福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校2023-2024学年高三下学期返校联考数学试卷.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 2024 年春高三返校联考考试科目：数学满分：150 分考试时间：120 分钟命题者：刘法宝、吴志湖审核者：黄培华、王建清、刘晓波第卷（选择题）一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的1已知集合412,log1Ax xBxx，则 AB（）A3,4B,13,4 C1,4D,42若复数3i2ia 是纯虚数，则实数a （）A23B 23C32D 323在ABC中，D 是线段 BC 上一点，满足2,BDDC M是线段 AD 的中点，设 BMxAByAC，则（）A12xy

2、 B12xy C12xyD12xy4深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00GGLL D，其中 L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5，衰减速度为 22，且当训练迭代轮数为 22 时，学习率衰减为 0.45，则学习率衰减到 0.05 以下（不含 0.05）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：lg20.3010,lg30.4771）A11B22C227D4815已知椭圆22:143xyC的左右焦

3、点为12,FF P、为椭圆C 上一点，123PF F，则12PF F的面积为（）A3B1C3D2 36在ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，若2,CA a b c成等差数列，则cosC （）A 18B 34C12D 457已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右顶点为 AB、，点 PQ、均在C 上，且关于 x 轴对称若直线 APBQ、的斜率之积为14，则该双曲线的离心率为（）学科网（北京）股份有限公司A72B62C52D28已知正数,a b c 满足,aeblnc e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）A2acbB2acbC2acbD2acb二、多选题：

4、本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分9已知,A B 是直线32y 与函数 sin(0)6f xx图象的两个相邻交点，若6AB，则 的值可能是（）A2B4C8D1010在正方体1111ABCDA B C D中，2,ABP是正方形 ABCD 内部（含边界）的一个动点，则（）A存在唯一点 P，使得11D PB CB存在唯一点 P，使得直线1D P 与平面 ABCD 所成的角取到最小值C若12DPDB，则三棱锥1PBB C外接球的表面积为8D若异面直线1D P 与1A B 所成的角为 4，则

5、动点 P 的轨迹是抛物线的一部分11学校食堂每天中午都会提供,A B 两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择 A 套餐的概率为 23，选择 B 套餐的概率为 13而前一天选择了 A 套餐的学生第二天选择 A 套餐的概率为 14，选择 B 套餐的概率为 34；前一天选择 B 套餐的学生第二天选择 A 套餐的概率为 12，选择 B 套餐的概率也是 12，如此反复记某同学第 n 天选择 A 套餐的概率为nA，选择 B 套餐的概率为nB 一个月（30天）后，记甲乙丙三位同学选择 B 套餐的人数为 X，则下列说法中正确的是（）A1nnABB数列25nA是等比数列C

6、1.5E X D361125P X 第卷（非选择题）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分将答案填在答题卡的相应位置12已知圆224xy，直线:l yxb，圆上恰好有两个点到直线l 的距离等于 1则符合条件的实数b 可以为_（只需写出一个满足条件的实数即可）13梯形 ABCD 中，,1,2ADBC ABAD ADABBC，分别以 ABBCAD、为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为_学科网（北京）股份有限公司14若过点1,0 可以作曲线lnyxa的两条切线，则实数a 的取值范围为_四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（1

7、3 分）如图为一块直四棱柱木料，其底面 ABCD 满足：,ABAD ADBC（1）要经过平面11CC D D 内的一点 P 和棱1BB 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）（2）若12,1ADABBCAA，当点 P 在点C 处时，求直线 AP 与平面11CC D D 所成角的正弦值16（15 分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，质点到达位置的数字记为 X（1）若该质点共移动 2 次，位于原点O 的概率（2）若该质点共移动 6 次，求该质点到达数字 X 的分布列和数学期望17（15 分）有24n

8、n 个正数，排成 n 行 n 列的数表：1112131412122232423132333434142434441234nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa，其中ija 表示位于第i 行，第 j 列的数数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知244243131,816aaa（1）求公比（2）求1122nnaaa18（17 分）已知抛物线2:2(0)C ypx p经过点4,4P（1）求抛物线C 的方程及其准线方程学科网（北京）股份有限公司（2）设O 为原点，直线2ykx与抛物线C 交于,M N（异于 P）两点，过点 M 垂直于 x

9、轴的直线交直线OP 于点T，点 H 满足 MTTH证明：直线 HN 过定点19（17 分）已知函数 21ln,1f xex x g xxe（1）证明：对任意的0,1x，都有 fxg x（2）若关于 x 的方程 fxm有两个不等实根12,x x，证明：2112 1mxxm学科网（北京）股份有限公司安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024 年春高三返校联考数学参考答案题号1234567891011答案ACBDAACBADBCDABD1答案：A解析：由12x，得1x 或3x，所以13Ax xx 或，由4log1x，得 04x，所以04Bxx，所以34ABxx2答案：C解析：3i2i236i

