第1讲函数问题的灵魂-定义域问题（解析版）.pdf

1、第 1 讲函数问题的灵魂定义域【高考地位】在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题试题难度较小方法一直接法万能模板内容使用场景函数()f x 的解析式已知的情况下解题模板第一步找出使函数()f x 所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：（1）分式中分母不为 0；（2）偶次方根中被开方数非负；（3）0 x 的底数不为零；（4）对数式中的底数大于 0、且不等于 1，

2、真数大于 0；（5）正切函数tanyx的定义域为|,2x xkkZ第二步列出不等式（组）；第三步解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数()f x 的定义域【例 1】（2021新沂市第一中学高三模拟）函数ln(1)11xyxx的定义域是（）A 1,0)(0,1)B 1,0)(0,1C(1,0)(0,1)D(1,0)(0,1【答案】C【解析】由题意得10,10,0,xxx 解得 10 x 或01x.所以原函数的定义域为(1,0)(0,1).故选：C.下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君【变式演练 1】（2021广东高三模拟）设函数216yx的定义域为 A，函数ln(1)yx的定义域为 B

3、，则AB 等于（）A(1,4)B(1,4C 4,1)D(4,1)【答案】C【解析】函数216yx的定义域为2160 xx，即44Axx，函数ln(1)yx的定义域为10 xx，则1Bx x，所以41ABxx，故选：C.例 2【黑龙江省大庆市第四中学 2020 届月考】函数12log(1tan)yx的定义域为（）A,24kkkZB2,2,24kkkZC,42kkkZD2,2,42kkkZ【答案】A【解析】函数12log(1tan)yx有意义，则1tan02xxkkZ，解得24kxkkZ，所以函数的定义域为,24kkkZ.故选：A【名师点睛】本题考查了求具体函数的定义域、正切函数的性质，属于基础题

4、.【变式演练 2】求函数log(1)(01)xayaaa且的定义域【答案】当1a 时，函数的定义域为|0 x x；当01a 时，函数的定义域为|0 x x【解析】要使原式有意义需要满足10 xa ，即01xaa 当1a 时，xya是 R 上的增函数，所以0 x；当01a 时，xya是 R 上的减函数，所以0 x；综上所述，当1a 时，函数的定义域为|0 x x；当01a 时，函数的定义域为|0 x x 例 3若函数 21f xxax的定义域为 R，则实数 a 取值范围是（）A2,2B2,C,2D2,2【答案】A【解析】由于函数 21f xxax的定义域为 R，所以210 xax 在 R 上恒成

5、立，即方程21=0 xax至多有一个解，所以240a，解得 22a，则实数 a 取值范围是2,2故选 A【名师点睛】已知函数的定义域求有关参数问题，往往转化为不等式恒成立问题【变式演练 3】已知函数 f（x）=31323axaxx的定义域是 R，则实数 a 的取值范围是（）A012aB012aC31aD31a【答案】A【解 析】函 数 32313xfxaxax的 定 义 域 为 R，只 需 分 母 不 为 0 即 可，所 以0a 或20430aaa ，可得 120a，故选 A方法二抽象复合法万能模板内容使用场景涉及到抽象函数求定义域解题模板利用抽象复合函数的性质解答：(1)已知函数()f x

6、的定义域为(,)a b，求复合函数()f g x的定义域：只需解不等式()ag xb，不等式的解集即为所求函数()f g x的定义域(2)已知复合函数()f g x的定义域为(,)a b，求函数()f x 的定义域：只需根据 axb求出函数()g x 的值域，即为函数()f x 的定义域例 4求下列函数的定义域：（1）已知函数 f（x)的定义域为 2,2，求函数2(1)yf x的定义域（2）已知 函数(24)yfx的定义域为0,1，求函数 f（x)的定义域（3）已知函数 f（x)的定义域为 1,2，求函数2(1)(1)yf xf x的定义域【答案】（1）3,3；（2）4,6；（3）3,1【解析

