2023届数学一轮复习函数与导数：22-不等式放缩.docx

1、22.不等式放缩函数与导数中常用到的放缩有三个：（1）；（2）；（3）.(放缩成一次函数)，(放缩成双撇函数)，(放缩成二次函数)，（放缩成类反比例函数）， 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数）（放缩成类反比例函数）（放缩成二次函数）第三组：指对放缩第四组：三角函数放缩第五组：以直线为切线的函数【例1】 【2016山东卷理科】，.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：对任意的成立.解析：（1）的定义域为；.当，时， ，单调递增；，单调递减.当时， .（1），当或时， ，单调递增；当时， ，单调递减；（2）时，在内，单调递增；（3）时，当或时，单调递增；当时， ，单调递减.综上所述，当时，函数在

2、内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（2）由（1）知，时， ，令，.则，由可得，当且仅当时取得等号.又，设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，所以函数在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以，即对于任意的恒成立。【例2】 已知，其中（1）讨论的极值点的个数；（2）当时，证明：解析：（1）f(x)的定义域为(0，)，则，令，x0，则，1分当时，令，则，当0x1时，f(x)单调递减；当x1时，f(x)单调递增所以f(x)在(0，)上有且仅有一个极值点2分当时，所以

3、g(x)在(0，)上单调递增，又，所以g(x)在(1，ea)上存在唯一零点，记为x0，列表：x(0，x0)x0(x0，)f (x)0f(x)极小值所以f(x)在(0，)上有且仅有一个极值点4分当时，令，得，当0x时，g(x)单调递减；当x时，g(x)单调递增，所以g(x)ming()，当a时，g(x)min0，故f (x)0，f(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)在(0，)上无极值点，5分当a0时，g(x)ming()0，又，下面证，6分令(a0)，所以在(，0)上单调递增，所以，所以g(x)在(0，)上有且仅有两个零点，记为，列表：x(0，)(，)(，)f (x)00f(x)极大值极小值

4、所以f(x)在(0，)上有且仅有两个极值点7分综上所述，当a时，f(x)无极值点；当a0时，f(x)有两个极值点；当a0时，f(x)有一个极值点8分（2）由（1）知，当a0时，f(x)f(1)1，所以，10分即，所以，令得故，12分【演练题组1】1、【2021四川凉山州一诊理科】设函数().（1）若，求的极值；（2）讨论函数的单调性；（3）若，证明：【答案】：（1）0，无极大值；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】：（1）的定义域为，当时，若，则；若，则,在上单调递减，在上单调递增，没有极大值（2），当时，若，则，若，则，在上单调递减，在上单调递增，当，即时，若，则或；若，则在上单调递减，

5、在，上单调递增当，即时，恒成立，在上单调递增当，即时，若，则或；若，则，在上单调递减，在上单调递增综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增;当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增当时，在上单调递减，在上单调递增;（3）由（1）知在上为减函数，时，令，得，即，, ，将以上各式左右两边相加得：，.2、已知函数.（1）求函数在区间上的最大值；（2）证明：，.【答案】：【解析】：（1），因为，所以，1分当时，恒成立，此时；2分当时，恒成立，此时；3分当时，由得，由得，所以此时.4分（2）证明：当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，当且仅当时等号成立，6分即对都成立

6、.7分所以，8分即.9分由于，则.10分所以.11分所以.12分3、已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：；（3）试比较与（且）的大小，证明你的结论.【答案】：【解析】：（1）函数的定义域为：，当时，所以在上单调递增，当时，令，解得.当时，所以，所以在上单调递减；当时，所以，所以在上单调递增.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，要证明，即证，即证：.设，则，令得，.当时，当时，所以为极大值点，且在处取得最大值.所以，即.故.（3）证明：（当且仅当时等号成立），即，则有，故：.4、已知函数，.（）求的单调区间；（）若，证明：；（）对于任意正整数，求的最小正整数值.【答案】：【解析】：（）由，若，则当时，函数单调递增；若，则当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（）由（）知，当时，在处取得最大值，最大值为，所以当时，故当，.又，即，故.（）当时，即，则有，当且仅当时等号成立，.一方面：，即.另一方面：当时，当时，.t的最小正整数值为3.