2023年中考数学高频考点突破-圆的综合题.docx

1、2023年中考数学高频考点突破-圆的综合题1数学课上，王老师画好图后并出示如下内容：“已知：AB为O的直径，O过AC的中点D，DE为O的切线。”（1）王老师要求同学们根据已知条件，在不添加线段与标注字母的前提下，写出三个正确的结论，并选择其中一个加以证明。（2）王老师说：如果添加条件“DE=1，tanC=12 “则能求出O的直径，请你写出求解过程。2如图，已知以BC为斜边的RtABC内接于O，BAC的平分线交O于点D，过点D作DEBC交AB的延长线于点E，连接DB，DC（1）求证：ED为O的切线；（2）求证：BC2=2EDFC；（3）若tanABC=2，AD=322，求BC的长3如图，O是等边

2、ABC的外接圆，M是BC延长线上一点，连接AM交O于点D，延长BD至点N，使得BN=AM，连接CN，MN （1）判断CMN的形状，并证明你的结论； （2）求证：CN是O的切线； （3）若等边ABC的边长是2，求ADAM的值 4如图所示，AB是O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CDAB于点D，CD交AE于点F，过C作CGAE交BA的延长线于点G（1）求证：CG是O的切线 （2）求证：AF=CF（3）若EAB=30，CF=2，求GA的长5如图，在O中，弦CD垂直直径AB于点E.已知AC4，DB2.（1）求直径AB的长.（2）小慧说“若将题目条件中的直径AB改为弦AB，其余条件均不变（如

3、图），O的直径仍不变”，你觉得小慧的说法正确吗？请说明理由.6已知O经过四边形ABCD的B、D两点，并与四条边分别交于点E、F、G、H，且 EF=GH （1）如图，连接BD，若BD是O的直径，求证：AC；（2）如图，若 EF 的度数为，A，C，请直接写出、和之间的数量关系 7如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，C90，以AD为直径的O与BC相切于点E，交CD于点F，连接DE.（1）证明：DE平分ADC； （2）已知AD4，设CD的长为x（2x4）.当x2.5时，求弦DE的长度；当x为何值时，DFFC的值最大？最大值是多少？8如图，AB是O的直径，弦DE垂直平分半径OB，垂足为M，DE=4，连

4、接AD，过E作AD平行线交AB延长线于点C.（1）求O的半径； （2）求证：CE是O的切线； （3）若弦DF与直径AB交于点N，当DNB=30时，求图中阴影部分的面积. 9已知：如图，AB是O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且ACPC，PB的延长线交O于D求证：ACDC10已知CD为RtABC斜边AB上的高，以CD为直径的圆交BC于E点，交AC于F点，G为BD的中点。（1）求证：GE为O的切线；（2）若tanB=21，GE=5，求AD的长。11如图，四边形ABCD中，BD，ABCD，AB与DC不平行，过点A作 AEDC ，交ABC的外接圆O于点E，连接CE、OA （1）求证：四边形AD

5、CE为平行四边形；（2）求证：AO平分BAE12如图，在RtABC中，ACB=90，AC=8cm，BC=6cm，点M是边AB的中点，连结CM，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿CB运动到点B停止，以PC为边作正方形PCDE，点D落在线段AC上设点P的运动时间为t（s） （1）当t= 时，点E落在MBC的边上； （2）以E为圆心，1cm为半径作圆E，则当t= 时，圆E与直线AB或直线CM相切 13在圆O中，点A，B，C均在O上，请仅用无刻度直尺按要求画图：（1）在图1中，以点C为顶点作一锐角，使该锐角与CAB互余；（2）在图2中，弦ADBC且ADBC，过点A作一直线将ABC的面积平分14如图1

6、，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），AB=6cm ，过点C作 CDAB 交半圆于点D，连结AD，过点C作 CE/AD 交半圆于点E，连结EB.牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系.他根据学习函数的经验，记 AC=xcm ， EC=y1cm ， EB=y2cm .请你一起参与探究函数 y1 、 y2 随自变量x变化的规律. 通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象.x0.300.801.602.403.204.004.805.60y12.012.983.463.332.832.111.270.38y25.60

7、4.953.952.962.061.240.570.10（1）当 x=3 时， y1 .（2）在图2中画出函数 y2 的图象，并结合图象判断函数值 y1 与 y2 的大小关系.（3）由（2）知“AC取某值时，有 EC=EB ”.如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程.15如图，O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F（1）若EF时，求证：ADCABC；（2）若EF42时，求A的度数；（3）若E，F，且请你用含有、的代数式表示A的大小16如图，AB是O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足MCACBA.（1）求证：直线MN是O的切