7、】（1）令-22x 12得-12x 3，即02x 3，从而-3 x 3函数2(1)yf x的定义域为3,3（2）(24)yfx的定义域为0,1，即在(24)yfx中 x 0,1，令24tx，x 0,1，则t 4,6，即在()f t 中，t 4,6 f（x)的定义域为4,6（3）由题得211231112xxx ，函数2(1)(1)yf xf x的定义域为3,1【名师点睛】（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b，求复合函数()f g x的定义域：只需解不等式()ag xb，不等式的解集即为所求函数的定义域第 1 小题就是典型的例子；（2）已知复合函数()f g x的定义域为(,)a b

8、，求原函数()f x 的定义域：只需根据 axb求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x的定义域第 2 小题就是典型的例子；（3）求函数()()yf xg x的定义域，一般先分别求函数()yf x和函数()yg x的定义域 A 和 B，在求 AB，即为所求函数的定义域【变式演练 4】（2021全国高三模拟）已知函数 fx 的定义域为1,0，若 g xf xaf xa有定义，则实数 a 的取值范围是（）A1,02B11,2C10,2D1 1,2 2【答案】D【解析】由题意可得1010 xaxa ，解得11axaaxa 因为 g x 有定义，所以当0a 时，由 1 aa，得102a；当0a

9、 时，由1aa ，得102a；当0a 时，10 x，恒成立综上，实数 a 的取值范围是1 1,2 2故选：D【变式演练 5】【山东省泰安市 2020 届高三 6 月三模】已知函数 24xxxf x，则函数11f xx的定义域为（）A,1B,1 C,11,0 UD,11,1【答案】D【解析】令 24xx，即 21x，解得0 x.若11f xx有意义，则10,10 xx ，即,11,1x .故选：D.【名师点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.【变式演练 6】（2021湖北襄阳五中高三二模）已知函数22211xxyfxx的定义域是1,，则函数 yf x的定义域是_【答案】1,2

10、【解析】令 222111xxg xxxx，则 222111111111xxxxg xxxxxxxx ，1yxx在1,上单调递增，10 xx，10111xx，12g x，f x的定义域为1,2.方法三实际问题的定义域万能模板内容使用场景函数的实际应用问题解题模板第一步求函数的自变量的取值范围；第二步考虑自变量的实际限制条件；第三步取前后两者的交集，即得函数的定义域例 5用长为 L 的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）若矩形底边长为 2x，求此框架围成的面积 y 与关于 x 的函数解析式，并求出它的定义域【答案】242yxLx ，函数的定义域为(0,)2L【解析】如图，设2ABx，

11、则 CD=x，于是22LxxAD，因此22222Lxxxyx，即242yxLx ，再由题得20202xLxx，解之得 02Lx，所以函数解析式是242yxLx ，函数的定义域是(0,)2L【名师点睛】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义的条件，还有保证实际意义；（2）该题中考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都要有意义，即20202xLxx，不能遗漏【变式演练 7】（2021全国课时练习）一枚炮弹发射后，经过 26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为 845m，且炮弹距地面的高度 h（单位：m）与时间 t（单位：s）的关系为21305htt.求所表示的函数的定义域

12、与值域，并用函数的定义描述这个函数.【答案】定义域为|026tt，值域为|0845hh，描述见解析.【解析】定义域为|026tt，值域为|0845hh，对于数集|026tt 中的任一个数 t，在数集|0845hh中都有唯一确定的数21305htt与之对应.【点睛】本题考查函数的定义域、值域以及函数的定义，需要对函数概念及三要素的灵活掌握，属于基础题.【高考再现】1【2017 山东理】设函数x2y=4-的定义域 A，函数y=ln(1-x)的定义域为 B，则 AB=（A）（1，2）（B）(1,2（C）（-2，1）（D）-2，1)【答案】D【考点】1集合的运算 2函数的定义域 3简单不等式的解法【名

13、师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理2【2016全国卷】下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y10lg x 的定义域和值域相同的是()AyxBylg xCy2xDy 1x【答案】D【解析】y10lg xx，定义域与值域均为(0，)，只有选项 D 满足题意3【2014 山东理 3】函数1)(log1)(22xxf的定义域为（）A)21,0(B),2(C),2()21,0(D),221,0(【答案】C【解析】由已知得22(log)10,x 即2log1x 或2log-1x，解得2x 或102x，故选C【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的定义域解答

