福建省晋江市安溪一中养正中学惠安一中泉州实验中学2019_2020学年高二数学上学期期末四校联考试题PDF2020012303105.pdf

1、安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 2019-2020 年高二上学期期末考试联考试卷 考试科目：数学 满分：150 考试时间：120 分钟 命题者：李德勇 审核者：张开春 王建清 朱坤城 许建全 一、选择题：本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题纸的相应位置.1复数iiz=1的共轭复数是（）Ai2121+Bi2121 Ci2121+Di2121 2.抛物线28yx=的焦点坐标是（）A.()0,2 B.()2,0 C.10,32 D.1,032 3.九章算术第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱四百八十，

2、乙持钱三百,丙持钱二百二十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问乙出几何？”其意为：“今有甲带了 480 钱，乙带了 300 钱，丙带了 220 钱，三人一起出关，共需要交关税 100 钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出（）A.50 B.32 C.31 D.30 4“9k”是“曲线19322=+kykx为双曲线”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5.已知axxxf+=)12ln()(，且1)2(=f，则=a（）A 57 B 56 C53 D54 6已知圆22:(3)1Cxy+=与双曲线22221(0,0)xyEabab=:的渐近线相切，

3、且圆心C恰好是双曲线 E 的一个焦点，则双曲线 E 的标准方程是()A B1222=yx C112922=yx D1222=yx 7函数1()ln1f xxx=的图象大致是()A B C D 8.设 F 为抛物线pxy22=的焦点，斜率为)0(kk的直线过 F 交抛物线于 A、B 两点，若|4|FBFA=，则直线 AB 的斜率为（）A.21 B.43 C.1 D.34 9.已知xaexxf=2)(在 R 上有两个零点，则a 的取值范围是（）A.2,(e B.)2,(e C.2,0(e D.)2,0(e 10已知有相同两焦点 F1、F2的椭圆x2my21(m1)和双曲线x2ny21(n0)，P

4、是它们的一个交点，则PF1F2的形状是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D随 m，n 的变化而变化 11利用一半径为 4cm 的圆形纸片(圆心为 O)制作一个正四棱锥方法如下：(1)以 O 为圆心制作一个小的圆；(2)在小的圆内制作一内接正方形 ABCD；(3)以正方形 ABCD 的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；(4)将正方形 ABCD 作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合.问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为（）A 4 25 B 6 25 C 8 25 D2 2 12.已知ABC为等腰直角三角

5、形，其顶点为,A B C，若圆锥曲线 E 以,A B 为焦点，并经过顶点C，该圆锥曲线 E 的离心率不可以是（）A.21 B.22 C.2 D.21+1322=yx第卷（非选择题 共 90 分)二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.请把答案填在答题纸的相应位置.13命题:p“013,2+xxRx使”,则它的否定p为:_.14袋子中有四个小球，分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“联”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生 1 到 4 之间取整数值的随机数，且用 1,2,3,4 表示取出小球上分别写有“四”“校

6、”“联”“考”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数：13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 23 34 据此估计，直到第二次就停止的概率为_.15.已知抛物线24Cyx=：的焦点为 F，准线为l，过抛物线C 上的点 A 作准线l 的垂线，垂足为 M，若 AMF与AOF（其中 O 为坐标原点）的面积之比为 3：1，则点 A 的坐标为_ 16.已知函数()()()Raaxxxxxf+=22ln.若存在3,1x，使得()()xxfxf成立，则实数 a 的取值范围是_.三、解答题:本大题共 6

7、 小题，共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 10 分)已知曲线 C：32331)(23+=xxxxf （1）求)(xf在点)1(,1(fP处的切线方程；（2）求)(xf在 R 上的极值.18(本小题满分 12 分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABC90，AC 与 BD 相交于点 E，PA平面 ABCD，PA2，AD1，AB 3，BC3.(1)求证：BD平面 PAC；(2)求二面角 APCD 的余弦值 19.(本小题满分 12 分)某“双一流 A 类”大学就业部从该校 2018 年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了 100 人进

