高中数学知识清单 3年真题汇编 命题规律分析.pdf

1、风里雨里，七哥课上等你 -3-高中数学知识清单 目 录第一章 集合与简易逻辑.-5-第一节 集合.-6-第二节 简易逻辑.-8-第二章 函数.-14-第一节 函数.-16-第二节 基本初等函数.-19-第三节 函数与方程.-23-第四节 导数及其应用.-24-第三章 三角函数.-37-第一节 任意角的三角函数.-39-第二节 同角三角函数关系式及诱导公式.-41-第三节 三角函数的图像与性质.-42-第四节 三角恒等变换.-44-第五节 解三角形.-45-第四章 数列.-55-第一节 数列的基本概念.-56-第二节 等差数列与等比数列.-57-第三节 数列的求和.-58-第五章 平面向量.-6

2、7-第一节 平面向量概念及线性运算.-68-第二节 平面向量基本定理及坐标运算.-70-第三节 平面向量的数量积.-71-第六章 解析几何.-76-第一节 直线方程及位置关系.-79-第二节 圆的方程及位置关系.-80-第三节 圆锥曲线.-81-第四节 直线与圆锥曲线的位置关系.-84-第五节 曲线方程.-85-第七章 立体几何.-97-第一节 空间几何体.-98-第二节 空间中的平行与垂直.-99-第三节 空间中的距离与角度（理）.-102-第四节 空间向量与立体几何（理）.-103-第八章 概率及统计.-115-第一节 随机抽样及统计.-116-风里雨里，七哥课上等你 -4-高中数学知识清

3、单 第二节 随机事件及概型.-118-第三节 排列组合（理）.-119-第四节 二项式定理（理）.-121-第九章 不等式.-132-第一节 不等式的解法与证明.-133-第二节 不等式的解法与应用.-134-第十章 数系的扩充.-138-第十一章 算法与框图.-143-第一节 算法及程序框图.-143-第十二章 坐标系与参数方程.-152-第一节 极坐标与参数方程.-152-参考答案.-157-风里雨里，七哥课上等你 -5-高中数学知识清单 考试要求命题走向集合1集合的含义与表示（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系；（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体

4、问题2集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义3集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算1、集合有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用 Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练考试形式多以一

5、道选择题为主，分值 5 分预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立具体题型估计为：（1）题型是 1 个选择题或 1 个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用逻辑用语4命题及其关系（1）理解命题的概念；（2）了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；（3）理解必要条件，充分条件与充要条件的意义5简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义6全称量词与存在量词（1）理解全称量词与存在量词的意义；（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定2、常用逻辑用语本部分内容主要是常用的逻

6、辑用语，包括命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式预测高考对本部分内容的考查形式如下：考查的形式以选择、填空题为主，考察的重点是条件和复合命题真值的判断第一章 集合与简易逻辑 高考导航 风里雨里，七哥课上等你 -6-高中数学知识清单 第一节 集合一、集合的含义及其表示1.集合：某些指定的对象集在一起成为集合集合中的对象称元素，若 a 是集合的元素，记作 aA；若 b 不是集合 A 的元素，记作 bA；2.集合中的元素具有的三个性质：确定性、无序性、互异性；确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一

7、种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同与元素的排列顺序无关；3.集合的三种表示方法：列举法-把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法；使用列举法的时候要注意以下几点（1）元素间用分隔符“，”；（2）元素不重复；（3）元素无顺序；（4）对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后才用省略号描述法-用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在花括号内表示集合的方法对于描述法，不能

8、只把注意力放在竖线右边适合的条件，还要对竖线左边的形式引起足够的重视图示法-为了更形象的表示集合，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合二、集合中元素与集合的关系文字语言符号语言属于不属于三、常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N+NZQRC四、集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同AB且 BAAB=子集A 中任意一元素均为 B 中的元素AB真子集A 中任意一元素均为 B 中的元素，且 B中至少有一元素不是 A 的元素AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A，()BB 五、集合的基本运算1、

9、交集与并集（1）交集：由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集交集知识精讲 风里雨里，七哥课上等你 -7-高中数学知识清单 ABx xAxB=且（2）并集：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集ABx xAxB=或2、全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若 S 是一个集合，AS，则 S 中子集 A 的补集记作sAC；注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个

10、字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法交并补ABx xAxB=且ABx xAxB=或U Ax xUxA=且C风里雨里，七哥课上等你 -8-高中数学知识清单 第二节 简易逻辑一、四种命题及其关系1、命题的定义命题：可以判断真假的语句叫命题；注意：不是任何语句都是命题，一般来说，疑问句，祈使句，感叹句都不是命题；一个命题，常用小写的拉丁字母 p，q，r，s，表示2、四种命题如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这

11、两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假3、表示形式一般的，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示 p 和 q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若 p 则 q；逆命题：若 q 则 p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p4、四种命题的关系二、充分条件、必要条件与充要条件一般地，如果已知 pq，那么就说：p 是 q 的充分条件

12、；q 是 p 的必要条件可分为四类：（1）充分不必要条件，即 pq且/qp（2）必要不充分条件，即 qp且/pq（3）既充分又必要条件，即 pq（4）既不充分也不必要条件，即/qp且/pq，一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作：pq，“”叫做等价符号 pq表示 pq且 qp这时 p 既是 q 的充分条件，又是 q 的必要条件，则 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件三、基本逻辑联结词：“或”“且”“非”1、或：两个简单命题至少有一个成立；2、且：两个简单命题都成立；否命题若则互逆互否为互逆否互逆否逆为互否命题若则互否逆命题若q则p原命题若p则q风里雨里，七哥课上等你 -9-高中数学知

13、识清单 3、非：对一个命题的否定四、简单命题与复合命题1、定义简单命题：不含逻辑联结词的命题复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题2、表达形式简单命题常用小写的拉丁字母 pqrs，表示；复合命题常用 p 或 q，p 且 q，非 p 表示3、复合命题的真值表pqp 且 qp 或 q非 p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真注：1像上面表示命题真假的表叫真值表；2由真值表得：“非 p”形式复合命题的真假与 p 的真假相反；“p 且 q”形式复合命题当 p 与 q 同为真时为真，其他情况为假；“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况为真；3真值表是根据简单命题的真假，

14、判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容 风里雨里，七哥课上等你 -10-高中数学知识清单 五、量词1、全称量词与全称命题短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示含有全体量词的命题，叫做全称命题2、特称量词及特称命题短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做特称量词，并用符号“”表示，含有特称量词的命题，叫做特称命题一、集合的简单性质：（1）AAA=，A=，ABBA=；（2）AA=，ABBA=；（3）()()ABAB；（4）ABABA=，ABABB=；（5）()()ABCABC=；(

15、)()ABCABC=；（6）()()()SSSABAB=CCC；()()()SSSABAB=CCC二、空集的相关知识点1、空集是指不含任何元素的集合 0、和 的区别；0 与三者间的关系空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集条件为 AB，在讨论的时候不要遗忘了 A=的情况2、若 A 集合为：,0Ax axb b=，讨论空集从0a=入手；若 A 集合为：Ax MxN=形式，讨论空集从 MN的入手；若 A 集合为：()200Ax axbxcc=+=形式，讨论空集从0a=，0b=和0 的入手；三、有限集的子集个数公式设有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集个数有 2n 个，其中真子集个数是

16、 21n ，非空子集个数是 21n ，非空真子集个数是 22n 四、集合基本概念问题的求解方法集合的基本概念包括集合、元素的概念，元素与集合的关系，集合与集合的关系，集合中元素的特性等，此类题目的命题点一般着眼于集合中元素的确定性与互异性，解决问题的关键是对数学分类讨论思想的灵活运用，分类应注意：不重复、不遗漏、分类的标准一致五、集合间基本关系问题的求解方法1、判断两集合的关系通常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；二是利用列举法表示各集合，从元素中寻求关系2、已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用

17、数轴，韦恩图帮助分析 要点解析 风里雨里，七哥课上等你 -11-高中数学知识清单 六、从集合的角度分析条件问题定义从集合观点看若 pq，则 p 是 q 的充分条件若集合 MN，则 M 是 N 的充分条件若 qp，则 p 是 q 的必要条件若集合 NM，则 M 是 N 的必要条件若 pq且/qp，则 p 是 q 的充分不必要条件若集合 MN，则 M 是 N 的充分不必要条件若 qp且/pq，则 p 是 q 的必要不充分条件若集合 NM，则 M 是 N 的必要不充分条件若 pq，则 p 是 q 的充要条件若集合 MN=，则 M 是 N 的充分必要条件若/qp且/pq，则 p 是 q 的非必要非充分

18、条件若集合/MN且/NM则 M 是 N 的非充分非必要条件七、四种命题真假的判定1、原命题为真，它的逆命题不一定为真；2、原命题为真，它的否命题不一定为真；3、原命题为真，它的逆否命题一定为真；原命题与逆否命题互为等价命题八、判断充要条件的方法1、定义法：若 pq，则 p 是 q 的充要条件；2、逆否法：若证p是q的充要条件，只需证明 q 是 p 的充要条件；3、集合法：若集合 MN=，则 M 是 N 的充分必要条件 风里雨里，七哥课上等你 -12-高中数学知识清单【例1】（2017 全国）已知集合1Ax x=，31xBx=，则（）A0ABx x=B AB=RC1ABx x=D AB=【例2】

19、（2017 全国）已知集合1,2,4A=，240Bx xxm=+=，若 1AB=，则 B=（）A1,3B1,0C1,3D1,5【例3】（2017 全国）已知集合()22,1Ax y xy=+=，(),Bx y yx=，则 AB 中元素的个数为（）A3B2C1D0【例4】（2018 全国）已知集合220Ax xx=，则A=R（）A12xx B12xxC|1|2x xx x D|1|2x xx x【例5】（2018 全国）已知集合()223Axy xyxy=+ZZ，则 A 中元素的个数为（）A9B8C5D4【例6】（2018 全国）已知集合|1 0A x x，0,1,2B=，则 AB=（）A 0B

20、 1C1,2D0,1,2【例7】（2018 浙江）已知全集1 2 3 4 5U=，13A=，则 U A=（）A B13，C2 4 5，D1 2 3 4 5，【例8】（2018 浙江）已知平面，直线 m，n 满足 m，n，则“mn”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【例9】（2018 北京）设 a，b 均为单位向量，则“33=+abab”是“ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【例10】（2018 天津）设 xR，则“1122x”是“31x ”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不

21、充分也不必要条件高考特训 风里雨里，七哥课上等你 -13-高中数学知识清单【例11】（2019 全国 I）已知集合42Mxx=，260Nx xx=，则 MN=（）A43xx B42xx C22xx D23xx【例12】（2019 全国 II）设集合2560Ax xx=+，10Bx x=，则 AB=（）A(),1B()2,1C()3,1D()3,+【例13】（2019 全国 III）已知集合1,0,1,2A=，2 1Bx x=，则 AB=（）A1,0,1B0,1C1,1D0,1,2【例14】（2019 浙江）已知全集1,0,1,2,3U=，集合0,1,2A=，1,0,1B=，则()U AB=（）