10、3i2i55aaaa，则 230a，有32a 3答案：B解析：因为 D 是线段 BC 上一点，满足2BDDC，所以22123333ADABBCABACABABAC，又 M 是线段 AD 的中点，所以111263AMADABAC，所以11516363BMBAAMABABACABAC ，所以51,63xy，故12xy 4答案：D解析：由于00GGLL D，所以220.5GLD，依题意222290.450.510DD，则2290.510GL，由2290.50.0510GL得222291919,lglg,lg110101010 2210GGG，学科网（北京）股份有限公司22lg9lg1022,lg10

11、lg922,lg10lg9GGG，222222480.3512lg3120.47710.0458G，所以所需的训练迭代轮数至少为 481 轮5答案：A解析：P 为短轴上的顶点6答案：A解析：因为2CA，所以3BA又因为,a b c 成等差数列，则 2bac根据正弦定理可得：2sinsinsinBAC，即2sin 3sinsinAAC，展开得：2sin2 cos2cos2 sinsinsinAAAAAC，进一步得：sin22cos1sin12cos2AAAA，因为sin0A，可得28cos2cos30AA，又易知 A 为锐角，所以3cos4A，则231cos2148C，故 A 正确7答案：C解析

12、：设1111,P x yQ xy，则221112221111115,4442yyybexa xaxaa 8答案：B解析：由题设0a，则1b，且ln,bab ce，则lnbacbe，令 ln2xfxxex且1x，故 12xfxex，令 12xg xex，则 21xgxex在1,上递增，故 110gxge，所以 g xfx在1,上递增，故 110fxfe，所以 fx 在1,上递增，故 120fxfe，即ln2xxex在1,上恒成立，故2acb，A 错，B 对；对于2,ac b 的大小关系，令 2lnxh xexx且1x，而 2110,0ehh eee ，显然 h x 在1,上函数符号有正有负，故2

13、ln,xex x 的大小在1,x 上不确定，即2,ac b 的大小在1,b 上不确定，所以 C、D 错学科网（北京）股份有限公司9答案：AD解析：设函数 fx 的最小正周期为T，则16ABT或者56ABT，即 266 或1066，解得2 或10，10答案：BCD解析：对于 A 选项：正方形11BCC B 中，有11BCB C，正方体中有 AB 平面111,BCC B B C 平面111,BCC B ABB C，又11,BCABB BC AB平面111,ABC D B C 平面11ABC D，只要1D P 平面11ABC D，就有11,D PB C P在线段 AB 上，有无数个点，A 选项错误；

14、对于 B 选项：1D D 平面 ABCD，直线1D P 与平面 ABCD 所成的角为111,2,D PD D DD PD取到最小值时，PD 最大，此时点 P 与点 B 重合，B 选项正确；对于 C 选项：若12DPDB，则 P 为 DB 中点，PBC为等腰直角三角形，外接圆半径为 112 BC，三棱锥1PBB C外接球的球心到平面 PBC 的距离为1112 BB，则外接球的半径为2，所以三棱锥1PBB C外接球的表面积为8，C 选项正确；对于 D 选项：以 D 为原点，1,DA DC DD 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则110,0,2,2,0,2,2,

15、2,0,002,02DABP x yxy，则有11,2,0,2,2D Px yA B，有11112211242cos,cos 4248D P A ByD P A BD PA Bxy ，化简得24,xy P是正方形 ABCD 内部（含边界）的一个动点，所以 P 的轨迹是抛物线的一部分，D 选项正确11答案：ABD解析：由于每人每次只能选择,A B 两种套餐中的一种，所以1nnAB，所以 A 正确，依题意，111142nnnAAA，则12121,545nnAAnnN，又1n 时，1222453515A，学科网（北京）股份有限公司所 以 数 列25nA是 以415为 首 项，以14为 公 比 的 等

16、 比 数 列，所 以124121613161,1515451545154nnnnnnnAABA ，当30n 时，35nB，所以33,5XB，23323691,551255lP XCE X12答案：符合23 2b即可13答案：73解析：如下图所示：由题意可知，四边形 ABCD 是直角梯形，且 AB 为直角腰，1,2ABADBC若以 AB 为轴旋转一周，则形成的几何体为圆台，且圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 2，高为 1，几何体的体积为11744133V；若以 BC 为轴旋转一周，则形成的几何体是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成的几何体，且圆柱、圆锥的底面半径均为 1，高均为 1，几何体的体积为

