2022版新高考数学人教A版一轮总复习集训：8-1 空间几何体的结构特征、表面积与体积 专题检测 WORD版含解析.docx

1、8.1空间几何体的结构特征、表面积与体积专题检测1.(2019湖北恩施二模,9)某圆锥的母线长为2,高为423,其三视图如图所示,圆锥表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆锥表面上的点N在侧视图上的对应点为B,则在此圆锥侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2B.22C.8+23D.22-3答案D因为圆锥的母线长为2,高为423,所以底面半径r=22-4232=23,所以底面周长为2r=43,所以侧面展开图中扇形中心角为2r2=432=23,所以从M到N的路径中,最短路径的长度为22+22-222cos6=22-3.2.(2019河南郑州一模,9)如图,网格纸上小正方形的边长为2,

2、粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.162+(32+162+165)B.162+(16+162+165)C.162+(32+322+325)D.162+(16+322+325)答案A由三视图知该几何体是由两个圆锥与一个长方体组合而成的,两个圆锥的底面半径均为4,高分别为4和8,长方体的长、宽、高分别为22、22、2,则该几何体的表面积S=122442+122445+422+2224=162+(32+162+165),故选A.3.(2019贵州遵义四中3月月考,9)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此

3、棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22答案A取AB的中点D,连接SD,CD,则ABCD.因为SC为球O的直径,点A、B都在球面上,所以SBC=SAC=90,又因为ABC是边长为1的正三角形,且SC=2,所以SA=SB=3,所以SDAB,又因为SDCD=D,所以AB面SDC,所以SD=(3)2-122=112,CD=12-122=32,在三角形SDC中,cosSDC=SD2+DC2-SC22SDDC=-3333,所以sinSDC=46633,所以SSDC=12SDDCsinSDC=22,所以棱锥的体积V=13SSDCAB=26.4.(2019北京朝阳期末,8)以棱长为1的正方体各面的中

4、心为顶点构成一个正八面体,再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体,那么该小正方体的棱长为()A.22B.33C.13D.14答案C设原正方体、正八面体、小正方体分别为C1、C2、C3,已知C1的棱长为1,以正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体,它的中截面(垂直平分相对顶点连线的界面)是正方形,该正方形对角线长等于正方体C1的棱长,所以该正八面体C2的棱长为12=22,以C2各个面的中心为顶点的正方体为C3,正方体C3面对角线长等于C2棱长的23,为2322=23,所以小正方体C3的棱长为232=13,故选C.5.(2019安徽A10联盟3月联考,9)已知某几何体的三视图如

5、图所示,则该几何体的侧面积为()A.17+2+5B.17+2+9C.17+2+10D.217+22+10答案A由三视图可知,该几何体是一个四棱锥(侧棱PA垂直于底面ABCD),其直观图如图所示,CD=(AD-BC)2+AB2=(3-1)2+22=22,PB=PA2+AB2=22+22=22,PD=PA2+AD2=22+32=13,PC=PB2+BC2=(22)2+12=3,在PCD中,cosPCD=PC2+CD2-PD22PCCD=32+(22)2-(13)22322=26,sinPCD=1-262=346.SPCD=12PCCDsinPCD=12322346=17,又SPAB=12PAAB=

6、1222=2,SPAD=12PAAD=1223=3,SPBC=12PBBC=12221=2,该四棱锥的侧面积S=SPCD+SPAB+SPAD+SPBC=17+2+3+2=17+2+5.故选A.方法技巧对于三视图问题,一般根据该几何体的三视图判断几何体的形状,再作出其直观图,从而根据直观图来计算棱长、表面积和体积,在解决组合体表面积问题时,一定要注意重叠面,尤其要注意重叠面是否完全重叠.6.(2018云南玉溪一中期中,11)已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上,且PA平面ABC,若该三棱锥的体积为233,AB=2,AC=1,BAC=60,则球的表面积等于()A.5B.20C.8D.16答案

7、B根据AB=2,AC=1,BAC=60,由余弦定理的推论可得cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC=22+12-BC2221=12,解得BC=3,SABC=12ABACsin60=122132=32.VP-ABC=13SABCPA=1332PA=233.解得PA=4.设ABC外接圆的半径为r,则2r=BCsin60=332=2,r=1,球的半径R=r2+PA22=1+4=5.球的表面积S=4R2=20,故选B.7.(2020江西南昌调研,15)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中2a+b=2(a0,b0),则此三棱锥体积的最大值为.答案13解析如图,由题意,知三棱锥的直观图为三棱锥A-

8、CB1D1,且长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为2,a,b,此三棱锥的体积V=2ab-1312ab24=23ab=132ab132a+b22=13,当且仅当a=12,b=1时,等号成立,三棱锥体积的最大值为13.8.(2018陕西部分重点中学摸底检测,14)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD平面CBD,形成的三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为.答案14解析由三棱锥C-ABD的正视图、俯视图得三棱锥C-ABD的侧视图为直角边长为22的等腰直角三角形,所以三棱锥C-ABD的侧视图的面积为122222=14.9.(2017宁夏银川一模,

9、14)已知矩形ABCD的周长为18,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个正六棱柱的体积最大时,它的外接球的表面积为.答案13解析设正六棱柱的底面边长为x,高为y,则6x+y=9,0x0),则21+x2+2+4x2=3+5,可得x=12,CC1=1,又易知三棱锥C1-ABC外接球的球心为AC1的中点,半径R=32,则三棱锥C1-ABC外接球的表面积S=4R2=3.12.(2020广西柳州重点中学摸底考试,15)菱形ABCD的边长为6,BAD=60,将BCD沿对角线BD翻折,使得二面角C-BD-A的大小为120,已知A、B、C、D四点在同一球面上,则球的表面积等于.答案84解析设球的半径为R.如图

10、,点O1,O2分别为BAD,CBD外接圆的圆心,点O为球心,连接AO1,CO2并延长,由菱形性质知直线AO1,CO2交于一点G,且G在BD上,连接OA,OG,易知OO1AG,OO2CG.因为菱形ABCD的边长为6,BAD=60,所以AO1=63223=23,O1G=63213=3,由菱形的对称性及二面角C-BD-A的大小为120,A,B,C,D四点在同一球面上得OGO1=60,所以OO1=3tan60=3,R2=OA2=AO12+OO12=21,S=4R2=84,故答案为84.方法总结找几何体外接球球心的方法:(1)构造长方体(或正方体),将原几何体外接球转化成长方体(或正方体)的外接球,进而得球心的位置;(2)找几何体底面的外心O1,过O1作底面的垂线l1,再找几何体一侧面的外心O2,过O2作该侧面的垂线l2,则l1与l2的交点即为外接球的球心.