22、A1B0,1C1,2,3D1,0,1,3【例15】（2019 浙江）若0a，0b，则“4ab+”是“4ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件风里雨里，七哥课上等你 -14-高中数学知识清单 考试要求命题走向函数的概念及性质1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；3通过具体实例，了解简单的分段函数

23、，并能简单应用；4通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；5学会运用函数图像理解和研究函数的性质从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大预测高考对本节的考察是：1题型是 1 个选择和 1 个填空；2热点是函数概念及

24、函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点指对函数1指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的 14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型2对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运

25、算的作用；指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算法，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理预测对本节的考察是：1题型有两个选择题和一个解答题；2题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大第二章 函数 高考导航 风里雨里，七哥课上等你 -15-高中数学知识清单（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画

26、的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3知道指数函数xya=与对数函数logayx=互为反函数01aa（，）导函数1导数及其应用（1）导数概念及其几何意义了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义（2）导数的运算会求导；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能 求 简 单 的 复 合 函 数（仅 限 于 形 如()f axb+的导数；会使用导数公式表（3）导数在研究函数中的应用借助几

27、何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用（5）定积分与微积分基本定理高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解

28、答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，因而高考会在这方面考察，预测高考呈现以下几个特点：（1）新课标考察，难度不会很大，注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数

29、学模型风里雨里，七哥课上等你 -16-高中数学知识清单 第一节 函数 一、映射的概念一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 fAB：为从集合 A 到集合 B 的一个映射记作 fAB：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射注意：（1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的其中 f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙

30、述（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思二、函数的概念设 AB、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称 fAB：为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：()yf x=,xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合()f x xA叫做函数的值域注意：（1）“()yf x=”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“()yg x=”；（2）函数符号“()yf x=”中的(

31、)f x 表示与 x 对应的函数值，是一个数，而不是 f 乘 x 三、函数的表示方法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的关系四、几类特殊的函数类型1、分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数2、复合函数若()yf u=，()ug x=，(),xa b，(),um n，那么()yfg x=称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是()g x 的值域五、函数的奇偶性1、定义如果对于函

32、数()f x 定义域内的任意 x 都有()()fxf x=，则称()f x 为奇函数；如果对于函数()f x定义域内的任意 x 都有()()fxf x=，则称()f x 为偶函数如果函数()f x 不具有上述性质，则()f x 不具有奇偶性如果函数同时具有上述两条性质，则()f x 既是奇函数，又是偶函数注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶知识精讲 风里雨里，七哥课上等你 -17-高中数学知识清单 性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）2、利用定义判

33、断函数奇偶性的格式步骤：1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2)确定()fx与()f x 的关系；3)作出相应结论：若()()fxf x=或()()0fxf x=，则()f x 是偶函数；若()()fxf x=或()()0fxf x+=，则()f x 是奇函数3、简单性质：1)图像的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于 y 轴对称；2)设()f x，()g x 的定义域分别是1D，2D，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇六、函数的单调性1、定义一般地，设函数(

34、)yf x=的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量1x，2x，当12xx时，都有()()12fxfx或()()12fxfx，那么就说()f x 在区间 D 上是增函数（减函数）；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当12xx时，总有()()12fxfx或()()12fxfx2、利用定义判断函数单调性的格式步骤：1)任取1x，2xD，且12xx；2)作差()()12fxfx；3)变形（通常是因式分解和配方）；4)定号（即判断差()()12fxfx的正负）；5)下结论（即指出函数(

35、)f x 在给定的区间 D 上的单调性）3、简单性质：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数()f x+增函数()g x 是增函数；减函数()f x+减函数()g x 是减函数；增函数()f x 减函数()g x 是增函数；减函数()f x 增函数()g x 是减函数七、函数的最值最大值：一般地，设函数()yf x=的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有()f xM；存在0 xI，使得()0fxM=那么，称 M 是函数()yf x=的最大值最小值：一般地，设函数()yf x=的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于

36、任意的 xI，都有()f xM；存在0 xI，使得()0fxM=那么，称 M 是函数()yf x=的最小值注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0 xI，使得()0fxM=；函数最大（小）应风里雨里，七哥课上等你 -18-高中数学知识清单 该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 xI，都有()f xM或()f xM八、函数的周期性1、定义如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意 x，都有()()f xTf x+=，则称()f x 为周期函数；2、性质：()()f xTf x+=常常写作22TTfxfx+=，若()f x 的周期中，存在一个最小的正数，则称它为()f x

37、 的最小正周期；若周期函数()f x 的周期为T，则()fx（0）是周期函数，且周期为|T风里雨里，七哥课上等你 -19-高中数学知识清单 第二节 基本初等函数 一、指数与对数运算1、根式的概念1)定义若一个数的 n 次方等于 a（1n ，且*nN），则这个数称 a 的 n 次方根即若nxa=，则 x 称 a 的 n 次方根（1n ，且*nN），当 n 为奇数时，an的次方根记作 n a；当 n 为偶数时，负数 a 没有 n 次方根，而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数，记作n a（0a）2)性质()nn aa=；当 n 为奇数时，nnaa=；当 n 为偶数时，,0,0nna aaaa

38、a=2、幂的有关概念1)规定naa aa=（*nN）01a=（0a）；n 个1ppaa=（pQ）mnmnaa=（0a，m，*nN,且1n）2)性质：rsrsaaa+=（0a，r，sQ）；()srr saa=（0a，r，sQ）；()rrra bab=（0a，0b，rQ）3、对数的概念1)定义如果 a（0a，且1a ）的 b 次幂等于 N，就是baN=，那么数 b 称以 a 为底 N 的对数，记作 loga Nb=，其中 a 称对数的底，N 称真数其中，以 10 为底的对数称常用对数，10logN 记作 lg N；以无理数 e（e2.71828=）为底的对数称自然对数，elog N，记作 ln N

39、 2)基本性质：真数 N 为正数（负数和零无对数）；log 10a=；log1a a=；对数恒等式：loga NaN=3)运算性质：如果0a，1a ，0M，0N，则()logloglogaaaMNMN=+；logloglogaaaMMNN=；loglognaaMnM=（nR）4)换底公式：logloglogmamNNa=（0a，1a ，0m，1m ，0N）；loglog1abba=；loglogmnaanbbm=风里雨里，七哥课上等你 -20-高中数学知识清单 二、指数函数与对数函数1、指数函数1)定义函数xya=（0a，且1a ）称指数函数，2)图像及其性质xya=1a 01a 图像定义域R

40、值域()0,+性质过定点()0,1，图像都在一、二象限对于相同的 a（0a，且1a ），函数xya=与xya=的图像关于 y 轴对称单调性当0 x 时，01y当 x 0 时，1y 在(),+上是增函数当0 x 时，1y 当 x 0 时，01y在(),+上是减函数风里雨里，七哥课上等你 -21-高中数学知识清单 2、对数函数1)定义函数logayx=（0a，且1a ）称对数函数2)图像及其性质logayx=1a 01a 图像定义域()0,+值域R性质过定点()1,0，图像都在一、四象限对于相同的 a（0a，且1a ），函数1loglogaayxyx=与的图像关于 x 轴对称单调性当 01x 时，

41、0y 当 x 1时，y 0在()0,+上是增函数当 01x 时，y 0当 x 1时，0y 在()0,+上是减函数三、二次函数与幂函数1)二次函数的定义：形如2yaxbxc=+（0a）的函数叫做二次函数2)二次函数的三种表达形式一般式：2yaxbxc=+（0a）顶点式：()2ya xhk=+（0a）两根式：()()12(0)ya xxxxa=（0a）3)二次函数的图像与性质二次函数2yaxbxc=+（0a）是以直线2bxa=为对称轴的抛物线，其开口方向由 a 的符号决定对称轴两侧单调性相反4)若二次函数满足()()f xmfxn+=+，则二次函数对称轴为2mnx+=5)幂函数的定义一般地，形如a

42、yx=（aR）的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量，a 为常数6)图像的性质在同一平面直角坐标系下，幂函数 yx=，2yx=，3yx=，12yx=，1yx=，图像分别如下图风里雨里，七哥课上等你 -22-高中数学知识清单 当0a 时，幂函数ayx=（aR）的图像都经过点()0,0，()1,1；在第一象限内，函数值 y 随 x 的增大而增大；在第一象限内，1a 时，函数图像是向下凸的，0a1时，函数图像是向上凸的；当0a 时，幂函数ayx=（aR）的图像都经过点()1,1；在第一象限内，函数值 y 随 x 的增大而减小，函数图像是向下凸的yx=2yx=3yx=12yx=1yx=定义域RRR)

43、0,+0 x xxR且值域R)0,+R)0,+0y yxR且奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增)0,x+时，增(),0 x 时，减增增)0,x+时，减(),0 x 时，减定点()0,0，()1,1()1,1风里雨里，七哥课上等你 -23-高中数学知识清单 第三节 函数与方程 一、方程的根与函数的零点1、函数零点概念：对于函数()yf x=（xD），把使()0f x=成立的实数 x 叫做函数()yf x=（xD）的零点2、函数零点的意义：函数()yf x=的零点就是方程()0f x=的实数根，亦即函数()yf x=的图像与 x 轴交点的横坐标即：方程()0f x=有实数根 函数()yf x=的图像与

44、 x 轴有交点 函数()yf x=有零点3、二次函数2yaxbxc=+（0a）的零点：0，方程20axbxc+=有两不等实根，二次函数的图像与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；0=，方程20axbxc+=有两相等实根（二重根），二次函数的图像与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；0，方程20axbxc+=无实根，二次函数的图像与 x 轴无交点，二次函数无零点4、零点存在性定理：如果函数()yf x=在区间,a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b，那么函数()yf x=在区间(),a b 内有零点即存在(),ca b，使得()0f c=，这个

45、 c 也就是方程的根二、二分法1、二分法的概念对于在区间,a b 上连续不断，且满足()()0f af b的函数()yf x=，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2、用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤（1）确定区间,a b，验证()()0f af b，给定精度；（2）求区间(),a b 的中点1x；（3）计算()1f x：若()10f x=，则1x 就是函数的零点；若()()10f af x，则令1bx=（此时零点()01,xa x）；若()()10f xf b，则令1ax=（此时零点()01,xx

46、b）；（4）判断是否达到精度 ；即若 ab，则得到零点零点值 a（或 b）；否则重复步骤（2）（4）3、函数零点的性质从“数”的角度看：即是使()0f x=的实数；从“形”的角度看：即是函数()f x 的图像与 x 轴交点的横坐标；若函数()f x 的图像在0 xx=处与 x 轴相切，则零点0 x 通常称为不变号零点；若函数()f x 的图像在0 xx=处与 x 轴相交，则零点0 x 通常称为变号零点（注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件()()0f af b表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点风里雨里，七哥课上等你 -24-高中数学知识清单 第四节 导数及其应用 一、导数的概念函