17、22214111133V ；若以 AD 为轴旋转一周，则形成的几何体是在一个圆柱中挖去一个圆锥所形成的几何体，圆柱的底面半径为1，高为 2，圆锥的底面半径与高均为 1，几何体的体积为3V2215121133 因为132VVV，因此，分别以 ABBCAD、为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为 73 14答案：10a 解析：曲线lnyxa有渐近线 xa，且与 x 轴交于点1,0Aa结合图像可知，点1,0 应位于 A与渐近线之间，故有11aa ，解得：10a 学科网（北京）股份有限公司15解析：（1）过点 P 作直线1EFCC，分别交11CDC D、于 EF、，连接1BEB F、（2）以1AA

18、ABAD、所在直线分别为 xyz、轴建立空间直角坐标系 Axyz则10,0,0,0,0,2,1,0,2,0,2,10,2,1ADDCP10,2,1,0,2,1,1,0,0APCDDD设平面11CC D D 的法向量为,nx y z，则1200n CDyzn DDx ，取0,1,2n 设直线 AP 与平面11CC D D 所成角为4,sincos,5n APn APn AP，所以直线 AP 与平面11CC D D 所成角的正弦值为 4516解析：（1）质点移动 2 次，可能结果共有224种，若质点位于原点O，则质点需要向左、右各移动一次，共有122C 种，故质点位于原点O 的概率2142P（2）

19、质点每次移动向左或向右，设事件 A 为“向右”，则 A 为“向左”故 12P AP A，学科网（北京）股份有限公司设Y 表示 6 次移动中向左移动的次数，则16,2YB，质点到达的数字62XY，所以6061160264P XP YC，6161341232P XP YC，62611522264P XP YC，6361503216P XP YC，64611524264P XP YC ，6561345232P XP YC ，6661166264P XP YC ，所以 X 的分布列为：X6420246P16433215645161564332164 1622626602E XEYE Y 17解析：（1

20、）第 4 行公差为43424443111,16164daaaa由已知：22414aq，所以12q 又每个数都是正数，所以12q（2）因为41116a，所以4ka是首项为 116，公差为 116的等差数列故416kka因为每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，所以441122nnnkkaak故12nnnan，设nna的前 n 项和为nS，122112211111232222nnnnSaaan ,学科网（北京）股份有限公司23411111112322222nnSn ,-得1231111111222222nnnSn11111221212nnn 11122nnn 所以222nnnS18解析：（1

21、）由已知，168p，所以2p 抛物线2:4C yx，准线方程为1x （2）由242yxykx，消去 x，得2480kyy设1122,M x yN xy，则0,0k，且121248,yyy ykk直线OP 方程为：yx所以 11,T x x又 MTTH，则T 为 MH 中点，所以11,2lH xxy所以2211212:2yyxxHNxyyxx令0y，则212211221221121211211211222222yxxxxyyyxxxxyy xxxxyyxyyxyy又2221221121212122111124420442424y yyyy yy yy yx yxxyyyykk所以直线 HN 过定

22、点O 19解析：1 令 21ln1,0,1h xf xg xex xxxe则 121ln12ln2,0h xexxe xxeheee又当0,1x 时，220ehxex，所以 hx在0,1 上单调递增学科网（北京）股份有限公司所以当10,xe时，10hxhe，当1,1xe时，10hxhe所以 10h xh e故对任意的0,1x，都有 fxg x 2ln1fxex，当10,xe时 0,fxfx单调递减，当1,xe时 0,fxfx单调递增又011,lim()0,(1)0 xff xfe ，所以 10m 设函数 g x 的图象与直线 ym的交点的横坐标分别为1x 和2x 不妨设1212,xx xx，则

23、1122xxxx，所以2121xxxx又方程211mxe可化为222110 xxmee，其两根为1x 和2x，所以1212221,1xxx xmee 所以221121242 1xxxxx xm 故212 1xxm当10,xe时，lnfxex xex，函数 fx 图像在直线 yex 的下方当1,xe时，令 11 ln1k xexx，则 221111exekxxxx所以 k x 在 11,1e e上递减，在1,11e上递增又 110kke 所以当1,xe时，11 ln10k xexx 故 ln11ef xex xxe，函数 fx 图像在直线11eyxe的下方学科网（北京）股份有限公司直线 ym与直线 yex 的交点横坐标分别为3x，与直线11eyxe交点的横坐标为4x，则34,1mmxxmee 所以21431xxxxm 综上，2112 1mxxm