8、线； （2）过点A作ADMN于点D，交O于点E，已知AB6，BC3，求阴影部分的面积. 答案解析部分1【答案】（1）正确的结论可以是： A=C； AB=CB； ABC是等腰三角形； DEBC； DC=CECB等选择结论“DE上BC”进行证明。证明：连结BDAB为O的直径，ADB=90，又D为AC的中点，ABDCBD(SAS)ABC是等腰三角形。A=CDE切O于点D，A=BDE，BDE=C而BDE+ED C=90，EDC+C=90，DEC=90，即DEBC。（2）由(1) 知，在RtDEC中， DE=1，tanC= 12 ，EC=2，由勾股定理得：DC= DE2+EC2=5AD=DC= 5tan

9、A=tanC= 12 ，tanA= BDAD=BD5=12 ，BD= 52AB= BD2+AD2=(52)2+(5)2=52O的直径为 52【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合图形，写出正确的结论；连结BD，利用圆周角定理可得到ADB=90，再利用SAS证明ABDCBD，利用全等三角形的性质可推出ABC是等腰三角形，就可得到A=C；然后证明DEC=90，就可证得结论。（2） 在RtDEC中，利用解直角三角形求出EC的长，利用勾股定理求出DC的长，从而可求出AD的长；再利用解直角三角形求出BD的长，然后利用勾股定理求出AB的长。2【答案】（1）证明：如图，连接ODBC为O

10、的直径，BAC=90AD平分BAC，BD=CDODBC DEBC，ODED ED为O的切线（2）证明：由（1）可得BCD为等腰直角三角形DEBC，E=ABC=ADC，BDE=DBC=DCB=45BEDFDC BDDE=FCCD即BD2=DEFC 又BC=2BD，BC2=2EDFC（3）解：如图，过点D作DGAD交AC的延长线于点GCDG+ADC=90，DGC=DAG=45又ADB+ADC=90，ADB=GDCDB=DC，BAD=DGC=45，ABDGCD AB=CG，AD=DGADG为等腰直角三角形，AB+AC=AG=2AD=3 tanABC=2，设AB=x，则AC=2x3x=3，x=1即AB

11、=1，AC=2BC=5【知识点】切线的判定；圆的综合题【解析】【分析】（1）先证明ODBC，再结合DEBC可得ODED，即可得到ED为O的切线； （2）先证明BEDFDC可得BDDE=FCCD，即BD2=DEFC，再结合BC=2BD，即可得到BC2=2EDFC； （3）过点D作DGAD交AC的延长线于点G，先证明ADG为等腰直角三角形，可得AB+AC=AG=2AD=3，再结合tanABC=2，设AB=x，则AC=2x，列出方程3x=3，求出x的值，即可得到BC=5。3【答案】（1）解：CMN为等边三角形理由如下： ABC为等边三角形，CB=CA，ABC=ACB=60，在BCN和ACM中BC=A

12、CCBN=CAMBN=AM ，BCNACM，CN=CM，BCN=ACM，ACB+ACN=ACN+MCN，MCN=ACB=60，CMN为等边三角形（2）证明：连接OC，如图， CA=CB，CA = CB ，OCAB，ABC=MCN=60，ABCN，OCCN，CN是O的切线（3）解：连接CD，如图， ADC+ABC=180，ACM+ACB=180，而ABC=ACB=60，ADC=ACM，而DAC=CAM，ACDAMC，AC：AD=AM：AC，ADAM=AC2，等边ABC的边长是2，AC=2，ADDM=4【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质得到CB=CA，ABC=ACB=6

13、0，再证明BCNACM得到CN=CM，BCN=ACM，则MCN=ACB=60，于是可判断CMN为等边三角形；（2）连接OC，如图，利用CA=CB得到 CA = CB ，则根据垂径定理的推论得到OCAB，再证明ABCN，则OCCN，然后根据切线的判定方法可判断CN是O的切线；（3）连接CD，如图，证明ACDAMC，利用相似比得到ADAM=AC2，然后利用等边ABC的边长是2可得到ADDM的值 4【答案】（1） 证明：连结OC，如图，C是劣弧AE的中点，OCAE，CGAE，CGOC，OC是半径CG是O的切线； （2）证明：连结AC、BC，AB是O的直径，ACB=90，2+BCD=90，CDAB，B