47、数()yf x=，如果自变量 x 在0 x 处有增量 x，那么函数 y 相应地有增量()()00yfxxfx=+，比值yx叫做函数()yf x=在0 x 到0 xx+之间的平均变化率，即()()00f xxf xyxx+=如果当0 x 时，yx有极限，我们就说函数()yf x=在点0 x 处可导，并把这个极限叫做()yf x=在点0 x 处的导数，记作()0fx或0 x xy=即()()()00000limlimxxf xxf xyf xxx +=说明：（1）函数()yf x=在点0 x 处可导，是指0 x 时，yx有极限如果yx不存在极限，就说函数在点0 x 处不可导，或说无导数（2）x 是

48、自变量 x 在0 x 处的改变量，0 x 时，而y 是函数值的改变量，可以是零 由导数的定义可知，求函数()yf x=在点0 x 处的导数的步骤：（1）求函数的增量()()00yf xxf x=+；（2）求平均变化率yx=()()00f xxf xx+；（3）取极限，得导数()00limxyfxx=二、导数的几何意义函数()yf x=在点0 x 处的导数的几何意义是曲线()yf x=在点()()00,P xfx处的切线的斜率也就是 说，曲 线()yf x=在 点()()00,P xfx处 的 切 线 的 斜 率 是()0fx 相 应 地，切 线 方 程 为()()000yyfxxx=三、常见函

49、数的导数公式1、0C=（C 为常数）2、()1aaxax =3、()sincos=4、()cossin=5、()1ln xx=6、()11loglog elnaaxxxa=（0a，且1a）7、()eexx=8、()lnxxaaa=（0a，且1a）风里雨里，七哥课上等你 -25-高中数学知识清单 四、两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）即：()uvuv=法则 2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：()uvu vuv=+若 C 为常数，则()CuCu=法则 3：两个函数的商

50、的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：2uu vuvvv=（0v）形如()yfx=的函数称为复合函数复合函数求导步骤：分解求导回代法则：()()()y xy uu x=五、导数的应用（1）一般地，设函数()yf x=在某个区间可导，如果()0fx，则()f x 为增函数；如果()0fx，则()f x 为减函数；如果在某区间内恒有()0fx=，则()f x 为常数（2）曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正（3）一般地，在区间,a b 上连续的函数 x 在

51、,a b 上必有最大值与最小值求函数 x 在(),a b 内的极值；求函数 x 在区间端点的值()f a，()f b；将函数 x 的各极值与()f a，()f b 比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值六、定积分1、概念设函数()f x 在区间,a b 上连续，用分点011iinaxxxxxb=把区间,a b 等分成 n 个小区间，在每个小区间1,iixx上取任一点()1,2,i in=,作和式()1nniiIfx=（其中x 为小区间长度），把 n+即0 x 时，和式nI 的极限叫做函数()f x 在区间,a b 上的定积分，记作：()dba f xx，即()1()dlimnbianif

52、 xxfx=这里，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间,a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()df xx 叫做被积式基 本 的 积 分 公 式：0dxC=；11d1mmxxxCm+=+（mQ，1m ）；1dlnxxCx=+；e dexxxC=+；dlnxxaaxCa=+；cos dsinx xxC=+；sin dcosx xxC=+（表中 C 均为常数）2、定积分的性质()()ddbbaakf xxkf xx=（k 为常数）；风里雨里，七哥课上等你 -26-高中数学知识清单()()()()dddbbbaaaf xg xxf xxg xx=；()()(

53、)dddbcbaacf xxf xxf xx=+（其中 acb)3、定积分求曲边梯形面积由三条直线 xa=，xb=（ab），x 轴及一条曲线()yf x=（()0f x）围成的曲边梯的面积()dbaSf xx=如果图形由曲线()11yfx=，()22yfx=（不妨设()()120fxfx），及直线 xa=，xb=（ab）围成，那么所求图形的面积()()12ddbbaaSfxxfxx=风里雨里，七哥课上等你 -27-高中数学知识清单 一、两个函数相等的概念函数的定义含有三个要素，即定义域 A、值域 C 和对应法则 f当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定因此，定

54、义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数二、函数定义域三种类型解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：自然型：指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；限制型：指命题的条件或人为对自变量 x 的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量 x 的实际意义三、函数定义域求法（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有

55、意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知()f x 的定义域求()fg x 的定义域或已知()fg x 的定义域求()f x 的定义域：掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；若已知()f x 的定义域,a b，其复合函数()fg x 的定义域应由()ag xb解出四、函数值域的求法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：（1）求常见函数值域；（2）求由常见函数复合而成的函数的值域；（3）求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域直接法：利用常见函数的

56、值域来求一次函数 yaxb=+（0a）的定义域为 R，值域为 R；反比例函数kyx=（0k）的定义域为0 x x，值域为0y y；二次函数()2f xaxbxc=+（0a）的定义域为 R，当0a 时，值域为244acby ya；当0a 时，值域为244acby ya配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为如：()2f xaxbxc=+，(),xm n的形式；分式转化法（或改为“分离常数法”）；换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；要点解析 风里雨里，七哥课上等你 -28-高中数学知识清单 基本不

57、等式法：转化成型如：kyxx=+（0k），利用平均值不等式公式来求值域；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域五、函数解析式的求法1)已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；2)已知()f x 求()fg x 或已知()fg x 求()f x：换元法、配凑法；3)已知函数图像，求函数解析式；4)()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等六、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法1)利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（

58、小）值；2)利用图像求函数的最大（小）值；3)利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；如果函数()yf x=在区间,a b 上单调递增，在区间,b c 上单调递减则函数()yf x=在 xb=处有最大值()f b；如果函数()yf x=在区间,a b 上单调递减，在区间,b c 上单调递增则函数()yf x=在 xb=处有最小值()f b 七、复合函数的单调性设复合函数()yfg x=，其中()ug x=，A 是()yfg x=定义域的某个区间，B 是映射:g()xug x=的象集：若()ug x=在 A 上是增（或减）函数，()yf u=在 B 上也是增（或减）函数，则函数()yfg x=在

59、 A 上是增函数；若()ug x=在 A 上是增（或减）函数，而()yf u=在 B 上是减（或增）函数，则函数()yfg x=在 A 上是减函数八、函数的图像变换（1）平移变换水平平移：()yf xa=（0a）的图像，可由()yfx=的图像向左（+）或向右（）平移 a 个单位而得到竖直平移：()yf xb=（0b）的图像，可由()yf x=的图像向上（+）或向下（）平移 b 个单位而得到（2）对称变换()yfx=与()yf x=的图像关于 y 轴对称()yf x=-与()yf x=的图像关于 x 轴对称()yfx=与()yf x=的图像关于原点对称由对称变换可利用()yf x=的图像得到()

60、yf x=与()yxf=的图像作出()yf x=的图像，将图像位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得风里雨里，七哥课上等你 -29-高中数学知识清单 到()yf x=的图像；作出()y fx=在 y 轴上及 y 轴右边的图像部分，并作 y 轴右边的图像关于 y 轴对称的图像，即得()yxf=的图像（3）伸缩变换()yaf x=（0a）的图像，可将()yfx=图像上每点的纵坐标伸（1a 时）或缩（1a 时）到原来的 a 倍，横坐标不变()yf ax=（0a）的图像，可将()yfx=的图像上每点的横坐标伸（1a 时）或缩（1a 时）到原来的 1a 倍，纵坐标不变（4）

61、翻折变换作为()yfx=的图像，将图像位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到()yf x的图像；作为()yfx=在 y 轴上及 y 轴右边的图像部分，并作 y 轴右边的图像关于 y 轴对称的图像，即得()yxf=的图像九、二次函数的性质及根的分布问题二次函数的基本性质（1）当0a，()f x 在区间,p q 上的最大值 M，最小值 m，令02pqx+=若2bpa，则()fpm=，()f qM=；若02bpxa，则2bfma=，()f qM=；若02bxqa，则()fpM=，2bfma=；若2bqa，则()()fpMf qm=，（2）二次方程2yaxbxc=+（0

62、a）的实根分布及条件方程()0f x=的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小()0a f r；二次方程()0f x=的两根都大于 r()24020bacbraa f r=二次方程()0f x=在区间(),p q 内有两根()()240200bacbpqaa fpa f q=风里雨里，七哥课上等你 -30-高中数学知识清单 二次方程()0f x=在区间(),p q 内只有一根()()0fpf q，或()0fp=（检验）或()0f q=（检验）检验另一根若在(),p q 内成立十、函数零点个数的判断方法(1)直接求零点令()0f x=，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理利

63、用定理不仅要求函数在区间,a b 上是连续不断的曲线，且()()0f af b，还必须结合函数的图像与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点十一、利用导数求函数单调区间的步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()fx；（3）由()0fx（()0fx）解出相应的 x 的范围当()0fx时，()f x 在相应的区间上是增函数；当()0fx时，()f x 在相应的区间上是减函数，列表，写出函数的单调区间风里雨里，七哥课上等你 -31-高中数学知识清单【例1】（201

64、7 全国）设,x y z 为正数，且 235xyz=，则（）A 235xyzB 523zxyC 352yzxD 325yxz【例2】（2017 全国）已知函数()()2112eexxf xxxa+=+有唯一零点，则 a=（）A12B 13C 12D1【例3】（2017 全国）若2x=是函数()()211 exf xxax=+的极值点，则()f x 的极小值为（）A 1B32eC35eD1【例4】（2018 全国）已知()f x 是定义域为(),+的奇函数，满足()()11fxfx=+若()12f=，则()()()()12350ffff+=（）A 50B0C2D50【例5】（2017 全国）已知

65、函数()2lnf xaxaxxx=，且()0f x（1）求 a；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0 x，且()220e2f x高考特训 风里雨里，七哥课上等你 -32-高中数学知识清单【例6】（2018 全国）函数()2eexxf xx=的图像大致为（）【例7】（2018 全国）设0.2log0.3a=，2log 0.3b=，则（）A0abab+B0abab+C0abab+D0abab+【例8】（2018 浙江）我国古代著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 x，y，z

66、，则100,153100,3xyzxyz+=+=当81z=时，x=_，y=_【例9】（2018 全国）设函数()()321f xxaxax=+，若()f x 为奇函数，则曲线()yf x=在点()0,0处的切线方程为（）A2yx=B yx=C2yx=D yx=【例10】（2018 全国）已知函数()2sinsin2f xxx=+，则()f x 的最小值是_【例11】（2018 全国）已知函数()1lnf xxaxx=+（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x，证明：()()12122f xf xaxx风里雨里，七哥课上等你 -33-高中数学知识清单【例12

