2023年新高考一轮复习讲义第38讲 数列的综合应用（解析版）.docx

1、第38讲数列的综合应用学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022辽宁沈阳二中模拟预测）我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（）A2192BCD【答案】D【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出个月的还款

2、金额.【详解】由题意可知：每月还本金为2000元， 设张华第个月的还款金额为元，则，故选：D2（2022山东泰安一模）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（）A，BC，D【答案】D【分析】由等差数列通项公式得，再结合题意得数列单调递增，且满足，即，再解不等式即可得答案.【详解】解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，由于数列满足，所以对任意的都成立，故数列单调递增，且满足，所以，解得故选：3（2022全国高三专题练习）已知数列的前项和为，且，若，则称项为“和谐项，则数列的所有“和谐项”的平方和为（）ABCD【答案】D【分析】根据，

3、得到，两式相减得到，从而得到数列的通项公式，根据“和谐项的定义可得，再利用等比数列的前项和可得答案.【详解】，-得，即，故，所以数列的所有“和谐项”的平方和为.故选：D.4（2022北京朝阳一模）已知数列，若存在一个正整数使得对任意，都有，则称为数列的周期.若四个数列分别满足：，；，；，；，.则上述数列中，8为其周期的个数是（）A1B2C3D4【答案】B【分析】利用数列的周期的定义逐项分析即得.【详解】，数列的周期为，故8也是数列的周期；由，可得故数列的周期为；由，可得，故数列的周期为；由，可得，故数列的周期为，所以8也是数列的周期.故8为其周期的数列个数为2.故选：B.5（2022全国高三专

4、题练习）朱世杰是元代著名数学家，他所著的算学启蒙是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.算学启蒙中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）A5B6C7D8【答案】D【分析】把各层的铅笔数看出等差数列，利用求和公式得到，由n为264 的因数，且为偶数，把四个选项一一代入验证即可.【详解】设最上面一层放根，一共放n（n2）层，则最下一层放根，由等差数列前n项和公式得：，,n为264

5、的因数，且为偶数，把各个选项分别代入，验证，可得：n=8满足题意.故选：D6（2022江苏盐城中学高三开学考试）已知数列的前项和为，且().记，为数列的前项和，则使成立的最小正整数为（）A5B6C7D8【答案】C【分析】根据之间的关系证明为等比数列，然后再证明也是等比数列，由此求解出.根据不等式结合指数函数单调性求解出的取值范围，从而确定出的最小整数值.【详解】解析：由，可知，即.时，数列是以1为首项，以为公比的等比数列.又，数列是以为首项，以为公比的等比数列.又，即，.又，的最小值为7.故选：C.7（2022山东聊城二中高三开学考试）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项：第一次

6、取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续的偶数10，12，14，16；第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19，则这个数列中第2022个数是（）A3974B3976C3978D3980【答案】D【分析】由题意可得，找出取数的规律为：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前次总共取的数各数量可以通过等差数列求和得到，且第次的最后一个数为，据此即可求解.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前次共取了个数，且第次的最后一个数为，当时，

7、故到第63次取时取了63个奇数，且前63次共取了2016个数，即第2016个数为，时，依次为3970，3972，3974，3976，3978，3980，.，第2022个数为3980.故选：D.8（2022江苏高三专题练习）若数列的前项和为，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】D【解析】根据题意，求得，进而求得数列的通项公式为，结合裂项法求得数列的前和，得出不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】由题意，数列的前项和为，由“均值数列”的定义可得，所以，当时，；当时，也满足，所以，所以，所以

8、，又对一切恒成立，所以，整理得，解得或.即实数的取值范围为.故选：D.9（多选）（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正项数列满足，则下列说法正确的是（）A是等比数列B对任意的，C对任意都成立D【答案】BCD【分析】根据所给数列性质利用判断A，由函数不等式推导出可判断B, 利用B中结论递推可判断C，由对数运算及数列求和后放缩可判断D.【详解】由，显然，则不是等比数列，A；由当且仅当时等号成立，由为正项数列，得，故，故B正确；由B知，故C正确；则，故D正确.故选：BCD10（多选）（2022江苏苏州市第六中学校三模）在数列中，若（为非零常数），则称为“等方差数列”，称为“公方差”，下列对“等方