14、+BCD=90，B=2，C是劣弧AE的中点，AC=CE，1=B，1=2，AF=CF； （3） 在RtADF中，DAF=30，FA=FC=2，DF=12AF=1，AD=AF2DF2=2212=3，AFCG，DA：AG=DF：CF，即3：AG=1：2，AG=23. 【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理可证得OCAE，再由CGAE，易证CGOC，然后根据切线的判定定理即可得到结论。（2）连结AC、BC，根据圆周角定理及垂直饿定义可证得ACB=90，CDB=90，再根据等角的余角相等可得到B=2，由C是劣弧AE的中点，利用等弧所对的圆周角相等，可证得1

15、=B，从而可证得1=2，然后根据等角对等边可证得结论。（3）在RtADF中，根据含30度的直角三角形三边的关系求出DF的长，再利用勾股定理求出AD，再由AFCG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF，然后代入就可求出AG的长。5【答案】（1）解：连接AD，如图所示： AB为直径，ADB90，弦CD垂直直径AB于点E，由垂径定理可知：ADAC4，在RtADB中，AB AD2+DB2=42+22=25（2）解：小慧的说法不正确，理由如下：因为若将题目条件中的“直径AB“改为“弦AB”，则不具备垂径定理条件，无法求出O直径，所以小慧说法不正确 【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆

16、的综合题【解析】【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理可得ADB=90，由垂径定理可得AD=AC=4，然后在 RtADB中 ，应用勾股定理求解即可；（2）根据垂径定理的条件判断即可.6【答案】（1）解：连接DF、DG BD是O的直径DFBDGB =90，EF=GHEDFHDG，DFBEDF+ADGBHDG+C，AC （2）解：连接DF，BH EF=GHADF=HBG= 12 又DFB=A+ADF，DHB=C+HBGDFB+DHB=A+ADF+C+HBG根据圆内接四边形对角互补，可得+ =180【知识点】圆的综合题【解析】【分析】 (1) 根据圆周角定理及同弧所对的圆周角相等，得到 EDFHDG

17、 ，然后利用外角的性质即可求证；(2) 利用外角性质及圆内接四边形对角互补即可得证。7【答案】（1）证明：如图，连接OE， BC是O的切线，OEBC，ABCD，C90，B90，ABBC，CDBC，ABOECD，OEDCDE，ODOE，OEDODE，ODECDE，ED平分ADC；（2）解：连接AF交OE于H， ABOECD，AOOD，BEEC，OE 12 （AB+CD），OE2，CD2.5，AB1.5，AD是O的直径，AFD90，BC9，四边形ABCF是矩形，AFBC，OEBC，OEAF，AHFH，ABCFHE1.5，OHOEEH0.5，AH AO2OH2 = 22(0.5)2 = 152 ，A

18、HFHCE 152 ，DE CD2+EC2 (52)2+(152)2 10 ；设ABCFm，OE 12 （AB+CD），x+m4，m4x，DFCF（4x）（2x4）2x2+12x162（x3）2+2，20，x3时，DFCF的值最大，最大值为2.【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）连接OE，根据已知可推出ABOECD，可得OEDCDE，再根据ODOE，可得OEDODE，即可证明；（2）连接AF交OE于H，由现有条件可推出AB1.5，然后可证四边形ABCF是矩形，可得AHFH，ABCFHE1.5，OHOEEH0.5，可得AH AO2OH2 = 22(0.5)2 = 152 ，根据勾股定理即可

19、得出答案；设ABCFm，根据OE 12 （AB+CD），可得x+m4，即可得DFCF的函数表达式，根据函数的性质即可得出答案.8【答案】（1）解：连接OE. DE垂直平分半径OB，OM= 12 OBOB=OE，OM= 12 OE，ME= 12 DE=2，OEM=30，OE= EMcos30 = 433（2）证明：由（1）知：BOE=60，弧BE， A= 12 BOE=30，ADE=60ADCE，CED=ADE=60，CEO=CED+OEM=60+30=90，OEEC，EC是O的切线（3）解：连接OF. DNB=30，DMA=90，MDN=60，EOF=2EDF=120，S阴影=S扇形EOF-S

20、EOF= 120（433）2360 - 433 = 169433 .【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）连接OE，根据垂径定理可得OM= 12 OB，ME= 12 DE=2，利用直角三角形的性质可得OEM=30，由cosOEM=cos30=EMOE，即可求出OE的长. （2）利用（1）条件可得BOE=60，根据垂径定理及圆周角定理可得出A=30，即得ADE=60，根据平行线的性质可得CED=ADE=60，从而求出CEO=90，根据切线的判定可证EC是O的切线.（3）连接OF，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得EOF的度数，由S阴影=S扇形EOF-SEOF，利

