2022高考数学一轮复习 课时规范练31 数列求和（文含解析）新人教A版.docx

1、课时规范练 31 数列求和 基础巩固组1.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,(2n-1)+,的前 n 项和 Sn的值等于()A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1-D.n2-n+1-2.(2020 山东滨州模拟)若数列an的通项公式为 an=2n+2n-1,则该数列的前 10 项和为()A.2 146B.1 122C.2 148D.1 1243.已知函数 f(n)=为奇数-为偶数 且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+a100等于()A.0B.100C.-100D.10 2004.(2020 德州调研)已知 Tn为数列 的前 n 项和,若 mT10+1 013 恒成立,则

2、整数 m 的最小值为()A.1 026B.1 025C.1 024D.1 0235.设等差数列an满足 a2=5,a6+a8=30,则数列 -的前 n 项的和等于 .6.已知在等比数列an中,a1=2,且 a1,a2,a3-2 成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足:bn=+2log2an-1,求数列bn的前 n 项和 Sn.7.(2020 河北保定二模,文 17)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn+an-n=0(nN*).(1)求证:数列 -为等比数列;(2)求数列an-n的前 n 项和 Tn.综合提升组8.已知数列an满足 a1=1,且对于任意的 nN

3、*都有 an+1=an+a1+n,则 +等于()A.B.C.D.9.(2020 江苏,11)设an是公差为 d 的等差数列,bn是公比为 q 的等比数列.已知数列an+bn的前 n项和 Sn=n2-n+2n-1(nN*),则 d+q 的值是 .10.(2020 全国 1,文 16)数列an满足 an+2+(-1)nan=3n-1,前 16 项和为 540,则 a1=.11.(2020 河北衡水中学三模,理 17)已知数列an满足 a1=4,且当 n2 时,(n-1)an=n(an-1+2n-2).(1)求证:数列 是等差数列;(2)记 bn=,求数列bn的前 n 项和 Sn.12.(2020

4、山东烟台一模,18)已知数列an的前 n 项和 Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且 an=bn+bn+1.(1)求数列bn的通项公式;(2)令 cn=,求数列cn的前 n 项和 Tn.创新应用组13.(2020 江西九江一模,理 12)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 An,Bn是圆 x2+y2=n2上两个动点,且满足 =-(nN*),设 An,Bn到直线 x+y+n(n+1)=0 的距离之和的最大值为 an,若数列 的前 n项和 SnT10+1013 恒成立,整数 m 的最小值为 1024.5.设等差数列an的公差为 d,由等差数列的性质可得 a6+a8=30=2a7,a7=15,a7

5、-a2=5d,即 15=5+5d,d=2,an=a2+(n-2)d=2n+1,-,前 n 项和为 1-+=(-).6.解(1)设等比数列an的公比为 q,a1,a2,a3-2 成等差数列,2a2=a1+(a3-2)=2+(a3-2)=a3,q=2,an=a1qn-1=2n(nN*).(2)由(1)及 bn=+2log2an-1,可知 bn=n+2log22n-1=n+2n-1,Sn=()+()+3+()+()+(2n-1)=()()+()+1+3+5+(2n-1)=-()-=n2-()+1(nN*).7.(1)证明当 n=1 时,2S1+a1-1=0,解得 a1=.因为 2Sn+an-n=0(

6、nN*),当 n2 时,2Sn-1+an-1-(n-1)=0,-,得 3an=an-1+1,即 an=an-1+,当 n2 时,-,又 a1-=-,所以 -是以-为首项,以 为公比的等比数列.(2)解由(1)可得 an=-(),所以 an-n=-()-n+,所以数列an-n的前 n 项和Tn=-()-,化简得 Tn=-1-.8.D 由题意可得 an+1-an=n+1,则 a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,an-an-1=n,以上各式相加可得 an=,则 =2(-),+=2(-)(-)+=.9.4 由等差数列的前 n 项和公式和等比数列的前 n 项和公式得Sn=na1+-d+-n2+(-

7、)n+(-)qn+-.对照已知条件 Sn=n2-n+2n-1,得d=2,q=2,所以 d+q=4.10.7 当 n 为偶数时,有 an+2+an=3n-1,则(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)=5+17+29+41=92,因为前 16 项和为 540,所以 a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448.当 n 为奇数时,有 an+2-an=3n-1,由累加法得 an+2-a1=3(1+3+5+n)-n2+n+,所以an+2=n2+n+a1,所以 a1+12+1+a1+32+3+a1+52+5+a1+72+7+a1+92+9+a1+112+11

8、+a1+132+13+a1=448,解得 a1=7.11.(1)证明当 n2 时,(n-1)an=n(an-1+2n-2),将上式两边都除以 n(n-1),得 -,即 -=2,所以数列 是以 4 为首项,2 为公差的等差数列.(2)解由(1)得 =4+2(n-1)=2n+2,即 an=2n(n+1),所以 bn=.所以 Sn=1-+=1-=.12.解(1)由题意,当 n2 时,an=Sn-Sn-1=6n+5,当 n=1 时,a1=S1=11,所以 an=6n+5.设数列bn的公差为 d,由 即 解得 所以 bn=3n+1.(2)由(1)得 cn=3(n+1)2n+1,所以Tn=3222+323

9、+424+(n+1)2n+1,2Tn=3223+324+425+(n+1)2n+2,两式作差,得-Tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2=3 4+-(n+1)2n+2=-3n2n+2.所以 Tn=3n2n+2.13.B 由 =-,得 nncosAnOBn=-,所以 cosAnOBn=-,所以AnOBn=120.设线段 AnBn的中点为 Cn,则|OCn|=,所以 Cn在圆 x2+y2=上,An,Bn到直线 x+y+n(n+1)=0 的距离之和等于点Cn到该直线的距离的两倍.点 Cn到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和,而圆x2+y2=的圆心(0,0)到直线 x+y+n(n+1)=0 的距离为 d=,所以 an=2 =n2+2n,所以 .则 Sn=+1-+=1+,所以 m .故选 B.14.解(1)设an的公比为 q.由题设得 a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得 q=(舍去),q=2.因为 a1q2=8,所以 a1=2.所以an的通项公式为 an=2n.(2)由题设及(1)知 b1=0,且当 2nm2n+1时,bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b32+b33+b63)+(b64+b65+b100)=0+12+222+323+424+525+6(100-63)=480.