67、】（2018 全国）已知函数()()()22ln 12f xxaxxx=+（1）若0a=，证明：当 10 x 时，()0f x；当0 x 时，()0f x；（2）若0 x=，是()f x 的极大值点，求 a【例13】（2018 浙江）已知函数()lnf xxx=（1）若()f x 在1xx=，()212xxx处导数相等，证明：()()1288ln2f xf x+；（2）若34ln2a，证明：对于任意0k，直线 ykxa=+与曲线()yf x=有唯一公共点风里雨里，七哥课上等你 -34-高中数学知识清单【例14】（2019 全国 I）已知2log 0.2a=，0.22b=，0.30.2c=，则（

68、）A abcB acbC cabD bca【例15】（2019 全国 I）曲线()23exyxx=+在点()0,0 处的切线方程为_【例16】（2019 全国 II）设函数()f x的定义域为 R，满足()()12 f xf x+=，且当(0,1x时，()()1f xx x=若对任意(,xm，都有()89f x，则 m 的取值范围是（）A9,4B7,3C5,2D8,3【例17】（2019 全国 II）已知()f x 是奇函数，且当0 x 时，()eaxf x=若()ln 28f=，则 a=_【例18】（2019 全国 3）已知曲线elnxyaxx=+在点()1,ea处的切线方程为2yxb=+，

69、则（）Aea=，1b=Bea=，1b=C1ea=，1b=D1ea=，1b=【例19】（2019 全国 III）设()f x 是定义域为 R 的偶函数，且在()0,+单调递减，则（）A233231log224fffB233231log224fffC23323122log 4fff D23323122log 4fff【例20】（2019 江苏）函数276yxx=+的定义域是_【例21】（2019 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线lnyx=上，且该曲线在点 A 处的切线经过点()e,1（e 为自然对数的底数），则 A 的坐标是_【例22】（2019 江苏）设()f x，()g x

70、是定义在 R 上的两个周期函数，()f x 的周期是 4，()g x 的周期是为 2，且()f x 是奇函数，当(0,2x时，()()211f xx=，()()2,011,122k xxg xx+=，其中k ，若在区间(0,9 上，关于 x 的方程()()f xg x=有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是_【例23】（2019 浙江）已知 a，bR，函数()()32,0111,032x xf xxaxax x=+，若函数()yf xaxb=恰有三个零点，则（）A1a ，0b B1a ，0b 风里雨里，七哥课上等你 -35-高中数学知识清单 C1a ，0b D1a ，0b【例24】（20

71、19 浙江）已知 aR，函数()3f xaxx=，若存在 tR，使得()()223f tf t+，则实数a 的最大值是_【例25】（2019 全国 I）已知函数()()sinln 1f xxx=+，()fx为()f x 的导数证明：（1）()fx在区间1,2存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有 2 个零点【例26】（2019 全国 II）已知函数()11lnxf xxx=+（1）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；（2）设0 x 是()f x 的一个零点，证明曲线lnyx=在点()00,lnA xx处的切线也是曲线exy=的切线风里雨里，七哥课上等你 -36-

72、高中数学知识清单【例27】（2019 全国 III）已知函数()322f xxaxb=+（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在 a，b，使得()f x 在区间0,1 的最小值为 1 且最大值为 1？若存在，求出 a，b的所有值；若不存在，说明理由【例28】（2019 江苏）设函数()()()()=f xxaxbxc，()fx为()f x 的导函数（1）若 abc=，()48f=，求 a 的值；（2）若 ab，bc=且()f x 和()fx的零点均在集合3,1,3中，求()f x 的极小值；（3）若0a=，1b0，1c=，且()f x 的极大值是 M，求证：427M【例29】（2019

73、浙江）已知实数0a，设函数()ln1f xaxx=+，0 x（1）当34a=时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21,ex+均有()2xf xa，求 a 的取值范围注：e2.71828=为自然对数的底数风里雨里，七哥课上等你 -37-高中数学知识清单 考试要求命题走向任意角的三角函数1任意角、弧度2三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（2，的正弦、余弦、正切）预测高考对本讲的考察是：1题型是1道选择题和解答题中小过程；2热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容三角函数图像1能画

74、出sinyx=，cosyx=，tanyx=的图像，了解三角函数的周期性；2借助图像理解正弦函数、余弦函数在0,2，正切函数在,2 2上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与 x 轴交点等）；3结合具体实例，了解()sinyAx=+的实际意义；能借助计算器或计算机画出()sinyAx=+的图像，观察参数 A，对函数图像变化的影响近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图像与性质的考查预测高考对本讲内容的考察为：1题型为1道选择题（求值或图像变换），1 道解答题（求值或图像变换）；2热点问题是三角函数的图像和性质，特别是()sinyAx=+的图像及其变换；三角恒等变换1经历用向量

75、的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3能运用上述公式进行简单的恒等变换从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质第三章 三角函数 高考导航 风里雨里，七哥课上等你 -38-高中数学知识清单 解三角形1通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题

76、；2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理风里雨里，七哥课上等你 -39-高中数学知识清单 第一节 任意角的三角函数一、任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形一条射线由原来的位置 OA，绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止位置 OB，就形成角 旋转开始时的

77、射线 OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点 O 叫做叫 的顶点为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角二、终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角要特别注意:如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称为非象限角终边相同的角是指与某个角 具有同终边的所有角，它们彼此相差 2 k（k Z），即2,kk=+Z，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等区间角是介于

78、两个角之间的所有角，如5 5,6666=三、弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角，记作 1 rad，或 1 弧度，或 1（单位可以省略不写）角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如，2等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0，角的正负主要由角的旋转方向来决定角 的弧度数的绝对值是：lr=，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径角度制与弧度制的换算主要抓住180 rad=弧度与角度互换公式571801.30rad57 18=、1180=0.01745 rad弧长公式：lr=（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：21122Sl r

79、r=四、三角函数定义在 的终边上任取一点(),P a b，它与原点的距离220rab=+过 P 作 x 轴的垂线，垂足为M，则线段 OM 的长度为 a，线段 MP 的长度为 b 则 sinMPbOPr=；cosOMaOPr=；tanMPbOMa=利用单位圆定义任意角的三角函数，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y，那么：（1）y 叫做 的正弦，记做 sin，即 siny=；（2）x 叫做 的余弦，记做 cos，即 cosx=；知识精讲 风里雨里，七哥课上等你 -40-高中数学知识清单（3）yx叫做 的正切，记做 tan，即 tan(0)y xx=五、三角函数线三角函数线是通

80、过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便以坐标原点为圆心，以单位长度 1 为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是 1 厘米或 1 米）当角 为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(),P x y，过点 P 作 PMx轴交 x 轴于点 M，根据三角函数的定义：sinMPy=；cosOMx=我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关当角 的终边不在坐标轴时，以 O 为始点、M 为终点，规定：当线段 OM 与 x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值 x；当线段 OM

81、 与 x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有负值 x；其中 x 为 P 点的横坐标这样，无论那种情况都有cosOMx=同理，当角 的终边不在 x 轴上时，以 M 为始点、P 为终点，规定：当线段 MP 与 y 轴同向时，MP的方向为正向，且有正值 y；当线段 MP 与 y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有负值 y；其中 y 为 P 点的纵坐标这样，无论那种情况都有sinMPy=像 MP，OM 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段如上图，过点(1,0)A作单位圆的切线，这条切线必然平行于 y 轴，设它与 的终边交于点T，请根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段 OA AT、，我们

82、有tanyATx=我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP OMAT、，分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线风里雨里，七哥课上等你 -41-高中数学知识清单 第二节 同角三角函数关系式及诱导公式一、同角三角函数关系式22sincos1+=；sintancos=使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法几个常用关系式：sincos+，sincos，sincos（三式之间可以互相表示）()2sincos12sincos+=+()2sincos12sincos=二、诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”诱导公式一：()

83、sin2 sink+=；()cos2 cosk+=，其中 k Z诱导公式二：()sin sin+=；()cos cos+=诱导公式三：()sinsin=；()coscos=诱导公式四：()sin sin=；()cos cos=诱导公式五：()sin 2sin=；()cos 2cos=+2()2 kk+Z2sinsinsinsinsinsincoscoscoscoscoscoscossin（1）要化的角的形式为2k（k 为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）()()sin1 sinkk+=，()()cos1coskk+=（k Z）；（4）sincoscos444xxx+=

84、；cossin44xx+=风里雨里，七哥课上等你 -42-高中数学知识清单 第三节 三角函数的图像与性质一、三角函数的图像与性质函数性质sinyx=cosyx=tanyx=定义域RR,2x xkkZ图像值域1,11,1R对称轴2xk=+（k Z）xk=（k Z）无对称中心(),0k（k Z）,02k+（k Z）,02k（k Z）周期22单调减区间32,2 22kk+（k Z）2,2 kk+（k Z）单调增区间2,2 22kk+（k Z）2,2 kk（k Z）,22kk+（k Z）奇偶性奇偶奇 风里雨里，七哥课上等你 -43-高中数学知识清单 二、五点法作图（1）sinyx=的图像在0,2 上的

85、五个关键点的坐标为()0,0，,12，(),0，3,12，()2,0（2）cosyx=的图像在0,2 上的五个关键点的坐标为()0,1，,02，(),1，3,02，()2,1三、sin()yAxB=+（0A，0）的性质最大值是 AB+，最小值是 BA，周期是2T=，频率是2f=，相位是x+，初相是；其图像的对称轴是直线2xk+=+（k Z），凡是该图像与直线 yB=的交点都是该图像的对称中心四、三角函数图像的变换由sinyx=的图像变换出()sinyAxB=+的图像一般有两个途径途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）先将sinyx=的图像向左（0）或向右（0）平移 个单位，再将图像上各点的横

86、坐标变为原来的 1倍（0），便得()sinyAx=+的图像再将()sinyAx=+图像上各点向上（0B）或者向下（0B）平移 B 个单位，得到()sinyAxB=+的图像途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换先将sinyx=的图像上各点的横坐标变为原来的 1倍（0），再沿 x 轴向左（0）或向右（0）平移 个单位，便得()sinyAx=+的图像再将()sinyAx=+图像上各点向上（0B）或者向下（0B）平移 B 个单位，得到()sinyAxB=+的图像利用图像的变换作图像时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图像变换要看“变量

87、”起多大变化，而不是“角变化”多少风里雨里，七哥课上等你 -44-高中数学知识清单 第四节 三角恒等变换一、两角和与差的三角函数()sinsincoscossin=；()coscoscossinsin=；()tantantan1tantan=二、二倍角公式sin22sincos=；2222cos2cossin2cos1 12sin=；22tantan21tan=三、三角函数式的化简（1）常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角；三角公式的逆用等（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数

88、（1）降幂公式1sincossin22=；21cos2sin2=；21cos2cos2+=（2）辅助角公式()22sincossinaxbxabx+=+，2222sincosbaabab=+其中，风里雨里，七哥课上等你 -45-高中数学知识清单 第五节 解三角形一、直角三角形中各元素间的关系如图，在ABC中，90C=，ABc=，ACb=，BCa=（1）三边之间的关系：222abc+=（勾股定理）（2）锐角之间的关系：90AB+=；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sincosaABc=，cossinbABc=，tanaAb=二、斜三角形中各元素间的关系如图，在ABC中，A，B，C 为其