21、用扇形的面积公式及三角形的面积公式计算即可.9【答案】解：连接BC， AB是直径，BCAC，ACCP，ABBP，PA，AD，PBDC，CPDC，ACPC，ACDC【知识点】圆的综合题【解析】【分析】 连接BC， 利用直径所对的圆周角为直角，可得出 BCAC ，结合条件得出 PA ，由同弧所对的圆周角相等可得 AD 进而 PBDC，根据等角对等边可得结论。10【答案】（1）证明：连DE、OE， CD为OO的直径，CED=BED=90，G为BD的中点，GE=GD，GED=GDE，OE=OD，OED=ODE，GEO=GDO，CDAB，GEO=GDO=90，GE为O的切线；（2）解：CDAB， ACD

22、=90-A，BCA=90，B=90-A，B=ACD，tanB= 12=CDBD =tanDCA= ADCD=12BD=4AD，EG=5，BD=10，AD= 52【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1） 连DE、OE ，先利用圆周角定理证出 CED=BED=90 ，利用直角三角形斜边上的中线的性质证出GE=GD，进而证出GED=GDE；再利用圆的半径相等证出OED=ODE，从而可得GEO=GDO=90，从而得证；（2）先证出B=ACD，从而得tanDCA=tanB，进而得BD=4AD，然后利用直角三角形斜边上的中线的性质求出BD，即可求出结论。11【答案】（1）证明：由圆周角定理得，B=E，又

23、B=D， E=D， AEDC ， D+DAE=180，E+DAE=180， ADCE ， 四边形AECD为平行四边形；（2）作OMBA于M，ONAE于N， 四边形AECD为平行四边形， AE=CD，又AB=DC， AE=AB， 又OMBA，ONAE，AN=AM，而 ON2=OA2AN2，OM2=OA2AM2，OM=ON，AO平分BAE【知识点】平行四边形的判定；圆的综合题【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出 E+DAE=180， 等量代换得出 D+DAE=180， 根据平行线的判定定理得出 AEDC ， 由平行四边形的判定定理得出 四边形AECD为平行四边形；（2） 作OMBA于M，ON

24、AE于N， 根据平行四边形的性质得出 AE=CD， 求得 AE=AB， 根据垂径定理得出 AN=AM，即可得出结论。 12【答案】（1）247（2）197 ； 297 ；5【知识点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）如图1，四边形PCDE是正方形， DPAC，EPAC = BPBC ，即 t8 = CE2BC2 ，解得t= 247 ；（2）如图2，当点E在ABC的内部时，圆E与直线AB相切，EFAB，且EF=1时，连接AE、BE、CE，ACB=90，AC=8，BC=6，AB=10，12 ABEF+ 12ACDE + 12 BCEP= 12 ACBC，12 101+ 12 8t+ 12 6t=

25、 12 86，解得t= 197 ；如图3，当点E在ABC的外部时，圆E与直线AB相切，EGAB，且EG=1时，EGH=BPH，EHG=BHP，GEH=PBH，cosGEH=cosABC= BCAB = 35 ，又EG=1，EH= 53 ，HPAC = BPBC ，HP= 244t3 ，则 53 + 244t3 =t，解得t= 297 ；如图4，当圆E与直线CM相切时，EN=1，作MRBC，则MR= 12 BC=3，CR= 12 AC=4，点M是边AB的中点，CM= 12 AB=5，tanACM= MRRC = 34 ，QRCD = 34 ，CD=t，则QD= 34 t，EQ= 14 t，NEQ

26、=ACM，ENEQ = 114t = 45 ，解得t=5【分析】（1）根据DPAC得到成比例线段，代入计算即可；（2）分点E在ABC的内部、点E在ABC的外部与AB相切和圆与CM相切三种情况进行分析，运用三角形的面积和锐角三角函数的概念进行解答即可13【答案】（1）解：如图1，BCE为所作；理由：CB=CBCAB=BEC，CE是直径，BEC+BCE=90，BCE+CAB=90，BCE与CAB互余；（2）解：如图2，直线AF为所作理由：ADBC，C=DCB，AC=AC，B=D，DCB=B，JF垂直平分BC，则AF是ABC的中线，AF将ABC的面积平分【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆的综合题【解

27、析】【分析】（1）根据CB=CB，可得CAB=BEC，再结合BEC+BCE=90，可得BCE+CAB=90，从而可得 BCE与CAB互余；（2）根据要求作出图形即可。14【答案】（1）3（2）解：函数y2的图象如图2所示，过两图象的交点M作x轴的垂线，垂足为N，则垂足N表示的数 x2 . 从图象可以看出：当 x2 时， y1=y2 ；当0x2时， y12时， y1y2（3）解：如图3，连结OD，过点E作 EHAB 于点H. 由（2）的初步判断，当 x2 时， y1=y2 ，即EC=EB.不妨取AC=x=2，此时， OC=1 ， OD=3 .DCAB ，在 RtODC 中，CD=OD2OC2=3

