2023届人教A版新高考数学新教材一轮复习高考解答题专项二三角函数中的综合问题（Word版带解析）.docx

1、高考解答题专项二三角函数中的综合问题1.(2021山东临沂高三二模)在x=6是函数f(x)图象的一条对称轴,?12是函数f(x)的一个零点,函数f(x)在a,b上单调递增,且b-a的最大值为2这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知函数f(x)=2sin xcosx-6-12(00,0B,f=35,求cosA-B2,并证明sin A255.6.(2021河南郑州高三三模)在ABC中,AB=2AC,点D在BC边上,AD平分BAC.(1)若sinABC=55,求cosBAC;(2)若AD=AC,且ABC的面积为7,求BC.高考解答题专项二三角函数中的综合问题1.解 f(x)=2sin

2、xcosx-6-12=2sin xcos xcos6+sin xsin6-12=3cos xsin x+sin2x-12=32sin 2x-12cos 2x=sin2x-6.若x=-6是函数f(x)图象的一条对称轴,则-=k+2(kZ),即-=k+23(kZ),因此=-3k-2(kZ).又02,所以当k=-1时,=1,则f(x)=sin2x-6.若?12是函数f(x)的一个零点,则?122-6=k,即6=k+6(kZ),因此=6k+1(kZ).又02,所以当k=0时,=1,所以f(x)=sin2x-6.若f(x)在a,b上单调递增,且b-a的最大值为2,则T=,故=1,所以f(x)=sin2x

3、-6.由2+2k2x-+2k(kZ),得3+kx56+k(kZ),令k=0,得3x56;令k=-1,得-23k-6.又-2x2,所以f(x)在-2,2上单调递减区间为-2,-6,3,2.2.解 (1)由2tanBtanA+tanB=bc及正弦定理可知,2sinBcosBsinAcosA+sinBcosB=sinBsinC,所以,因此2cos A=1.又A(0,),所以A=3.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得13=9+c2-3c,所以c2-3c-4=0,即(c-4)(c+1)=0,解得c=4.从而SABC=12bcsin A=123432=33.3.解 (1)若选,由正弦定

4、理得sin Bcos C+3sin Bsin C=sin A+sin C=sin(B+C)+sin C=sin Bcos C+cos Bsin C+sin C.因为C为三角形内角,sin C0,所以3sin B-cos B=1,sinB-6=12.因为-6B-63,则B-,即B=3.若选,由正弦定理得sin B=bsinAa=32,因为B是锐角,所以B=3.若选,由正弦定理得a(c-a)=(c-b)(c+b)=c2-b2,即a2+c2-b2=ac,所以cos B=.因为B为锐角,所以B=3.(2)由已知S=12acsin B=34ac=3,得ac=4.又a2+c2-b2=2accos B,即a

5、2+c2-4=ac,解得a=c=2.4.解 (1)连接BD,在RtBAD中,由AB=4,AD=3,BAD=90,得BD=5,sinABD=35,cosABD=45.ABC=45,DBC=45-ABD,sinDBC=sin 45cosABD-cos 45sinABD=.在RtBCD中,由BCD=90,知CD=BDsinDBC=5210=22.(2)连接AC,由(1)知BD=5,在RtABD中易知sinABD=35,cosABD=45.在RtBCD中,由BC=25,BD=5,得CD=5.易知sinCBD=55,cosCBD=255.cosABC=cos(ABD+CBD)=cosABDcosCBD-

6、sinABDsinCBD=.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=42+-242=20,AC=25.5.解 (1)由f(0)=12,得sin =12.又00,结合函数图象可知,所以0125.又kZ,所以k=0,从而=2,因此f(x)=sin2x+6.(2)由f=sin(A-B)=35,因为0BA2,所以0A-B2,故A=.又y=sin x在0,2上单调递增,且A0,2,0,2,所以sin Asin=sin4cos+cos4sin31010+1010=255.6.解 (1)令ABC的边AC,AB,BC为b,c,a,由题意可得c=2b,ABAC,ABCACB,AB

7、C为锐角,即cosABC=.,sinACB=255.ACB(0,),cosACB=55.cosBAC=-cos(ABC+ACB)=sinABCsinACB-cosABCcosACB.当cosACB=55时,cosBAC=0.当cosACB=-55时,cosBAC=.所以cosBAC=0或45.(2)设CAD=DAB=,由于SABC=SACD+SADB,所以12ACADsin +12ABADsin =12ABACsin 2,由AD=AC,AB=2AC可得3sin =4sin cos .因为sin 0,则cos =34,sin =,SABC=12ACABsin 2=b2sin 2=2b2sin cos =7,解得b2=83.又cos 2=2cos2-1=18,a=23,即BC=23.