高中数学 第二章 直线和圆的方程 3.docx

1、两点间的距离公式1.（2021安徽蚌埠田家炳中学、蚌埠五中高二期中联考）已知三角形的三个顶点为A(2,4) ，B(3,-6) ，C(5,2) ，则过点A 的中线的长为( )A.10 B.210C.112 D.310答案： B2.（2021北京新学道临川学校高二期中）已知点M(m,-1) ，N(5,m) ，且|MN|=25 ，则实数m 等于( )A.1B.3C.1或3D.-1或3答案： C3.（2021天津师大附中高二第一次月考）已知过点M(-2,a) ，N(a,4) 的直线的斜率为-12 ，则|MN| 等于( )A.10B.180C.63 D.65答案： D4.已知两点P(m,1) 和Q(1,

2、2m) 之间的距离大于10 ，则实数m 的取值范围是( )A.-45m2 B.m-45 或m2C.m-2 或m45 D.-2m45答案： B5.（2021江苏南京高二期中）已知P(cos,sin) ，Q(cos,sin) ，则|PQ| 的最大值为( )A.2 B.2C.4D.22答案： B6.（2021福建厦门大同中学高二期中）以点A(-3,0) ，B(3,-2) ，C(-1,2) 为顶点的三角形是( )A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形答案： D7.在直线x-y+4=0 上取一点P ，使它到点M(-2,-4) ，N(4,6) 的距离相等，则点P 的坐标为 .答案：

3、(-32,52)8.已知在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AB 的中点，DE ，CF 相交于点G ，用坐标法求证：|AG|=|AD| .答案：证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则B(0,0) ，C(2,0) ，A(0,2) ，E(1,0) ，F(0,1) ，D(2,2) .易得直线DE 的方程为y=2x-2 ，直线CF 的方程为y=-12x+1 ，联立得y=2x-2y=-12x+1 ，解得x=65 ，y=25 ，即点G(65,25) ，所以|AG|=(65-0)2+(25-2)2=2=|AD| .素养提升练9.（多选题）已知点M(-1,3) ，N(5,1) ，

4、P(x,y) 到M ，N 的距离相等，则下列说法正确的是( )A.|MN|=210B.直线MN 的方程是x+3y-7=0C.直线MN 的方程是x-3y+9=0D.x,y 满足条件3x-y-4=0答案： A ; D解析：因为M(-1,3) ，N(5,1) ，所以|MN|=(5+1)2+(1-3)2=210 ，所以A中说法正确；直线MN 的方程为y-31-3=x+15+1 ，即x+3y-8=0 ，所以B 、C中说法错误；由点P(x,y) 到M ，N 的距离相等可知(x+1)2+(y-3)2=(x-5)2+(y-1)2 ，即3x-y-4=0 ，所以D中说法正确.10.（2021云南丽江一中高二月考）

5、已知点A(1,2) ，B(-2,3) ，直线l:y=x ，在直线l 上找一点P ，使得|PA|+|PB| 的值最小，则这个最小值为( )A.34 B.25C.10 D.2答案： B解析：设A 关于直线y=x 的对称点为A(a,b) ，则b-2a-1=-1b+22=a+12a=2b=1 ，A(2,1) ，(|PA|+|PB|)min=|BA|=(-2-2)2+(3-1)2=25 .11.（2021天津武清天和城实验中学高二期中）已知kR ，则(x+1)2+4-(x-5)2+100 的最小值是 .答案：-10解析： (x+1)2+4-(x-5)2+100 可转化为点P(x,0) 到点A(-1,2)

6、 ，B(5,10) 的距离之差，当P ，A ，B 三点不共线时，有|PA|-|PB|AB| ，当P ，A ，B 三点共线时，有|PA|-|PB|=|AB| ，故|PA|-|PB|AB|=10 ，即-10|PA|-|PB|10 ，当且仅当点P 为直线AB 与x 轴的交点时，|PA|-|PB| 取得最小值-10，即原式取得最小值-10.12.已知直线l:(3+1)x+(2-)y-4-5=0 恒过定点A .（1）求点A 的坐标；（2）若点B 与点A 关于y 轴对称，点P 是直线m:y=3x+5 上一动点，求|PA|2+|PB|2 的最小值.答案： （1）将(3+1)x+(2-)y-4-5=0 整理为

7、(x+2y-4)+(3x-y-5)=0 ，令x+2y-4=03x-y-5=0x=2y=1 ，故点A的坐标为(2,1).（2） 点B 与点A 关于y 轴对称， 点B 的坐标为(-2,1)， 点P 是直线y=3x+5 上一动点， 设P(t,3t+5) ，|PA|2+|PB|2=(t-2)2+(3t+4)2+(t+2)2+(3t+4)2=20t2+48t+40=20(t+65)2+565 ，故当t=-65 时，|PA|2+|PB|2 取得最小值，为565 .创新拓展练13.（2021山东潍坊高二期中）某工厂M （看作一点）位于两条高速公路（看作两条直线）OA 与OB 之间.已知M(153,9) ，A

8、OB=60 ，以O 为坐标原点，直线OA 为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）求直线OB 的方程；（2）现紧贴工厂M 修建一条公路（看作直线）连接高速公路OA 和OB ，与OA 的连接点为C ，与OB 的连接点为D ，且M 恰为线段CD 的中点，求线段CD 的长.命题分析 本题考查了直线方程、中点坐标公式、两点间的距离公式以及运算求解的能力.答题要领 （1）求出直线OB 的斜率，即可写出直线OB 的方程;（2）根据中点坐标公式求出C、D 的坐标，即可计算CD 的长.详细解析（1）因为AOB=60 ，所以直线OB 的斜率k=tan60=3 ，所以直线OB 的方程为y=3x .（2）设C(x1,0) ，D(x2,y2) ，因为M(153,9) 为线段CD 的中点，且D 在OB 上，所以x1+x22=1530+y22=9y2=3x2 ，解得x1=243x2=63y2=18 ，所以|CD|=(243-63)2+182=36 .解题感悟 利用两点间的距离公式解决实际问题，关键是先求出两点的坐标，再根据两点间的距离公式求解.