2022版高考数学（北京专用）总复习文档：第一章 第三节　不等关系与一元二次不等式 WORD版含答案.docx

1、第三节不等关系与一元二次不等式学习要求:1.能梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.2.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.3.能借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(a,bR):a-b0ab,a-b=0a=b,a-b0a1ab,ab=1a=b,ab1abbb,bcac可加性aba+cb+c可乘性abc0acbcc的符号abc0acbcda+cb+d同向同正可乘性ab0cd0acbd可

2、乘方性ab0anbn(nN*,n1)同正可开方性ab0nanb(nN*,n2)3.“三个二次”的关系判别式=b2-4ac0=00)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两相异实根x1,x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2+bx+c0)的解集x|x1x0和(x-a)(x-b)0型不等式的解集不等式解集ab(x-a)(x-b)0x|xbx|xax|xa(x-a)(x-b)0x|axbx|bxb,ab01a1b.(ii)a0b1ab0,0cbd.(iv)0axb或axb01b1xb0,m0,则(i)bab-ma-m(b-m0).(ii)aba+mb+m;ab0).2.

3、分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)0(0(0(0对任意实数x恒成立a=b=0,c0或a0,0.(2)不等式ax2+bx+c0对任意实数x恒成立a=b=0,c0或a0,bac2bc2.()(2)不等式x2a的解集为-a,a.()(3)若ab1,则ab.()(4)若方程ax2+bx+c=0(a0(ab0,cdbcB.adbdD.acbd答案B3.(新教材人A必修第一册P55T3改编)已知集合A=x|x2-5x+40,B=x|x2-x-6”“5.(易错题) 已知函数f(x)=ax2+ax-1,若对任意实数x,恒有f(x)0,则实数a的取值范围是.答案-4,0解析易错原因:忽略a=0的情况而

4、漏解.若a=0,则f(x)=-10恒成立;若a0,则由题意,得a0,=a2+4a0,解得-4a0.综上,a-4,0.不等式性质的应用角度1作差法比较大小典例1已知a1,a2(0,1).记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.MN C.M=ND.不确定答案B角度2用不等式性质比较大小典例2已知a,b,c满足cba,且acacB.c(b-a)0 C.cb40答案A因为a,b,c满足cba,且ac0,所以c0c,a0,所以abac,故A正确;对于B,因为ba,所以b-a0,又c0,故B不正确;对于C,因为ca,b40,所以cb4ab4,故C不正确;对于D,因为c0,又ac0,

5、所以ac(a-c)0,b0,则p=(ab)a+b2与q=abba的大小关系是()A.pqB.pqC.pqD.p0,q0,则pq=(ab)a+b2abba=aa-b2bb-a2=aba-b2.若ab0,则ab1,a-b0,则pq1,则pq;若0ab,则0ab1,a-b1,则pq;若a=b,则pq=1,则p=q.综上,pq,故选A.2.已知等比数列an中,a10,q0,前n项和为Sn,则S3a3与S5a5的大小关系为(用“”连接).答案S3a3S5a5 解析当q=1时,S3a3=3,S5a5=5,S3a30且q1时,S3a3-S5a5=a1(1-q3)a1q2(1-q)-a1(1-q5)a1q4(

6、1-q)=q2(1-q3)-(1-q5)q4(1-q)=-q-1q40,S3a3S5a5.综上可知S3a3S5a5.一元二次不等式的解法角度1解不含参的不等式典例3(1)已知全集U=R,集合A=x|x2-3x+20,则RA等于()A.(1,2) B.1,2C.(-,12,+)D.(-,1)(2,+)(2)不等式0x2-x-24的解集为.答案(1)A(2)x|-2x-1或2x3角度2解含参不等式典例4ax2-(a+1)x+10.解析原不等式可变形为(ax-1)(x-1)1.当a0时,原不等式可变形为ax-1a(x-1)0.若a0,原不等式的解集为x|x1.若a0,则x-1a(x-1)1时,原不等

7、式的解集为x|1ax1;当a=1时,原不等式的解集为;当0a1时,原不等式的解集为x|1x1a.综上,当a0时,原不等式的解集为xx1;当a=0时,原不等式的解集为x|x1;当0a1时,原不等式的解集为x1x1时,原不等式的解集为x1ax1.名师点评1.解一元二次不等式的方法和步骤(1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的形式.(2)判:计算对应方程的判别式.(3)求:求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根.(4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式时,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行讨

8、论;其次根据相应一元二次方程的根是否存在,即的符号进行讨论;最后当根存在时,根据根的大小进行讨论.1.(2020北京海淀期末)不等式x2+2x-30的解集为()A.x|x1B.x|x3C.x|-1x3 D.x|-3xa2(aR).解析原不等式可化为12x2-ax-a20,即(4x+a)(3x-a)0.令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-a4,x2=a3.当a0时,不等式的解集为-,-a4a3,+;当a=0时,不等式的解集为(-,0)(0,+);当a0时,不等式的解集为-,a3-a4,+.不等式恒成立问题角度1形如f(x)0(xR)恒成立,求参数范围典例5已知不等式mx2-2x-m+10