8、行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这 100 人月薪收入的样本平均数 x；（2）该校在某地区就业的 2018 届本科毕业生共 50 人，决定于 2019 国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设区间)1.85,2.15=，月薪落在区间 左侧的每人收取 400 元，月薪落在区间 内的每人收取 600 元，月薪落在区间 右侧的每人收取 800 元；方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3%收取；用该校就

9、业部统计的这 100 人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？20.(本小题满分 12 分)已知正方形的边长为4,E F 分别为,AD BC 的中点，以 EF 为棱将正方形 ABCD 折成如图所示的60 的二面角，点 M 在线段 AB 上（1）若 M 为 AB 的中点，且直线 MF 与由EDA,三点所确定平面的交点为G，试确定点G 的位置，并证明直线EMCGD面/；（2）是否存在点 M，使得直线 DE 与平面 EMC 所成的角为60；若存在，求此时 ABAM 的值，若不存在，说明理由 21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：22221xyab（ab0）的左右焦点分别为

10、21,FF，点 B（0，3）为短轴的一个端点，602=BOF （1）求椭圆 C 的方程；（2）如图，过右焦点 F2，且斜率为)0(kk的直线l 与椭圆 C 相交于 D，E 两点，A 为椭圆的右顶点，直线 AE，AD 分别交直线 x3 于点 M，N，线段 MN 的中点为 P，记直线 PF2的斜率为k 试问 k k 是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由 22.(本小题满分 12 分)已知函数21()2lnf xxaxx=，aR （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x xxx，求()()212f xf x的最大值 安溪一中、养正中学、惠安

11、一中、泉州实验中学 2019-2020 年高二上学期期末考试数学联考试卷参考答案 一：选择题（本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.）BCDAA BBDDB CC 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13.013,2+xxRx使 14.0.3 15)22,2(16.),45(+三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解析：（1）32)()(2=xxxfxf的导数 1 分 3)1(,4)1(=ff又，所以)(xf在点)1(,1(fP处的切线方程为014=+yx（也可写成14+=xy）4 分（2）)3)(

12、1(32)()(2+=xxxxxfxf的导数 令0)(=xf可得3,121=xx 5 分 当 x 变化时，)(),(xfxf的变化如下表 x )1,(-1)3,1(3),3(+)(xf+0 _ 0+)(xf 递增 极大值 递减 极小值 递增 8 分 所以)(xf在 x=-1 处取得极大值37)1(=f)(xf在 x=3 处取得极小值325)3(=f 10 分 18.解析：(1)PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，BDPA.又 tanABDADAB 33，tanBACBCAB 3.2 分 ABD30，BAC60，4 分 AEB90，即 BDAC.又 PAACA，BD平面 PAC.6 分(用坐

13、标法各点坐标见（2），条件完整亦给分)(2)建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(3，0,0)，C(3，3,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，CD(3，2,0)，PD(0,1，2)，BD(3，1,0)，设平面 PCD 的法向量为n(x，y,1)，则CDn 0，PDn 0，=+=+02023zyyx，可取,4=x即)3,32,4(=n8 分 由(1)知平面 PAC 的一个法向量为m BD(3，1,0)，10 分 cosm，n|nmnm 84933 43 9331，11 分 由题意可知二面角 APCD 为锐二面角，二面角 APCD 的余弦值为3 9331.12

14、分 19.解析：(1)这 100 人月薪收入的样本平均数 x 是 0.02 1.70.10 1.80.24 1.90.31 2x=+0.2 2.1 0.09 2.20.04 2.32+=.5 分(2)方案一：月薪落在区间 左侧收活动费用约为()0.020.10400 50 100000.24+=（万元）；月薪落在区间 收活动费用约为()0.240.31 0.20600 50 100002.25+=（万元）；月薪落在区间 右侧收活动费用约为()0.090.04800 50 100000.52+=（万元）；因此方案一，这 50 人共收活动费用约为 3.01（万元）；9 分 方案二：这 50 人共收