14、本题关键是利用求函数定义域的基本方法，建立不等式组求解本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及计算的准确性4【2015 高考重庆，文 3】函数22(x)log(x2x 3)f=+-的定义域是（）(A)3,1-(B)(3,1)-(C)(,31,)(D)(,3)(1,)【答案】D【解析】由0)1)(3(0322xxxx解得3x或1x，故选 D【考点定位】函数的定义域与二次不等式【名师点睛】本题考查对数函数的定义域与一元二次不等式式的解法，由对数的真数大于零得不等式求解本题属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零5【2015 高考湖北，文 6】函数256()4|lg3xxf xxx的定义域为（

15、）A(2,3)B(2,4C(2,3)(3,4D(1,3)(3,6【答案】C【解析】由函数()yf x的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564|0,03xxxx，解之得22,2,3xxx，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4，故应选C【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性6.【2020 年高考北京卷 11】函数1()=ln1f x

16、xx的定义域是_【答案】(0,)【解析】要使得函数1()ln1f xxx有意义，则100 xx ，即0 x，定义域为(0,)【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养7【2015 高考山东，理 14】已知函数()(0,1)xf xab aa的定义域和值域都是 1,0，则ab【答案】32【解析】若1a，则 f x在1,0上为增函数，所以1110abb ，此方程组无解；若01a，则 f x 在1,0上为减函数，所以1011abb ，解得122ab ，所以32ab【考点定位】指数函数的性质【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与

17、应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用8【2019 年高考江苏】函数276yxx的定义域是【答案】1,7【解析】由题意得到关于 x 的不等式，解不等式可得函数的定义域由已知得2760 xx，即2670 xx，解得 17x，故函数的定义域为 1,7【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可【反馈练习】1（2021天津高三期末）函数 221log21fxxxx的定义域为（）A1,2B,02,C,11,2D0,11,2U【答案】D【解析】要使函数有意义，只需21020 xxx，解得102xx，即函数定义域为

18、|01xx 或12x.故选D.2【云南省昆明市第一中学 2020 届高三考前第九次适应性训练】设函数211yx的定义域为 A，函数12xy的值域为 B，则 AB()A0,1B0,1C1,1D1,1【答案】A【解析】函数定义域满足：210 x，即 11x ，所以11Axx，函数12xy的值域0By y，所以0,1AB，故选：A.【名师点睛】本题考查了函数定义域，值域，交集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3（2021哈尔滨市第三十二中学校高三期末（文）函数1()2lgf xxx的定义域为（）A(0,2B(0,2)C(0,1)(1,2D(,2【答案】C【解析】欲使函数有意义，则0lg02

19、0 xxx，即012xxx，解得0,11,2x，故选：C.4【2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测】设函数29yx的定义域为 A，函数ln(3)yx的定义域为 B，则 AB（）A(,3)B(8,3)C3D 3,3)【答案】D【解析】由题意，对于函数29yx，290 x，解得 33x ，即3,3A ；对于函数ln(3)yx，30 x，解得3x，即,3B ，所以 AB 3,3).故选：D.【名师点睛】本题考查函数的定义域，考查集合的交集，属于基础题.5（2021广东深圳中学高三期中）已知等腰三角形的周长为 40cm，底边长 y cm 是腰长 x cm 的函数，则函数的定义域为()A10,20

20、B0,10C5,10D5,10【答案】A【解析】由题设有402yx，由4020402xxxx 得1020 x，故选 A.【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.6【2020 届百师联盟高三联考】函数2()lnlg 2xf xxx的定义域为()A1,2B2,)C1,2)D(1,2【答案】C【解析】解：根据函数()f x 解析式，有(2)(2)00ln0 xxxx，解得1,2)x，所以函数()f x 的定义域为1,2)x，故选：C.【名师点睛】本题考查函数的定义域，关键是使式子有意义，一元二次不等式及对数不等式的解法，属于中档题.7（2019河北

21、张家口中学月考）若函数2()2xf xmxmx的定义域为 R，则实数 m 取值范围是（）A0,8)B(8,)C(0,8)D(,0)(8,)【答案】A【解析】函数 f（x）的定义域为 R，不等式 mx2-mx+20 的解集为 R，m0 时，20 恒成立，满足题意；m0 时，则2080mmm，解得 0m8综上得，实数 m 的取值范围是0,8)，故选 A【名师点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为 R 时，判别式需满足的条件8（2021北京清华附中高三其他模拟）函数 1lg 4f xxx 的定义域是_【答案】1,4【解析】1lg 4f xxx，1040 xx ，解得 14x，故