89、内角，a，b，c 分别表示 A，B，C 的对边（1）三角形内角和：ABC+=（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等2sinsinsinabcRABC=（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 cbaCBAcbaCBA风里雨里，七哥课上等你 -46-高中数学知识清单 三、三角形的面积公式：（1）ABCabcSahbhch=（ah，bh，ch 分别表示 a，b，c 上的高）；（2）111sinsinsin222ABCSabCbcAacB=；（3）()()222sinsinsinsinsinsin2sin2

90、sin2sin()ABCaBCbACcABSBCACAB=+；（4）22sinsinsinABCSRABC=（R 为外接圆半径）；（5）4ABCRSabc=；（6）()()()ABCp pbpcSap=，()12pabc=+；（7）ABCSrp=，()12pabc=+（r 为内切圆半径）四、解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角

91、形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：在ABC中，A，B，C 为其内角，a，b，c 分别表示 A，B，C 的对边（1）角与角关系：ABC+=；（2）边与边关系：abc+，bca+，cab+，abc，bca，cab；（3）边与角关系：正弦定理2sinsinsinabcRABC=（R 为外接圆半径）；余弦定理2222coscababC=+，2222cosbacacB=+，2222cosabcbcA=+它们的变形形式有：2 sinaRA=，sinsinAaBb=，222cos2bcaAbc+=五、三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自

92、身的特点1、角的变换ABC中，ABC+=，()sinsinABC+=，()coscosABC+=，()tantanABC+=-，sincos22ABC+=，cossin22ABC+=；2、三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理3、()()()11sin22SahabCrpp papbpc=，其中 r 为三角形内切圆半径，p 为半周长4、在ABC中，熟记并会证明：A，B，C 成等差数列的充分必要条件是60B=；ABC是正三角形的充分必要条件是 A，B，C 成等差数列且 a，b，c 成等比数列 风里雨里，七哥课上等你 -47-高中数学知识清单 一、几种终边在特殊位置时对应角的集合角的终

93、边所在位置角的集合x 轴正半轴360,kk =Zy 轴正半轴36090,kk =+Zx 轴负半轴360180,kk =+Zy 轴负半轴360270,kk =+Zx 轴180,kk =Zy 轴18090,kk =+Z坐标轴90,kk =Z二、2、2 之间的关系若 终边在第一象限，则 2 终边在第一或第三象限；2 终边在第一或第二象限或 y 轴正半轴若 终边在第二象限，则 2 终边在第一或第三象限；2 终边在第三或第四象限或 y 轴负半轴若 终边在第三象限，则 2 终边在第二或第四象限；2 终边在第一或第二象限或 y 轴正半轴若 终边在第四象限，则 2 终边在第二或第四象限；2 终边在第三或第四象

94、限或 y 轴负半轴三、三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如()=+，()()2=+等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角四、三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“

95、同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明五、解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 A，B，C），由ABC+=求 C，由正弦定理求 a，b；（2）已知两边和夹角（如 a，b，C），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，要点解析 风里雨里，七哥课上等你 -48-高中数学知识清单 然后利用ABC+=，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如 a，b，A），应用正弦定理求 B，由ABC+=求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边 a，b，c，应余弦定理

96、求 A，B，再由ABC+=，求角 C六、解三角形中会用到的结论（1）三角形内切圆的半径：2Srabc=+，特别地，2abcr+=斜直；（2）三角形中的射影定理：在ABC中，coscosbaCcA=+；（3）两内角与其正弦值：在ABC中，sinsinABAB风里雨里，七哥课上等你 -49-高中数学知识清单【例1】（2017 全国）设函数()cos3f xx=+，则下列结论错误的是（）A()f x 的一个周期为 2B()yf x=的图像关于直线83x=对称C()f x+的一个零点为6x=D()f x 在 ,2上单调递减【例2】（2017 全国）函数()23sin3cos4f xxx=+，0,2x的

97、最大值是_【例3】（2017 全国）已知曲线1:cosCyx=，22:sin 23Cyx=+，则下列结论正确的是（）A把1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得到曲线2CB把1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线2CC把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得到曲线2CD把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到曲线2C【例4】（2017 全国）已知ABC的内角

98、 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知()2sin8sin 2BAC+=（1）求 cosB；（2）若6ac+=，ABC的面积为 2，求 b 高考特训 风里雨里，七哥课上等你 -50-高中数学知识清单【例5】（2018 全国）若1sin3=，则 cos2=（）A 89B 79C79D89【例6】（2018 全国）若()cossinf xxx=在,a a是减函数，则 a 的最大值是（）A 4B 2C 34D【例7】（2018 全国）已知 sincos1+=，cossin0+=，则()sin+=_【例8】（2018 全国）在ABC中，5cos 25C=，1BC=，5AC=，则 AB=（）A 4

99、 2B30C29D 2 5【例9】（2018 浙江）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若7a=，2b=，60A=，则 sinB=_，c=_【例10】（2018 江苏）在ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，120ABC=，ABC的平分线交 AC 于点 D，且1BD=，则 4ac+的最小值为_【例11】（2018 全国）在平面四边形 ABCD 中，90ADC=，45A=，2AB=，5BD=（1）求 cosADB；（2）若2 2DC=，求 BC【例12】（2018 全国）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 78，SA 与圆锥底面所成角为

100、45，若SAB的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_风里雨里，七哥课上等你 -51-高中数学知识清单【例13】（2018 江苏）已知，为锐角，4tan3=，()5cos5+=（1）求 cos2 的值；（2）求()tan 的值【例14】（2018 浙江）已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3455P，-（1）求()sin+的值；（2）若角 满足()5in13s+=，求 cos 的值风里雨里，七哥课上等你 -52-高中数学知识清单【例15】（2019 全国 I）关于函数()sinsinf xxx=+有下述四个结论：()f x 是偶函数()f x 在区间 ,2

101、单调递增()f x 在,有 4 个零点()f x 的最大值为 2其中所有正确结论的编号是（）A BCD【例16】（2019 全国 II）下列函数中，以 2为周期且在区间 ,4 2单调递增的是（）A()cos2f xx=B()sin2f xx=C()cosf xx=D()sinf xx=【例17】（2019 全国 II）已知0,2，2sin2cos21=+，则 sin=（）A 15B55C33D 255【例18】（2019 全国 II）ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 若6b=，2ac=，3B=，则ABC的面积为_【例19】（2019 全国 III）设函数()sin5f xx=

102、+（0），已知()f x 在0,2 有且仅有 5 个零点，下述四个结论：()f x 在()0,2 有且仅有 3 个极大值点()f x 在()0,2 有且仅有 2 个极小值点()f x 在0,10单调递增 的取值范围是 12 29,5 10其中所有正确结论的编号是（）ABCD【例20】（2019 江苏）已知tan23tan4=+，则sin 24+=_【例21】（2019 浙江）在ABC中，90ABC=，4AB=，3BC=，点 D 在线段 AC 上，若45BDC=，则 BD=_，cos ABD=_风里雨里，七哥课上等你 -53-高中数学知识清单【例22】（2019 全国 I）ABC的内角 A，B，

103、C 的对边分别为 a，b，c，设()22sinsinsinsinsinBCABC=（1）求 A；（2）若22abc+=，求sinC【例23】（2019 全国 III）ABC的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知sinsin2ACabA+=（1）求 B；（2）若ABC为锐角三角形，且1c=，求ABC面积的取值范围 风里雨里，七哥课上等你 -54-高中数学知识清单【例24】（2019 江苏）在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若3ac=，2b=，2cos3B=，求 c 的值；（2）若 sincos2ABab=，求sin2B+的值 【例25】（2019 浙江）设函

104、数()sinf xx=，xR （1）已知)0,2 ，函数()f x+是偶函数，求 的值；（2）求函数22124yfxfx =+的值域 风里雨里，七哥课上等你 -55-高中数学知识清单 考试要求命题走向数列的基本概念1数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数；2通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式；3能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题体会等差数列与一次函数的关系预测高考：1题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或

105、解决生产、生活中的实际问题的解答题；2知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题等比数列1通过实例，理解等比数列的概念；2探索并掌握等差数列的通项公式与前 n项和的公式；3能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题体会等比数列与指数函数的关系（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的 12 道客观题目；（2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决

106、问题的能力数列求和1探索并掌握一些基本的数列求前 n 项和的方法；2能在具体的问题情境中，发现数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题1数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点；2数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；第四章 数列 高考导航 风里雨里，七哥课上等你 -56-高中数学知识清单 第一节 数列的基本概念一、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列数列

107、中的每一个数叫做这个数列的项二、数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项之间的关系分类递增数列1nnaa+其中*nN递减数列1nnaa+常数列1nnaa+=按其他标准分类有界数列存在正数 M，使naM摆动数列na 的符号正负相见，如.1,1,1,1,三、数列的表示方法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法四、数列的通项公式如果数列na的第 n 项na 与 n 之间的函数关系可以用一个式子()naf n=来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式五、nS 与na 的关系已知nS，则11,1,2nnnS naSSn=在数列na中，若na 最大，则

108、11nnnnaaaa+，若na 最小，则11nnnnaaaa+知识精讲 风里雨里，七哥课上等你 -57-高中数学知识清单 第二节 等差数列与等比数列一、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示用递推公式表示为1nnaad=（2n）或1nnaad+=（1n ）二、等差数列的通项公式()11naand=+；说明：等差数列（通常可称为 AP 数列）的单调性：0d 为递增数列，0d=为常数列，0d 为递减数列三、等差中项的概念：定义：如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做

109、 a 与 b 的等差中项其中2abA+=（a，A，b 成等差数列）2abA+=四、等差数列的前 n 和的求和公式()()11122nnn aan nSnad+=+五、等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示（0q），即：1nnaqa+=（0q）数列六、等比数列通项公式为：11nnaaq=（10aq）说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1q=时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若na为等比数列，则m nmnaqa=七、等比中项如果在 a

110、与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 ab与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）八、等比数列前 n 项和公式一般地，设等比数列 na的前 n 项和是nS=123naaaa+，当1q 时，()1 11nnaqSq=或11nnaa qSq=；当1q=时，1nSna=（错位相减法）说明：（1）1,na q n S 和1,nna a q S 各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq，通项公式中是1nq 不要混淆；（3）应用求和公式时1q ，必要时应讨论1q=的情况风里雨里，七哥课上等你 -58-高中数学知识清单 第三节 数列的求和一、数列求通

111、项与和（1）数列前 n 项和nS 与通项na 的关系式：11,1,2nnnS naSSn=（2）求通项常用方法作新数列法作等差数列与等比数列；累差叠加法最基本的形式是：()()()112211nnnnnaaaaaaaa+=+；归纳、猜想法（3）数列前 n 项和重要公式：()112312nn n+=+()()2221 21126n nnn+=()223331124nnn+=等差数列中m nmnSSSmnd+=+，；等比数列中，nmm nnmmnSSq SSq S+=+=+；裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即()()1naf nf n=+，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法

