福建省福州第一中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题.pdf

1、高一数学试卷 （完卷 120 分钟 满分 150 分）（注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1下列函数中,周期为 的是()A2sin3yx Btan2yx Csin cosyxx Dsin|yx 2函数tan4yx的单调递增区间为()A,()44kkkZ B3,()44kkkZ C3,()44kkkZ D33,()44kkkZ 3函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 可能是（）A()2sin 23f xx B()2sin 26f xx C()2sin 46f xx

2、D()2sin 43f xx 4已知角 的终边在射线2(0)yx x 上，则 2sincos的值为()A 3 55 B 5 C5 D3 55 5函数()(22)sin2xxf xx的图象大致是()A B C D 6已知cos1a，sin2b，tan4c，则()Acba B abc Cbac D.bca 7已知5,tan3,cos(),tan()2 25 ,则()A52 B 12 C 2 D112 8我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作数书九章中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即ABC的面积222222142acbSa c，其中,a b c 分别为ABC的内角,A B C 的对

3、边，若1b ，且2 sintan12 cosBCB，则ABC的面积的最大值为()第（3）题图 A22 B2 C32 D3二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 9下列说法正确的有()A若sin0,tan0，则 为第二象限角 B经过 60 分钟，钟表的分针转过 2弧度 C3sin14 cos16sin76 cos742 D终边在 y 轴上的角 的集合是,2kkZ 10已知 4coscos24，则()A2sincos2 B()4kkZ C tan40 D tan1 11若将函数

4、()sin12f xx的图象先向右平移12 个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则()A()g x 的最小正周期为 2 B()g x 图象的一个对称中心为,012 C()g x 的值域为1 1,2 2 D()g x 图象的一条对称轴方程为3x 12定义：实数,x y m 满足|xmym，则称 x 比 y 远离 m 已知函数()f x 的定义域为|,3kDx xkZ，任取 xD，()f x 等于3cosx 和1 cos2x中远离0 的那个值，则（）A()f x 是偶函数 B()f x 的值域为 1,3 C()f x 在2,33上

5、单调递增 D()f x 在4,3上单调递减 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若扇形的面积为 38，半径为 1，则扇形的圆心角为_ 14已知sin3cos0，则2sinsin2 _ 15若在0,2x上有两个不同的实数值满足方程 cos23sin21xxk，则 k 的取值范围是_ 16在平面四边形 ABCD中，3B，2D，4BC，3 3AD，若6ACBACD，则 tanACD=_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（10 分）已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，终边经过点(1,1)Pm，且5cos

6、5 (1)求实数 m 的值；(2)若0m，求sin(3)tan 2cos()cos 2的值 18（12 分）设函数22()cos2cos32xf xx wwwks5ucom （1）求()f x 的单调增区间；（2）求()f x 在0,上的最大值与最小值 19（12 分）设()sin()f xx（0,|）在 区 间511,1212单 调，且xR 都 有51 1()1212ff xf(1)求()f x 的解析式；(2)用“五点法”作出()yf x在20,的简图，并写出函数1()3f x 在20,的所有零点之和 20（12 分）在(1 cos)3 sinA baB；2(cos)caBb请在上述两个条

7、件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的问题 在ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，1bc，（1）求角 A；（2）求 a 的取值范围 21（12 分）某兴趣小组要测量钟楼 AE 的高度 H（单位：m）如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度为2.5h m，仰角ABE，ADE（1）该小组已测得一组,的值，算出了 tan1.22，tan1.10，请据此算出 H 的值（精确到 0.1）；（2）该小组分析测得的数据后，认为适当调整标杆到钟楼的距离 d（单位：m），使 与 之差较大，可以提高测量精度若钟楼的实际高度为 25 m，试问 d 为多少时，最大？22（12 分）英国数学

8、家泰勒发现了如下公式：357sin3!5!7!xxxxx,其中!1 2 3 4nn ,此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当0,2x时，sin xx，3sin3!xxx，35sin3!5!xxxx，（1）证明：当0,2x时，sin12xx；（2）设()sinf xmx，若区间,a b 满足当()f x 定义域为,a b 时，值域也为,a b，则称为()f x 的“和谐区间”，()1m 时，()f x 是否存在“和谐区间”？若存在，求出()f x 的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；（）2m 时，()f x 是否存在“和谐区间”？若存在，求出()f x 的所有“和谐区间”，若不