22、函数的定义域为1,4.故答案为：1,4.9（2021广东金山中学高三月考）函数24()lg(1)xf xx的定义域为_【答案】(1,0)(0,2；【解析】由题意，函数24()lg(1)xf xx有意义，则满足2401011xxx ，解得 12x 且0 x，所以函数 fx 的定义域为(1,0)(0,2.【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域：(1)偶次根号下的被开方数大于等于 0；(2)分式中的分母不为 0；(3)对数函数中真数大于 0.10【上海市南模中学 2019-2020 学年高三模拟】函数29lg 2cos21yxx的定义域是_.【答案】553,366 66【解析】因为29lg 2co

23、s21yxx，所以2902cos210 xx ，所以331cos22xx，所以33,66xkxkkZ，解得536x 或66x或 536x.故答案为：553,366 66【名师点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11（2021北京高三一模）函数()ln(2)1f xxx的定义域为_.【答案】(0,1【解析】依题意知，函数有意义，则需1020 xx，解得01x，故定义域为(0,112（2021贵州省思南中学高三一模（理）函数 44ln(4)xf xx的定义域为_.【答案】(4,1【解析】由题意，要使函数 44ln(4)xf x

24、x有意义，则满足 44040 xx ，解得 41x ，即函数 fx 的定义域为(4,1.13【2020 届陕西省咸阳市高三上学期期末】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.试写出12yxx 的一个“同域函数”的解析式为_.【答案】23xy，1,2x（答案不唯一）【解析】由1020 xx 得：12x12yxx 的定义域为1,2又12yxx 为定义域内的增函数值域为1,112yxx 的一个“同域函数”为23xy，1,2x故答案为：23xy，1,2x（答案不唯一）【名师点睛】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数

25、，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.14【2020 届江西省分宜中学高三上学期第一次段考】已知函数(21)fx 的定义域为(1,2)，则函数(23)fx的定义域为_.【答案】1 5,3 3【解析】因为(21)fx 的定义域为(1,2)，即 12x。所以此时括号的范围为3213x 。对于函数(23)fx即是：3233x，即1533x故答案为：1 5,3 3【名师点睛】此题考查抽象函数求定义域问题，关键两点：定义域一定指 x 的取值范围，同一个函数括号内的范围相同，属于简单题目。15（2021全国）设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图），要求满足条件 ABBCCDa（常数），120ABC，

26、写出横截面的面积 y 关于腰长 x 的函数，并求它的定义域和值域.【答案】定义城为 0,2a，值域为230,12 a.【解析】如图，连接 AD，过,B C 分别作 AD 的垂线，垂足为,E F，因为 ABBCCDa，所以20BCEFax，即02ax，因为120ABC，所以60A，所以2xAEDF，32BEx，13()2(2)2422xxxyBCADBEax222333 33(23)32444312aax xxaxxa ，故当3ax 时，y 有最大值2312 a，故它的定义城为 0,2a，值域为230,12 a.【点睛】本题考查了求函数的解析式、定义域和值域的问题，解题时应认真解析题意，建立函数

27、的解析式，求出函数的定义域和值域，是中档题.16.【2020 届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷】已知函数 2lnlnafxxaRx.（1）若 1f e，求 a 的值；（2）求函数 yf x的定义域；（3）若对任意的 xe，不等式 1fx 恒成立，求实数 a 的取值范围.【答案】（1）1a ；（2）0,11,；（3）1,.【解析】（1）2lnlnaf xxx，21f ea，解得1a ；（2）对于函数 2lnlnafxxx，有0ln0 xx，解得0 x 且1x.因此，函数 yf x的定义域为0,11,；（3）xe，令ln1tx，由 1fx，得 21att，参变量分离得22att，二次函数22ytt 的图象开口向下，对称轴为直线14t.所以，函数22ytt 在区间1,上单调递减，当1t 时，该函数取得最大值，即max1y ，1a .因此，实数 a 的取值范围为1,.【名师点睛】本题考查利用函数值求参数、函数定义域的求解以及不等式恒成立问题的求解，考查参变量分离法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.