112、叫裂项求和法用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：()()1111naAnBAnCCBAnBAnC=+，()11111n nnn=+，()!1!n nnn=+，111CCCrrrnnn=，()()111!1!nnnn=+等错位相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和，常用错项相消法 nnnabc=，nb为等差数列，nc为等比数列，记1 12211nnnnnSb cb cbcb c=+，则1 211nnnnnqSb cbcb c+=+，错位相减即可并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求nS 数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法通项分解法：n

113、nnabc=二、递归数列数列的连续若干项满足的等量关系()12,n kn kn knaf aaa+=称为数列的递归关系由递归关系及 k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列如由121nnaa+=+，及11a=，确定的数列21n 即为递归数列递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：风里雨里，七哥课上等你 -59-高中数学知识清单（1）归纳、猜想、数学归纳法证明；（2）迭代法；（3）代换法包括代数代换，对数代数，三角代数；（4）作新数列法最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题风里雨里，七哥课上等你 -60-高中数学知识清单 一、等差数列的常用性质（1）在等差数列 na中，从第 2 项起，每一项

114、是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列 na中，相隔等距离的项组成的数列是 AP，如：1a，3a，5a，7a，；3a，8a，13a，18a，；（3）在等差数列 na中，对任意 m，*nN，()nmaanm d=+，nmaadnm=（mn）；（4）在等差数列 na中，若 m，n，p，*qN 且 mnpq+=+，则mnpqaaaa+=+；（5）设数列na是等差数列，且公差为 d，（）若项数为偶数，设共有 2n 项，则 SSnd=奇偶；1nnSaSa+=奇偶；（）若项数为奇数，设共有 21n 项，则nSSaa=奇中偶；1SnSn=奇偶二、等差数列的判断方法（1）定义法：对于2n 的任意自然数，验证

115、1nnaa 为同一常数；（2）等差中项法：验证122nnnaaa=+（3n，*nN）都成立；（3）通项公式法：验证napnq=+；（4）前 n 项和公式法：验证2nSbnan+=注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列三、数列设元技巧（1）若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，2ad，ad，a，ad+，2ad+，（2）若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，3ad，ad，ad+，3ad+，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元四、数列前 n 项和最值的求法（1）10a，0d 时，nS 有最大值；10a，0d 时，nS 有最小值；（2）nS 最值的求法：若已知nS

116、，可用二次函数最值的求法（*nN）；若已知na，则nS 取得最值时 n 的值（*nN）可如下确定：100nnaa+或100nnaa+五、等比数列的知识要点（1）掌握等比数列定义1nnaqa+=（常数）（*nN），同样是证明一个数列是等比数列的依据，也可由212nn naa a+=来判断；（2）特别要注意等比数列前 n 项和公式应分为1q=与1q 两类，当1q=时，1nSna=，当1q 时，()111nnaqSq=，11nnaaqSq=要点解析 风里雨里，七哥课上等你 -61-高中数学知识清单 六、等比数列的判定方法定义法：对于数列 na，若1nnaqa+=（0q），则数列 na是等比数列；等比

117、中项：对于数列 na，若221nnna aa+=，则数列 na是等比数列七、等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：如果na 是等比数列的第 n 项，ma 是等比数列的第 m 项，且 mn，公比为 q，则有n mnmaa q=；对于等比数列 na，若 nmuv+=+，则nmuvaaaa=，也就是：12132nnnaaaaaa=如图所示：12112321,nna annnaaa a aaaa；若数列 na是等比数列，nS 是其前 n 项的和，*k N，0kS，那么kS，2kkSS，32kkSS，成等比数列如下图所示：3k23212312213SkkkkkSkkkkkSSSSaaaaaaaa+八、

118、数列求和的常用方法（1）公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；（2）裂项相消法：适用于1nnca a+其中 na是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等；（3）错位相减法：适用于nna b，其中na是等差数列，是等比数列（4）倒序相加法：类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法（5）分组求和法（6）累加（乘）法等 nb风里雨里，七哥课上等你 -62-高中数学知识清单【例1】（2017 全国）记nS 为等差数列 na的前 n 项和，若4524aa+=，648S=，则 na的公差为（）A1B2C4D8【例2】（2017 全国）等差数列 na的前 n

119、 项和nS，33a=，410S=，则11nkkS=_【例3】（2017 全国）等差数列 na的首项为 1，公差不为 0，若2a，3a，6a 成等比数列，则 na前 6项和为（）A 24B 3C3D8【例4】（2017 全国）已知等差数列 na的前 n 项和为nS，等比数列 nb的前 n 项和为nT，11a=，11b=，222ab+=（1）若335ab+=，求 nb的通项公式；（2）若321T=，求3S 高考特训 风里雨里，七哥课上等你 -63-高中数学知识清单【例5】（2018 全国）设nS 为等差数列 na的前 n 项和，若3243SSS=+，12a=，则5a=（）A 12B 10C10D1

120、2【例6】（2018 全国）记nS 为数列 na的前 n 项和，若21nnSa=+，则6S=_【例7】（2018 浙江）已知1234,a a a a 成等比数列，且()1234123lnaaaaaaa+=+若11a，则（）A1324,aa aaB1324,aa aaC1324,aa aaD1324,aa aa【例8】（2018 江苏）已知集*|21,Ax xnn=N，*|2,nBx xn=N将 AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 na记nS 为数列 na的前 n 项和，则使得112nnSa+成立的 n的最小值为_【例9】（2018 全国）等比数列 na中，11a=，534aa=（1）

121、求 na的通项公式；（2）记nS 为 na的前 n 项和若63mS=，求 m 风里雨里，七哥课上等你 -64-高中数学知识清单【例10】（2018 全国）记nS 为等差数列 na的前 n 项和，已知17a=，315S=（1）求 na的通项公式；（2）求nS，并求nS 的最小值【例11】（2018 浙江）已知等比数列 na的公比1q ，且34528aaa+=，42a+是35aa，的等差中项数列 nb满足11b=，数列()1nnnbba+的前 n 项和为22nn+（1）求 q 的值；（2）求数列 nb的通项公式风里雨里，七哥课上等你 -65-高中数学知识清单【例12】（2019 全国 I）记为等差

122、数列 na的前 n 项和已知40S=，55a=，则（）A25nan=B310nan=C228nSnn=D2122nSnn=【例13】（2019 全国 I）记nS 为等比数列 na的前 n 项和若113a=，246aa=，则5S=_【例14】（2019 全国 III）已知各项均为正数的等比数列 na的前 4 项为和为15，且53134aaa=+，则3a=（）A16B 8C 4D 2【例15】（2019 全国 III）记nS 为等差数列 na的前 n 项和，10a，213aa=，则105SS=_【例16】（2019 江苏）已知数列()*nanN是等差数列，nS 是前 n 项的和，若2580a aa

123、+=，927S=，则8S 的值是_【例17】（2019 浙江）设 a，bR，数列 na中1aa=，21nnaab+=+，nN，则（）A当12b=，1010aB当14b=，1010aC当2b=，1010aD当4b=，1010a【例18】（2019 全国 II）已知数列 na和 nb满足11a=，10b=，1434nnnaab+=+，1434nnnbba+=（1）证明：nnab+是等比数列，nnab是等差数列；（2）求 na和 nb的通项公式nS风里雨里，七哥课上等你 -66-高中数学知识清单【例19】（2019 江苏）定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M 数列”（1）已知等比数列 na()

124、nN满足：245a aa=，321440aaa+=，证数列 na为 M 数列（2）已知数列 nb()nN满足：11b=，1122nnnSbb+=，其中nS 为数列 nb的前 n 项和求数列 nb的通项公式；设 m 为正整数若存在“M 数列”nc()nN，对任意的正整数 k，当 k m 时，都有1kkkcbc+成立，求 m 的最大值【例20】（2019 浙江）设等差数列 na的前 n 项和为nS，34a=，43aS=，数列 nb满足：对每个nN，nnSb+，1nnSb+，2nnSb+成等比数列（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）记2nnnacb=，nN，证明：12+2ncccn+，nN 风

125、里雨里，七哥课上等你 -67-高中数学知识清单 考试要求命题走向平面向量的运算1平面向量的实际背景及基本概念；通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；2向量的线性运算；通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义3平面向量的基本定理及坐标表示；了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的

126、数量积比较出题量较小以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等此类题难度不大，分值 59 分预测高考：（1）题型可能为 1 道选择题或 1 道填空题；（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题平面向量的数量积1平面向量的数量积；通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个

127、平面向量的垂直关系2向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值 59 分平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主预测高考：（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量

128、的运算和性质；第五章 平面向量 高考导航 风里雨里，七哥课上等你 -68-高中数学知识清单 第一节 平面向量概念及线性运算一、向量的有关概念1、向量既有大小又有方向的量向量一般用 a，b，c，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法，a；坐标表示法(),xyx y=+aij=向量的大小即向量的模（长度），记作AB 或 a 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小2、零向长度为 0 的向量，记为 0（注意与 0 的区别），其方向是任意的，0 与任意向量平行，向量0=0aa由于 0 的方向是任意的，且规定 0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“

129、非零向量”这个条件3、单位向量模为 1 个单位长度的向量，向量0a 为单位向量01=a4、平行向量方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作 ab 由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的5、相等向量长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同()()1211

130、2212,xxx yxyyy=二、向量的线性运算1、向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设 AB=a，BC=b，则ABBCAC+=+=ab规定：（1）+=+00aaa；（2）向量加法满足交换律与结合律；2、向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量

131、是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ 风里雨里，七哥课上等你 -69-高中数学知识清单，但这时必须“首尾相连”3、向量的减法 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量记作 a，零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：（i）()=aa；（ii）()()+=+=0aaaa；（iii）若 a，b 互为相反向量，则=ab，=ba，+=0ab向量减法向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差，记作：()=+abab 求两个向量差的运算，叫向量的减法作图法：ab 可以表示为从 b 的终点指向

132、a 的终点的向量（a，b 有共同起点）4、实数与向量的积实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它的长度与方向规定如下：（）=aa；（）当时，a 的方向与 a 的方向相同；当时，a 的方向与 a 的方向相反；当时，=0a，方向是任意的数乘向量满足交换律、结合律与分配律5、两个向量共线定理向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得=ba ABBCCDPQQRAR+=0 0 0=风里雨里，七哥课上等你 -70-高中数学知识清单 第二节 平面向量基本定理及坐标运算一、平面向量的基本定理如果1e，2e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数1，2，

133、使：1 12 2=+aee，其中不共线的向量1e，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二、平面向量的坐标表示1、平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a 可表示成xy=+aij，由于 a 与数对(),x y 是一一对应的，因此把(),x y 叫做向量 a 的坐标，记作(),x y=a，其中 x 叫作 a 在轴上的坐标，叫作 a 在轴上的坐标规定：（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系2、平面向量