28、212=22 .设 OH=m ，则 CH=1+m ， EH=OE2OH2=32m2=9m2 .ADCE，DAC=ECO.又 DCA=EHC=90 ，DACECH .DCAC=EHCH .222=9m21+m .9m2=2(1+m) .两边平方并整理得， 3m2+4m7=0 .解得， m1=1，m2=73 （不合题意，舍去）.OH=m=1.HC=OH+OC=1+1=2， EH=9m2=912=22 .EC=CH2+EH2=22+(22)2=12=23 .又HB=OB-OH=3-1=2，EB=BH2+EH2=22+(22)2=12=23 .EC=EB.通过以上计算可知，当取AC=2时，（2）中的结

29、论EC=EB成立.【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：（1）当x=3时，动点C与圆心O重合，此时，y1=OE=3.故答案为：3【分析】（1）当x=3时，动点C与圆心O重合，即可求出OE（y1）的值.（2）过点M作MNx轴于点N，可得到点M的横坐标约等于2，分情况讨论：当 x2 时;当0x2时， 利用函数图象，可得到y1与y2的大小关系.（3）连结OD，过点E作 EHAB 于点H，利用（2）的判断可知EC=BE，取AC=x=2，此时，可求出OC，OD的长；利用勾股定理求出CD的长，设OH=m，可表示出CH的长，利用勾股定理表示出EH的长；再证明DACECH，利用相似三

30、角形的性质可建立关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值；由此可求出HC，EH的长；然后利用勾股定理求出EC的长及EB的长，由此可证得结论.15【答案】（1）解：在CDE与CBF中， E=F，ECD=FCB，CDE=CBF，180-CDE=180-CBF，即ADC=ABC，四边形ABCD内接于O，ADC+ABC=180，ADC=ABC=90；（2）解：E=F=42，由（1）可知ABC=90， A=90-E=48；（3）解：四边形ABCD内接于O， ADC+ABC=180，EDC+FBC=180，E+EDC+ECD=180，F+FCB+FBC=180，E+F+ECD+FCB=180，ECD+FC

31、B=180-（E+F），E，F，ECD+FCB=180-（+），BCD+FCE=360-（ECD+FCB）=180+（+），BCD=FCE，BCD= 12 （BCD+FCE）=90+ +2 ，A+BCD=180，A=180-BCD=90- +2 【知识点】圆内接四边形的性质；圆的综合题【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和可得180-CDE=180-CBF，即ADC=ABC，再利用圆内接四边形的性质可得ADC+ABC=180， 即可得到ADC=ABC=90；（2）利用三角形的内角和可得 A=90-E=48；（3）利用圆内接四边形的性质、三角形的内角和及角的运算求解即可。16【答案】（1）证明

32、：如图，连接OC， AB是O直径，C为圆周上的一点，ACB= 90 ，即ACO+OCB= 90 ，OC=OB，OCB=OBC，又MCA=CBA，MCA=OCB，ACO+MCA= 90 ，即OCMN，OC为半径，直线MN是O的切线；（2）解：如图，连接OE、CE， 由（1）OCMN，ADMN，得OCAE，在RtACB中，cosB= BCAB=12 ，B= 60 ，OC=OB=BC=3，OBC是等边三角形，COB= 60 ，OCAE，EAO=COB= 60 ，OE=OA，OEA是等边三角形，OC=AE，四边形AOCE是平行四边形，故SEAC=SEOC，于是 S阴影=SADCS扇形EOC ，在 Rt

33、ACB 中， BC=3 ， AB=6 ，则 AC=33 ，在 RtACD 中， AC=33 ， ACD=60 ，则 CD=332 ， AD=92 ，SACD=12ADCD=2738 ，而 S扇形EOC=6032360=32 ，S阴影=SADCS扇形EOC=273832【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）连接OC，根据直径所对的圆周角是直角可得ACO+OCB=90，再根据等边对等角可得OCB=OBC ，结合已知及等量代换得 ACO+MCA= 90 ，故 OCMN， 可得 直线MN是O的切线；（2） 连接OE、CE，由余弦函数的定义可得B=60，故OBC是等边三角形 ，由 OCAE可得EAO=COB= 60 ，故COE=60，由同底等高的三角形的面积相等可得SAEC=SCOE，故 S阴影=SADCS扇形EOC ，从而即可解决问题.