9、.是否存在实数m,使对所有的实数x不等式恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解析不存在.理由:设f(x)=mx2-2x-m+1.不等式mx2-2x-m+10恒成立,即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.当m=0时, f(x)=1-2x,令1-2x12,不满足题意;当m0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足图象开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解,即m0,=4-4m(1-m)0,此不等式组无解.综上,不存在满足题意的实数m.角度2形如f(x)0(xa,b)恒成立,求参数范围典例6设函数f(x)=mx2-mx-1(m0),若对于x1

10、,3, f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围.解析f(x)-m+5,即mx2-mx+m-60,则问题转化为mx2-mx+m-60时,g(x)在1,3上是增函数,所以g(x)max=g(3)=7m-60,所以m67,所以0m67.当m0时,g(x)在1,3上是减函数,所以g(x)max=g(1)=m-60,所以m6,所以m0.综上所述,m的取值范围是m0m67或m0,m(x2-x+1)-60,所以m6x2-x+1.因为y=6x2-x+1=6x-122+34在1,3上的最小值为67,所以只需m67即可.又因为m0,所以m的取值范围是m|m0或0m0,g(1)=(x-2)1+x2-4x+40,解得

11、x3.故当x3时,对任意m-1,1,函数f(x)的值恒大于零.名师点评恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.(2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.1.若不等式4x2+ax+40的解集为R,则实数a的取值范围是()A.(-16,0)B.(-16,0 C.(-,0)D.(-8,8)答案D2.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,则实数m

12、的取值范围是.答案-22,03.若mx2-mx-10对于m1,2恒成立,求实数x的取值范围.解析设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m1,2时,图象为一条线段,则g(1)0,g(2)0,即x2-x-10,2x2-2x-10,解得1-32x1+32,故实数x的取值范围为1-32,1+32.微专题“三个二次”之间的相互转化“三个二次”是指一元二次方程、一元二次不等式和二次函数.这“三个二次”都是中学数学的重要内容,它们之间相互联系,相互渗透,其中二次函数最重要,其图象是“三个二次”之间的纽带,它将等与不等,数与形紧密结合在一起,它既包含了一元二次方程的根,又包括了一元

13、二次不等式的解集.利用数形结合可以使一些数学问题得到很好的解决.1.二次函数与一元二次不等式的转化在解不等式、证明不等式或研究不等式恒(能)成立问题时,往往需要构造二次函数,运用二次函数的性质解决不等式问题.1.(2020北京海淀质检)设a0的解集为x|-1x2ax的解集为()A.x|-2x1B.x|x1C.x|0x3D.x|x3答案C将a(x2+1)+b(x-1)+c2ax整理得ax2+(b-2a)x+(a+c-b)0.因为不等式ax2+bx+c0的解集为x|-1x2,所以a0,且-1,2是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系可知-1+2=-ba,-12=ca,即ba=-1,ca

14、=-2.将两边同除以a得x2+ba-2x+1+ca-ba0,将代入得x2-3x0,解得0x0在区间1,5上有解,则a的取值范围是()A.-235,+B.-235,1C.(1,+)D.-,-235答案A由=a2+80知,方程x2+ax-2=0恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一正根、一负根.令f(x)=x2+ax-2,则不等式在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0,即25+5a-20,解得a-235,故a的取值范围是-235,+.故选A.3.二次函数与一元二次方程的转化二次函数的零点就是相应方程的根,一元二次方程的实根也是相应二次函数图象与x轴的交点的横坐标.遇到涉及二次函数的问

15、题,应时刻将函数与方程结合在一起来思考.3.若函数f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,求m的取值范围.解析依题意,结合函数f(x)的图象(图略)分析可知,需满足m-20,f(-1)f(0)0,f(1)f(2)0,即m2,(m-2-m+2m+1)(2m+1)0,(m-2+m+2m+1)4(m-2)+2m+2m+10,解得14m0)的解的个数是()A.1B.2C.3D.4答案Ba0,a2+11.y=|x2-2x|的图象如图,y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有2个交点,即方程有2个解.故选B.2.已知a,b,c,d都是常数,ab,

16、cd.若f(x)=2 019-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是()A.acbdB.abcd C.cdabD.cabd答案Df(x)=2 019-(x-a)(x-b),又f(a)=f(b)=2 019,c,d为函数f(x)的零点,且ab,cd,所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象,如图所示,由图可知cabd,故选D.【微课小结】由于二次函数问题是中学数学的核心问题之一,是考查逻辑思维能力的重要题型,也是高考的热点问题,因此必须熟练掌握“三个二次”的相互联系,熟练利用函数与方程思想、数形结合思想进行三者的相互转化.A组基础达标1.设m=(x+2)(x+3),n