134、的坐标运算若()11,x y=a，()22,xy=b，则()1212,xxyy=ab；若()11,A x y，()22,B xy，则；若(),x y=a，则(),xy=a；若()11,x y=a，()22,xy=b，则12210 x yx y=abxyxyy()2121,ABxx yy=风里雨里，七哥课上等你 -71-高中数学知识清单 第三节 平面向量的数量积一、向量的数量积1、两个非零向量的夹角已知非零向量 a 与 b，作OA=a，OB=b，则AOB=（0）叫 a 与 b 的夹角说明：（1）当0=时，a 与 b 同向；（2）当=时，a 与 b 反向；（3）当2=时，a 与 b 垂直，记ab；

135、（4）注意两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围 02、数量积的概念已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为，则cosa b=a b叫做 a 与 b 的数量积（或内积）规定0=0 a；向量的投影：cos=a bba，称为向量 b 在 a 方向上的投影投影的绝对值称为射影3、数量积的几何意义：a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4、向量数量积的性质向量的模与平方的关系：22=a aaa乘法公式成立()()2222+=abababab；()2222222+=+=abaa bbaa bb；平面向量数量积的运算律交换律成立：=a bb a；对实数的结合律成立：()()()

136、=aba bab（R）；分配律成立：()()=abca cb ccab 向量的夹角：1 21222221122coscos,x xy yxyxy+=+a ba ba b当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时，0=，当且仅当 a 与 b 反方向时=，同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题5、两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量()11,x y=a，()22,xy=b，则1 212x xy y=+a b6、垂直：如果 a 与 b 的夹角为则称 a 与 b 垂直，记作ab 两个非零向量垂直的充要条件：1 21200 x xy y=+=aba b二、平面内两点间的距离公式设(),x y

137、=a，则222xy=+a或22xy=+a如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为()11,x y、()22,xy，那么90风里雨里，七哥课上等你 -72-高中数学知识清单()()221212xxyy=+a（平面内两点间的距离公式）风里雨里，七哥课上等你 -73-高中数学知识清单 一、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定；（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b；今后要学到两个向量的外积ab，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；（3）在实数中，若

138、，且，则；但是在数量积中，若0a，且0=a b，不能推出=0b，因为其中有可能为；（4）已知实数 a，b，c（0b），若 abcb=，则 ac=但是=a bc b，不能得到=ac；（5）在实数中，有()()a bcab c=，但是()()a bcab c，显然，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与 c 不共线二、平面向量数量积的运算律（1）结合律不成立：()()a bcab c；（2）消去律不成立：=a bc b 不能得到=ac；（3）0=a b不能得到=0a或=0b三、向量数量积的应用向量知识，向量观点在数学物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有

139、代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视 数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直；四、向量中的数学方法数形结合的思想方法由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识化归转化的思想方法向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式2=a aa，沟通了向量与实数间的转化关系；一

140、些实际问题也可以运用向量知识去解决分类讨论的思想方法如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量 a 在 b方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点 P 的位置不同，可以大于零，也可以小于零cos0a 0ab=0b=cos0要点解析 风里雨里，七哥课上等你 -74-高中数学知识清单【例1】（2017 全国）已知向量 a，b 的夹角为 60，2=a，1=b，则2+=ab_【例2】（2018 全国）在ABC中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 EB=（）A 3144ABACB 1344ABAC

141、C 3144ABAC+D 1344ABAC+【例3】（2018 全国）已知向量 a，b 满足|1=a，1=a b，则()2aa-b=（）A4B3C2D0【例4】（2018 全国）已知向量()1,2=a，()2,2=b，()1,=c若()2+cab，则 =_【例5】（2018 天津）如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，120BAD=，1ABAD=若点 E 为边 CD 上的动点，则 AE BE的最小值为（）A 2116 32C 2516D 3【例6】（2018 浙江）已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 3，向量 b满足2430=+be b

142、，则|ab 的最小值是（）A31B31+C2D 23高考特训 风里雨里，七哥课上等你 -75-高中数学知识清单【例7】（2019 全国 I）已知非零向量 a，b 满足2=ab，且()ab b，则 a 与 b 的夹角为（）A 6B 3C 23 D 56【例8】（2019 全国 III）已知 a，b 为单位向量，且0=a b，若25=cab，则 cos,=a c_风里雨里，七哥课上等你 -76-高中数学知识清单 考试要求命题走向直线方程1在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；2理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3

143、根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；4回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程预测对本讲的考察是：（1）2 道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程第六章 解析几何 高考导航 风里雨里，七哥课上等你 -

144、77-高中数学知识清单 直线与圆1能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；3能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；4能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；5在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识预测对本讲的考察是：（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；（2

145、）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力圆锥曲线1了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质4通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；5掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有 23 道

146、客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法风里雨里，七哥课上等你 -78-高中数学知识清单 曲线方程1由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3了解圆锥曲线的简单应用近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以压轴题形式出现，主要考察学生逻

147、辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计 2018 年高考对本讲的考察，仍将以以下两类题型为主1求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系风里雨里，七哥课上等你 -79-高中数学知识清单 第一节 直线方程及位置关系一、直线方程1、直线的倾斜角一条直线

148、向上的方向与轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为)0,2、直线的斜率当直线的倾斜角不是 90 时，则称其正切值为该直线的斜率，即tank=；当直线的倾斜角等于 90 时，直线的斜率不存在过两点()11,P x y，()22,P xy（12xx）的直线的斜率公式：2121tanyykxx=（若12xx=，则直线1 2PP 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 90）3、直线方程的五种形式名称方程说明适用条件斜截式ykxb=+k 斜率b 纵截距倾斜角为 90 的直线不能用此式点斜式()00yyk xx=()00,xy直线上已知点，k 斜率倾斜角为 90 的直线不能用此式两点式112121

149、yyxxyyxx=()11,x y，()22,xy是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式1xyab+=a 直线的横截距b 直线的纵截距过()0,0 及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式0AxByC+=AB，CA，CB分别为斜率、横截距和纵截距AB、不能同时为零注意：直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于 x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线4、中点坐标求法若点1p，2p 的坐标分别为()11,x y，()22,xy，线段12p p 的中点 M 的坐标为()00,xy，则12012022xxxyyy

150、+=+=二、两条直线的位置关系1、两条直线平行对于两条不重合的直线 1l，2l，其斜率分别为1k，2k，则有 1212llkk=，特别地，当直线 1l，2llx知识精讲 风里雨里，七哥课上等你 -80-高中数学知识清单 的斜率都不存在时，1l，2l 的关系为平行2、两条直线垂直对于两条不重合的直线 1l，2l，其斜率分别为1k，2k，则有 121 21llk k=，特别地，如果 1l，2l中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时，1l，2l 的关系为垂直三、两条直线相交交点：直线 1l：1110A xB yC+=和 2l：2220A xB yC+=的公共点的坐标与方程组111222

151、00A xB yCA xB yC+=+=的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解四、三种距离公式（1）平面上的两点()111,P x y，()222,Pxy间的距离公式22121212|()()PPxxyy=+，特别地，原点()0,0O与任一点(),P x y 的距离22|OPxy=+（2）点()000,Pxy到直线:0l AxByC+=的距离0022AxByCdAB+=+（3）两条平行线 1l：1110A xB yC+=与 2l：2220A xB yC+=间的距离为1222|CCdAB=+第二节 圆的方程及位置关系一、圆的方程圆心为，半径为

152、 r 的圆的标准方程为：特殊地，当时，圆心在原点的圆的方程为：圆的一般方程，圆心为点，半径，其中二元二次方程，表示圆的方程的充要条件是：、项项的系数相同且不为 0，即；、没有项，即；、二、直线与圆的位置关系1、根据圆心到直线的距离判断位置关系直线与圆的位置关系有三种（1）若，；（2）；（3）2、根据直线与圆的方程判断位置关系(,)C a b222()()xaxbr+=0ab=222xyr+=22+0 xyDxEyF+=(,)22DE2242DEFr+=2240DEF+220AxBxyCyDxEyF+=2x2y0AC=xy0B=2240DEAF+0AxByC+=222()()xaybr+=22A

153、aBbCdAB+=+0dr 相离0dr=相切0dr 相交风里雨里，七哥课上等你 -81-高中数学知识清单 联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有 2 个公共解时（直线与圆有 2 个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有 1 个公共解时（直线与圆只有 1 个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心 C 到直线 l 的距离为 d，则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=r0；相交d0；相离drxx能被b整除是输出a结束b=2输入正整数x开始否高考特训 风里雨里，七哥课上

154、等你 -148-高中数学知识清单【例3】（2018 北京）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（）A 12B 56C 76D 712【例4】（2018 江苏）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为_风里雨里，七哥课上等你 -149-高中数学知识清单【例5】（2018 全国）为计算11111123499100S=+，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A1ii=+B2ii=+C3ii=+D4ii=+【例6】（2018 天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为（）A1B2C3D4开始0,0NT=SNT=S输出1i=10

155、0i 1NNi=+11TTi=+结束是否风里雨里，七哥课上等你 -150-高中数学知识清单【例7】（2019 全国 I）如图是求112122+的程序框图，图中空白框中应填入（）A12AA=+B12AA=+C112AA=+D112AA=+【例8】（2019 全国）执行下边的程序框图，如果输入的 为 0.01，则输出 s 的值等于（）A4122B5122C6122D7122风里雨里，七哥课上等你 -151-高中数学知识清单【例9】（2019 江苏）下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是_开始x1，S0 xx+1SS+结束输出Sx4YN2x 风里雨里，七哥课上等你 -152-高中数学知识清单 考

156、试要求命题走向坐标系1了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化坐标系与参数方程是高中数学课程中的选修内容，本章的重点是极坐标、参数方程的几何意义以及与直角坐标的转化关系预测高考对本章的考察是：以解答题的形式出现，作为选做题，与不等式二选一，分值在 10 分参数方程1了解参数方程，了解参数的意义；2能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程第一节 极坐标与参数方程一、极坐标 1、极坐标系的概念 在平面上取一个定点叫做极点；自点引一条射线 Ox 叫做极轴；再选定

157、一个长度单位、角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系（如图）设是平面上的任一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为有序数对称为点的极坐标，记作 2、直角坐标与极坐标的互化 OOMOMOMM；OxOMxOMM()，M()M，第十二章 坐标系与参数方程 高考导航 知识精讲 风里雨里，七哥课上等你 -153-高中数学知识清单 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设 M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为和，则或 3、直线的极坐标方程 若直线过点，且极轴

158、到此直线的角为，则它的方程为：几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点：和；（2）直线过点且垂直于极轴：（3）直线过,2M b 且平行于极轴：sinb=4、圆的极坐标方程 若圆心为，半径为 r 的圆方程为()2220002cos0r+=几个特殊位置的圆的极坐标方程如下：（1）当圆心位于极点，半径为（2）当圆心位于，半径为（3）当圆心位于,2M a，半径为 二、参数方程 1、参数方程的意义 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标 x，y 都是某个变量的函数并且对于 的每个允许值，由方程组所确定的点都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数的变数 是参变数，简称参数相对于参数