15、活动费用约为50 0.033x=（万元）；11 分 故方案一能收到更多的费用.12 分 20.解析：（1）因为直线 MF 平面 ABFE，故点G 在平面 ABFE 内也在平面 ADE 内，所以点G 在平面 ABFE 与平面 ADE 的交线上（如图所示）2 分 因为BFAG/，M 为 AB 的中点，所以MBFGAM，所以MFGM=，BFAG=，所以点G 在 EA 的延长线上，且2=AG 连结 DF 交 EC 于 N，因为四边形CDEF 为矩形，所以 N 是 EC 的中点4 分 连结 MN，因为 MN 为 DGF的中位线，所以GDMN/，又因为 MN 平面 EMC，所以直线EMCGD面/.5 分（

16、2）由已知可得，EFAE，EFDE，所以 EF 平面 ADE，所以GDEABEF平面平面，取 AE 的中点 H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,0,0)E，(0,0,3)D，(0,4,3)C，(1,4,0)F，7 分 所以(1,0,3)ED=，(1,4,3)EC=，设(1,0)(04)Mtt，则(2,0)EMt=，设平面 EMC 的法向量(,)mx y z=，则2000430 xtym EMm ECxyz+=+=，取2y=，则 xt=，83tz=，所以8,2,3tmt=，9 分 DE 与平面 EMC 所成的角为60，所以22832(8)243tt=+，所以22 332419

17、tt=+，所以2430tt+=，解得1t=或3t=，11 分 此时41=ABAM或43=ABAM 所以存在点 M，使得直线 DE 与平面 EMC 所成的角为60。12 分 21.解析：（1）由条件可知2,3ab=，故所求椭圆方程为13422=+yx.4分（2）设过点2(1,0)F的直线l 方程为：)1(=xky.由22(1),143yk xxy=+=可得：01248)34(2222=+kxkxk 因为点2(1,0)F在椭圆内，所以直线 和椭圆都相交，即0恒成立.设点1122(,),(,)E x yD xy，则34124,34822212221+=+=+kkxxkkxx.6 分 因为直线 AE

18、的方程为：)2(211=xxyy，直线 AD 的方程为：)2(222=xxyy，令3x=，可得)2,3(11xyM，)2,3(22xyN，所以点 P 的坐标 12121(3,()222yyxx+.8 分 直线2PF 的斜率为12121()02223 1yyxxk+=122112121212()42()4x yx yyyx xxx+=+1212121223()4142()4kx xk xxkx xxx+=+2222222241282341434341284244343kkkkkkkkkkk+=+34k=，所以为定值43.12 分 22.解析：（1）21221()22xaxfxxaxx+=+=，0

19、 x，1 分 ABCDEFGNM第 20 题图l 令2221yxax=+，当2480a=，即22a时，0y，此时()f x 在(0,)+上单调递增；2分 当2a 时，22210 xax+=有两个负根，此时()f x 在(0,)+上单调递增；3 分 当2a 时，22210 xax+=有两个正根，分别为2122aax=，2222aax+=，此时()f x 在()10,x，()2,x+上单调递增，在()12,x x上单调递减5 分 综上可得:2a 时，()f x 在(0,)+上单调递增，2a 时，()f x 在220,2aa，22,2aa+上单调递增，在2222,22aaaa+上单调递减6 分（2）

20、由（1）可得12121,2xxa xx+=，2a，211221axx=+，222221axx=+，2a，222a，120,2x，22,2x+，()()()222122211122ln22lnf xf xxaxxxaxx=+2221212ln2ln1xxxx=+22222222222211132ln2ln1ln12ln22222xxxxxxx=+=+8 分 令22tx=，则12t 13()ln12ln222g tttt=+222213231(21)(1)()12222ttttg ttttt+=+=10 分 当112t 时，()0g t；当1t 时，()0g t()g t在1,12 上单调递增，在(1,)+单调递减 max14ln2()(1)2g tg+=()()212f xf x的最大值为14ln22+12 分