9、存在，请说明理由 2021-2022 学年第一学期第二学段试卷解答 一、选择、填空题：15 CCADB 68 ABA 9.ABD 10.BCD 11.BD 12.AD.13.34 14.32 15.0,1)16.32.三、解答题：17解(1)由题意可得1x ，1ym ，221(1)rm，所以2251cos51(1)m，整理得2(1)4m，解得1m 或3m (2)因为0m，所以由(1)可得1m ，所以5cos5，2 5sin5 ，所以3cossin(3)tansin152sincos(sin)sin2cos()cos 2 18解:（1）13()cossincos122f xxxx 31sinco

10、s122xxsin16x 令22,262kxkkZ，得22233kxk，所以()f x 的单调增区间为22,2,33kkkZ（2）由0,x得7,666x，所以当62x，即3x时，()f x 取最大值 2；当766x，即 x时，()f x 取最小值 12 19解：（1）依题意()f x 在1112x时取最大值，在512x时取最小值，且1151212T，所以2，由11112f 得1122,122kkZ，即42,3kkZ，又因为|，所以1k ，23，所以2()sin 23f xx（2）列表如下 x 0 6512231112 223x23 32 2 5283()f x 32 0 1 0 1 32 由图

11、知()f x 的一条对称轴为 512，1()3f x 有两个实数根，记为12,x x，则由对称性知125212xx，所以所有实根之和为 56 20解：（1）若选，则由正弦定理得(1cos)sin3sinsinABAB，因为(0,)B，所以sin0B，所以1cos3sinAA，所以 2sin16A，又因为(0,)A，所以5,666A ，所以66A，即3A 若选，则由正弦定理得 2sin2sincossinCABB，所以 2sin()2sincossinABABB，所以 2cossinsinABB，因为(0,)B，所以sin0B，所以1cos2A，又因为(0,)A，所以3A（2）由正弦定理得 si

12、nsinsinabcABC，所以2 3sinsinsin3abBaBA，同理2 3sin3caC，由1bc，故 2 3(sinsin)13 aBC，所以312 sinsinaBC 3122 sinsin3BB 312 33sincos22BB 112 sin6B 由20,3B，所以5,666B，所以1sin,162B，所以 a 的取值范围是1,12 21解：（1）由tanHAD得tanHAD，同理，tanHAB，tanhBD 因为 ADABBD，所以tantantanHHh，解得tan2.5 1.2225.4tantan1.221.10hH。因此，算出钟楼的高度 H 约为 25.4m （2）由

13、题设知 dAB，得 tan,tanHHhHhdADDBd，2tantantan()()1tantan()1HHhhdhddHHhH HhdH Hhdddd()2()H HhdH Hhd，当且仅当15()25 22.5102dH Hh时，取等号，故当15 102d 时，tan()最大。因为02，则02，所以当15 102d 时，最大，故所求的 d 是15 102m 22解：（1）由已知当0,2x时，3sin3!xxx，得222sin1211166242xxx ，所以当0,2x时，sin12xx（2）()1m 时，假设存在，则由 1()1f x 知 11ab ，注意到12，故,2 2a b ，所以

14、()f x 在,a b 单调递增，于是()()f aaf bb，即,a b 是方程sin xx的两个不等实根，易知2x 不是方程的根，由已知，当0,2x时，sin xx，令 xt ，则有,02t 时，sin()tt ，即sin tt，故方程sin xx只有一个实根 0，故()f x 不存在“和谐区间”（）2m 时，假设存在，则由 2()2f x 知 22ab，若,0a b，则由,0,a b，知()0f x，与值域是,0,a b矛盾，故不存在“和谐区间”，同理，,0a b 时，也不存在，下面讨论0ab，若2b，则 0,2a b，故()f x 最小值为 2，于是2a ，所以,2 2a b，所以()f x 最大值为 2，故2b，此时()f x 的定义域为 2,2，值域为 2,2，符合题意 若2b，当2a 时，同理可得2a ，2b，舍去，当2a 时，()f x 在,a b 上单调递减，所以 2sin2sinabba ，于是2(sinsin)abab，若ba 即0ab，则sinsin()ba，故sinsin0ba，2(sinsin)0ab，与2(sinsin)abab 矛盾；若ba ，同理，矛盾，所以ba ，即sin2bb，由（1）知当0,2x时，sin2xx，因为0,2b，所以0b，从而，0a，从而 ab，矛盾，综上所述，()f x 有唯一的“和谐区间”2,2