2023届高考数学二轮复习 微专题32 可转化为二次函数的问题学案.docx

1、微专题32可转化为二次函数的问题二次函数是中学代数的基本内容之一，是最基本的初等函数，但其内涵丰富和外延广泛，很多数学问题都可以转化为二次函数问题，解决此类问题的关键是将原问题转化为等价的二次函数问题，从而研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系.例题：已知函数f(x)log4(4x1)kx(kR)是偶函数(1)求实数k的值；(2)设函数g(x)log4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围变式1已知函数f(x)4x24axa2(aR)，方程f(x)0在(1，2)上有实根，求实数a的取值范围变式2函数f(x)log2log

2、(2x)的最小值为_串讲1已知函数f(x)x2ax2b的两个零点分别在区间(0，1)，(1，2)内，则的取值范围是_串讲2已知函数f(x)x2|xa|1有大于0的零点，则实数a的取值范围是_(2018苏州二模)已知函数f(x)若存在实数abc，满足f(a)f(b)f(c)，则af(a)bf(b)cf(c)的最大值是_已知函数f(x)x22xa(aR)的最小值为0，记函数g(x).(1)若不等式g(2x)m2x10对任意x1，1都成立，求实数m的取值范围；(2)若关于x的方程g(|f(x)1|)k有六个不相等的实数根，求实数k的取值范围答案：(1)；(2).解析：(1)f(x)x22xa(x1)

3、2a1，即有x1时f(x)取最小值a1，令a10，解得a1；2分由已知可得g(x)x2，故不等式g(2x)m2x10对任意的x1，1都成立，可化为2x2m2x1对任意的x1，1都成立，5分即m对任意的x1，1都成立，令t，则问题转化为不等式m(t1)2对任意的t都成立，记h(t)(t1)2，则h(t)maxh，所以m的取值范围是.8分(2)当x0，2时，f(x)10，所以x0，2不是方程的解；当x0且x2时，令t|f(x)1|x22x|，则当x(，0)时，tx22x单调递减，且t(0，)，当x(0，1时，t2xx2单调递增，且t(0，1，当x(1，2)时，t2xx2单调递减，且t(0，1)，当

4、x(2，)时，tx22x单调递增，且t(0，)；12分故原方程有六个不相等的实数根可转化为t2(k2)t(2k1)014分有两个不相等的实数根t1，t2，其中0t11，t21，记(t)t2(k2)t(2k1)，则所以实数k的取值范围是._微专题32例题答案：(1)k；(2)3(1，)解析：(1)函数f(x)log4(4x1)kx(kR)是偶函数，f(x)log4(4x1)kxlog4kxlog4(14x)(k1)xlog4(14x)kxf(x)恒成立，(k1)k，则k.(2)g(x)log4，函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程f(x)g(x)只有一个解，由已知得log4(4

5、x1)xlog4，即log4log4，方程等价于即a2x，设t2x0，则(a1)t2at0有且只有一个正根，当a10时，则t，不合题意；当a10时，则0，得a或a3，()当a时，则t2，不合题意；()当a3时，则t，符合题意；若方程有一个正根与一个非负根，则0，得a1，综上所述，实数a的取值范围是3(1，)变式联想变式1答案：.解法1当f(1)f(2)0时，此时f(x)0在(1，2)上有且只有一个实根，得2a；当f(1)0时，即a2时，此时f(x)0有x1，舍去；当f(2)0时，即a时，此时f(x)0有x2或x，舍去；当时，此时f(x)0在(1，2)上有两个实根，无解；综上，实数a的取值范围为

6、.解法2方程即为a(4x1)4x22，因为1x2时4x10，于是a，令t4x1(3，7)，设y，即y，y0，所以y在t(3，7)上单调递增，y，所以实数a的取值范围为.说明：数形结合是一元二次方程根的分布的核心，变式2先对方程进行变形，然后再数形结合，这是处理一元二次方程根的分布问题的常用方法变式2答案：.解析：函数f(x)log2x(log22log2x)log2x(1log2x)，令tlog2xR，则yt(1t)，所以ymin.说明：变式1和2都运用了换元法，将原函数转化为二次函数问题，这是转化为二次函数问题的常见方法串讲激活串讲1答案：.解析：由题意，问题等价于其表示的区域如图所示，可看

7、作是可行域内的点到点(1，2)连线的斜率，点(1，2)与点(1，0)连线的斜率取得最大值1，然后绕点(1，2)顺时针旋转至(3，1)时，取得斜率的最小值，所以.串讲2答案：.解法1函数f(x)x2|xa|1有大于0的零点，即x2|xa|10有大于0的根，方程|xa|1x2在(0，)上有解，方程xa(1x2)在(0，1上有解，即ax2x1或ax2x1在(0，1上有解，记g(x)x2x1(0x1)，则g(x)，即a；记h(x)x2x1(0x1)，则h(x)(1，1，即a(1，1，综上，1a.解法2函数f(x)x2|xa|1有大于0的零点，即x2|xa|10有大于0的根，即|xa|1x2有横坐标大于0的交点记g(x)|xa|，h(x)1x2，图象关系如图所示，可知1a时满足题意新题在线答案：2e212.解析：画出函数f(x)的图象，可知a3，3b0，ab6，ce2，由f(a)f(b)f(c)知af(a)bf(b)cf(c)(abc)f(c)(c6)f(c)，设g(c)(c6)f(c)，ce2，利用导数求得g(c)maxg(e2)2e212，所以，af(a)bf(b)cf(c)的最大值是2e212.