159、方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 2、常见曲线的参数方程的一般形式（1）经过点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）（2）圆的参数方程（为参数）（3）圆锥曲线的参数方程 椭圆的参数方程为（为参数）双曲线22221xyab=的参数方程为sectanxayb=（为参数）抛物线的参数方程为（为参数）()xy，()，cossinxy=222tan(0)xyy xx=+=00()M，00()()sinsin =0=0=(),0M acosa=；00()M，rr=：；(),0M a2 cosaa=：；2 sin.aa=：()()xf tyf t=t()M xy，xy，t000()P xy

160、，00cossinxxtyyt=+=+tcossinxryr=22221xyab+=cossinxayb=22ypx=222xptypt=t风里雨里，七哥课上等你 -154-高中数学知识清单【例1】（2017全国）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为3cossinxy=（为参数），直线l的参数方程为41xatyt=+=（t 为参数）（1）若1a=，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17，求 a【例2】（2017全国）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos4=（1）M 为曲线1

161、C 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足16OMOP=，求点 P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为2,3，点 B 在曲线2C 上，求OAB面积的最大值高考特训 风里雨里，七哥课上等你 -155-高中数学知识清单【例3】（2018 北京）在极坐标系中，直线()cossin0a a+=与圆=2cos 相切，则 a=_【例4】（2018 江苏）在极坐标系中，直线 l 的方程为sin()26=，曲线 C 的方程为4cos=，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长【例5】（2018 全国）在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的方程为|2yk x=+以坐标原点为极点，x 轴正半轴为

162、极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22 cos30+=（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程 【例6】（2018 全国）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2cos4sinxy=，（为参数），直线l 的参数方程为1cos2sinxtyt=+=+，（t 为参数）（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率【例7】（2018 全国）在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程xOyOc

163、ossinxy=，()02，lOAB，ABP风里雨里，七哥课上等你 -156-高中数学知识清单【例8】（2019 全国）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2221141txttyt=+=+（t 为参数）以坐标原 点 O 为 极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为2 cos3 sin110+=（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值【例9】（2019 全国）在极坐标系中，O 为极点，点()00,M （00）在曲线:4sinC=上，直线 l 过点()4,0A且与 OM 垂直，垂足

164、为 P（1）当03=时，求0 及 l 的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程【例10】（2019 全国）如图，在极坐标系 Ox 中，()2,0A，2,4B，2,4C，()2,D，弧 AB，BC，CD 所在圆的圆心分别是()1,0，1,2，()1,，曲线1M 是弧 AB，曲线2M 是弧 BC，曲线3M 是弧 CD（1）分别写出1M，2M，3M 的极坐标方程；（2）曲线 M 由1M，2M，3M 构成，若点 P 在 M 上，且3OP=，求 P 的极坐标 风里雨里，七哥课上等你 -157-高中数学知识清单 参考答案 第一章 集合与简易逻辑第二章

165、 函数1、【答案】D2、【答案】C3、【答案】C4、【答案】C5、【答案】（1）=1a；（2）略6、【答案】B7、【答案】B8、【答案】8；11 9、【答案】D 10、【答案】3 32 11、【答案】（1）当2a时，()f x在()0,+上为减函数，2a 时，()f x在240,2aa和24,2aa+上为减函数，2244,22aaaa+上为增函数；（2）略12、【答案】（1）略；（2）16a=13、【答案】（1）略；（2）略14、【答案】B15、【答案】3yx=16、【答案】B17、【答案】318、【答案】D19、【答案】C20、【答案】17xx21、【答案】()e,1题号12345678答案

166、ACBBCCCA题号9101112131415答案CACAACA风里雨里，七哥课上等你 -158-高中数学知识清单 22、【答案】12,3423、【答案】C24、【答案】4325、【答案】（1）略；（2）略26、【答案】（1）()f x 在()0,1 和()1,+上单调递增，证明略；（2）略27、【答案】（1）0a=时，()f x 在(),+上单调递增；0a 时，()f x 在(),0和,3a+上单调递增，在 0,3a上单调递减；0a 时，()f x 在,3a和()0,+上单调递增，在 0,3a上单调递减；（2）存在，01ab=或41ab=28、【答案】（1）2a=；（2）()f x 在1x=

167、时取极小值()132f=；（3）略29、【答案】（1）()f x 的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+；（2）20,4第三章 三角函数1、【答案】D2、【答案】13、【答案】D4、【答案】（1）1517；（2）25、【答案】B6、【答案】A7、【答案】128、【答案】A9、【答案】（1）217；（2）310、【答案】911、【答案】（1）235；（2）512、【答案】40 213、【答案】（1）725；（2）211风里雨里，七哥课上等你 -159-高中数学知识清单 14、【答案】（1）45；（2）5665或 166515、【答案】C16、【答案】A17、【答案】B18、【答案】

168、6 319、【答案】D20、【答案】21021、【答案】（1）12 25；（2）7 21022、【答案】（1）3；（2）624+23、【答案】（1）3；（2）33,8224、【答案】（1）33；（2）2 5525、【答案】（1）2 或 32；（2）331,122+第四章 数列1、【答案】C2、【答案】21nn+3、【答案】A4、【答案】（1）12nnb=，*nN；（2）36S=或 215、【答案】B6、【答案】637、【答案】B8、【答案】279、【答案】（1）12nna=或()12nna=，*nN；（2）610、【答案】（1）29nan=；（2）4n=时，nS 取得最小值 1611、【答案】

169、（1）2q=；（2）()2115432nnbn=+12、【答案】A13、【答案】121314、【答案】C风里雨里，七哥课上等你 -160-高中数学知识清单 15、【答案】416、【答案】1617、【答案】A18、【答案】（1）略；（2）1122nnan=+，1122nnbn=+19、【答案】（1）略；（2）520、【答案】（1）22nan=，2nbnn=+；（2）略第五章 平面向量1、【答案】2 32、【答案】A3、【答案】B4、【答案】125、【答案】A6、【答案】A7、【答案】B8、【答案】23第六章 解析几何1、【答案】A2、【答案】A3、【答案】B4、【答案】（1）略；（2）l：2yx

170、=，M：()()223110 xy+=5、【答案】（1）222xy+=；（2）略6、【答案】A7、【答案】128、【答案】D9、【答案】31；210、【答案】511、【答案】（1）C：2214xy+=；O：223xy+=；（2）()2,1P；l：53 2yx=+12、【答案】（1）222yx=+或222yx=；（2）略13、【答案】（1）略；（2）略14、【答案】（1）22194xy+=；（2）12或 1128风里雨里，七哥课上等你 -161-高中数学知识清单 15、【答案】216、【答案】B17、【答案】A18、【答案】C19、【答案】C20、【答案】B21、【答案】D22、【答案】（1）(

171、)()(),33,00,1；（2）略23、【答案】（1）1yx=；（2）()()223216xy+=或()()22116144xy+=24、【答案】D25、【答案】226、【答案】（1）略；（2）15 106 2,427、【答案】B28、【答案】229、【答案】（1）3728yx=；（2）4 133AB=30、【答案】D31、【答案】A32、【答案】（1）C：()221042xyy+=，C 是焦点在 x 轴上不含长轴端点的椭圆；（2）（i）略；（ii）16933、【答案】A34、【答案】()3,1535、【答案】（1）定点为10,2；（2）3 或 4 236、【答案】1537、【答案】2yx=

172、38、【答案】（1）C：22143xy+=；（2）31,2E 39、【答案】（1）2p=，准线方程1x=；（2）最小值312+，此时()2,0G第七章 立体几何1、【答案】B2、【答案】（1）略；（2）333、【答案】（1）略；（2）105风里雨里，七哥课上等你 -162-高中数学知识清单 4、【答案】C5、【答案】436、【答案】B7、【答案】A8、【答案】112 9、【答案】C 10、【答案】（1）略；（2）略11、【答案】（1）略；（2）2121；（3）略12、【答案】（1）3 1020；（2）5513、【答案】A14、【答案】（1）略；（2）3415、【答案】C16、【答案】（1）略；

173、（2）3417、【答案】B18、【答案】（1）略；（2）2 5519、【答案】（1）略；（2）1010；（3）3320、【答案】D21、【答案】（1）略；（2）391322、【答案】D23、【答案】（1）略；（2）10524、【答案】B25、【答案】（1）略；（2）3226、【答案】B27、【答案】B28、【答案】（1）略；（2）3529、【答案】1030、【答案】（1）略；（2）略 风里雨里，七哥课上等你 -163-高中数学知识清单 第八章 概率与统计1、【答案】C2、【答案】D3、【答案】（1）0.18r=，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；（2）（i）9.

174、97,0.212xs=，有样本数据可以看出抽取的第 13 个零件的尺寸在()3,3xs xs+以外，因此需要进行检查；（ii）平均值的估计值为10.02，标准差的估计值为0.0080.094、【答案】905、【答案】A6、【答案】3107、【答案】A 8、【答案】16 9、【答案】C10、【答案】（1）226.1 亿元；256.5 亿元；（2）更可靠，理由略11、【答案】1260 12、【答案】B 13、【答案】（1）00.1p=；（2）（i）490EX=；（ii）490400EX=，应该对余下产品进行检验14、【答案】（1）3，2，2 人；（2）（i）分布列略，()127E X=；（ii）(

175、)67P A=15、【答案】A16、【答案】0.18 17、【答案】（1）分布列略；（2）（i）略；（ii）410.0039257p=，实验方案合理18、【答案】0.9819、【答案】（1）0.5；（2）0.120、【答案】C21、【答案】A22、【答案】523、【答案】710第九章 不等式1、【答案】A2、【答案】13、【答案】54、【答案】14xx；()1,34,+5、【答案】66、【答案】97、【答案】C风里雨里，七哥课上等你 -164-高中数学知识清单 8、【答案】2，89、【答案】310、【答案】14第十章 数系的扩充第十一章 算法与程序框图 第十二章 坐标系与参数方程1、【答案】（

176、1）交点为()3,0 和21 24,25 25；（2）16a=或8a=2、【答案】（1）()()22240 xyx+=；（2）max23S=+3、【答案】12+4、【答案】2 35、【答案】（1）2C：()2214xy+=；（2）1C：423yx=+6、【答案】（1）C：221164yx+=；l：sincos2cossin0 xy+=；（2）27、【答案】（1）3,44；（2）2222121mxmmym=+=+（m 为参数，11m ）8、【答案】（1）2110 xy+=；（2）21 5109、【答案】（1）02 3=，l：cos23=；（2）4cos=，,4 2 10、【答案】（1）1M：2cos=（04）；2M：2sin=（44）；3M：2cos=（4）；题号 12345678答案 BDCDC2DD题号 9101112131415答案 4iBCCD222题号 123456789答案 BDB8BBAC2524风里雨里，七哥课上等你 -165-高中数学知识清单（2）3,6或3,3或3,3或3,6