17、=2x2+5x+9,则m与n的大小关系为()A.mnB.m1b-1,则下列不等式中恒成立的是()A.ab2B.1a1bC.1a2b答案A3.已知0aNB.MN C.M=ND.不能确定答案A0a0,1+b0,1-ab0.M-N=1-a1+a+1-b1+b=2(1-ab)(1+a)(1+b)0,MN,故选A.4.已知关于x的不等式ax+b0的解集是(1,+),则关于x的不等式ax-bx-20的解集是()A.x|x2B.x|-1x2 C.x|1x2答案A依题意得,a0且-ba=1.则ax-bx-20(ax-b)(x-2)0x-ba(x-2)0(x+1)(x-2)0x2.故选A.5.下列四个命题中正确

18、命题的个数为() 若a|b|,则a2b2;若ab,cd,则a-cb-d;若ab,cd,则acbd;若ab0,则cacb.A.3B.2C.1D.0答案C易知正确;错误,取a=3,b=2,c=-1,d=-3,满足ab,cd,但a-cb,cd,但acb0,则1a0时,cacb.所以正确命题的个数为1.故选C.6.若不等式x2-(a+1)x+a0的解集是-4,3的子集,则a的取值范围是()A.-4,1B.-4,3C.1,3D.-1,3答案B原不等式可化为(x-a)(x-1)0,当a1时,不等式的解集为a,1,此时只要a-4即可,即-4a1时,不等式的解集为1,a,此时只要a3即可,即1a3.综上可得-

19、4a3.故选B.7.若,满足-22,则2-的取值范围是()A.-2-0B.-2- C.-322-2D.02-答案C-22,-2.-22,-2-2,-322-32.又-0,2,2-2.故-322-b的解集为-,15,则关于x的不等式ax2+bx-45a0的解集为.答案-1,45解析由axb的解集为-,15,可知a0两边同除以a,得x2+bax-450,即x2+15x-450,即5x2+x-40,解得-1x45,故所求不等式的解集为-1,45.9.设函数f(x)=x2-4x+6,x0,x+6,xf(1)的解集是.答案(-3,1)(3,+)解析f(1)=12-41+6=3,原不等式可化为x0,x2-

20、4x+63或x3.由x0,x2-4x+63得x0,x30x3;由x3得x-3-3xf(1)的解集为(-3,1)(3,+).10.若a,bR且ab,则下面三个不等式:bab-1a-1;(a+1)2(b+1)2;(a-1)2(b-1)2. 其中不成立的是.(填序号)答案解析取a=12,b=-3,则ba=-312=-6,b-1a-1=-4-12=8,故不成立;取a=-3,b=-4,则均不成立.故答案为.B组综合提升11.在R上定义运算“”:ab=ab+2a+b,则满足x(x-2)0的实数x的取值范围是()A.(0,2)B.(-2,1) C.(-,-2)(1,+)D.(-1,2)答案B根据给出的定义得

21、x(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),由x(x-2)0得(x+2)(x-1)0,解得-2x0,=36k2-4k(k+8)0,解得00恒成立,则b的取值范围是()A.-1b2 C.b2D.不能确定答案C由f(1-x)=f(1+x)知, f(x)图象的对称轴为直线x=1,则有a2=1,故a=2.由f(x)的图象可知f(x)在-1,1上为增函数,x-1,1时, f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,令b2-b-20,解得b2.故选C.14.若a1b0,-1c0,则下列不等式恒成立的是()A.2b2-aB.logablogb(-c

22、) C.a2b2D.c2b0,b0-a,2b2-a,故A错误.B中,函数y=logax(a1)在(0,+)上单调递增,0b1,logabloga1=0.函数y=logbx(0b1)在(0,+)上单调递减,-1c0,0-clogb1=0,logabb0,a2b2,故C错误.D中,-1c0,0c21.又logbalogba,故D错误.故选B.C组思维拓展15.设0babln aB.aln bbln a C.aebbeaD.aeb=bea答案B观察A,B两项,实际上是在比较lnbb和lnaa的大小,引入函数y=lnxx,0x0,所以函数y=lnxx在(0,1)上单调递增,又因为0ba1,所以lnbb

23、lnaa,所以aln bbln a,故A错误,B正确.对于C,D两项,引入函数f(x)=exx,0x1,则f(x)=xex-exx2=(x-1)exx20,所以函数f(x)=exx在(0,1)上单调递减,又因为0ba1,所以f (a)f (b),即eaabea,故C,D错误.故选B.16.已知函数f(x)=ax2+2ax+1的定义域为R.(1)求a的取值范围;(2)若函数f(x)的最小值为22,解关于x的不等式x2-x-a2-a0,=(2a)2-4a0,解得0a1.综上可知,a的取值范围是0,1.(2)f(x)=ax2+2ax+1=a(x+1)2+1-a,由题意及(1)可知0a1,当x=-1时, f(x)min=1-a,由题意得,1-a=22,a=12,不等式x2-x-a2-a0可化为x2-x-340,解得-12x32,不等式的解集为-12,32.