9、差数列”的判断正确的是（）A是等方差数列B若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则C等比数列不可能为等方差数列D存在数列既是等方差数列，又是等差数列【答案】BC【分析】根据等方差数列定义判断A，由等方差数列定义及等比数列求判断B，根据等方差数列定义及等比数列的通项公式判断C，由等差数列及等方差数列定义，利用反证法判断D.【详解】设，则，不满足为非零常数，所以不是等方差数列，故A错误；由题意，则，即，解得或（舍去），当时，满足题意，故B正确；设数列为等比数列，不妨设，则，所以，若为常数，则，但此时，不满足题意，故C正确；若数列既是等方差数列，又是等差数列，不妨设，（为非零常数），所以，即，所以，

10、即，所以为常数列，这与，矛盾，故D错误.故选：BC11（2022浙江高三专题练习）已知桶中盛有2升水，桶中盛有1升水现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；若如此继续操作下去，则桶中的水比桶中的水多_升【答案】【分析】根据题意，得到，之间的关系，然后用数列知识求解【详解】根据题意可得，即数列是以为首项，为公比的等比数列，故答案为：12（2022江苏金陵中学高三阶段练习）数列通项公式.若等差数列满足：，都有，则数列的通项公式_.【答案】【分析】根据题意求出，进而求出；当时设，根据列出关于的不等式，进而得

11、出，利用不等式的性质求得，结合等差数列的通项公式即可得出结果.【详解】当时，当时，由，当时，又，所以，故；当时，即，整理，得，又为等差数列，设，即，整理，得，对恒成立由，知，则，所以，即是以2为公差，以1为首项的等差数列，故.故答案为：.13（2022湖南雅礼中学高三阶段练习）数列满足：，.若，对，不等式恒成立，则实数的最大值为_.【答案】【分析】应用构造法求的通项公式，即得通项公式，进而讨论、研究题设不等式恒成立，在时构造并研究单调性，即可求的最大值.【详解】由，可得，数列是首项，公差的等差数列，则，由已知有：，当时，显然符合题意，当时，由已知得：.设，则，数列递增，则的最小值为，故只需.故

12、答案为：.14（2022江苏省响水中学高三阶段练习）已知数列的前项和，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【详解】试题分析：由，得；当时，若为偶数，则，（为正奇数）；若为奇数，则，（为正偶数）函数（为正奇数）为减函数，最大值为，函数（为正偶数）为增函数，最小值为若恒成立，则，即故答案为15（2022湖南长郡中学高三阶段练习）已知数列对任意的，都有，且当时，_若存在，当且为奇数时，恒为常数P，则P_【答案】 2 1【分析】根据通项公式确定的周期性即可求，由题设可得，讨论的奇偶性确定后续数列出现奇数项与相等，列方程求P的值.【详解】由题设通项公式，可得，故从第二项开始形成周期为3的数列

13、，而，故当时，为奇数时为偶数，故；若为奇数，由，故，不满足；若为偶数，则直到为奇教，有，故，当时满足条件，此时，即，故答案为：2，116（2022江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知是公差为1的等差数列，且，成等比数列（）求的通项公式；（）求数列的前n项和【解】（1）由题意得，故，所以的通项公式为（2）设数列的前项和为，则，两式相减得，所以17（2022山东日照高三开学考试）已知数列an，bn，cn中，（）若数列bn为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式；（）若数列bn为等差数列，且公差，证明：【解】（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列

14、，所以.所以（）.所以，又，符合，故.（II）依题意设，由于，所以，故.又，而，故所以.由于，所以，所以.即， .18（2022湖南长沙一中高三阶段练习）已知数列满足，(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)记，证明：当时，【解】(1)当时，当时，；相除得整理为：，即，为等差数列，公差，首项为；所以，整理为：，经检验，符合要求.(2)由（1）得：，所以，当时，【素养提升】1（2022全国高三专题练习）已知成等比数列，且若，则ABCD【答案】B【分析】先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.【详解】令则，令得，所以当时，当时，因此， 若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，

15、不合题意；因此，选B.2（2022湖北天门市教育科学研究院模拟预测）已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的取值范围为（）ABCD【答案】C【分析】首先由数列通项与前项和的关系得到数列的递推关系，再构造等比数列，求数列的通项公式，进一步求出数列的通项公式，从而可求数列通项公式，代入所求式子，分子、分母同除以构造基本不等式即可求出的最大值，从而求出的范围.【详解】由，则当时，得，两式相减得，变形可得：，又，所以，数列是以为首项、为公比的等比数列，故，所以，所以，当且仅当时等号成立，故.故选：C.3（2022浙江绍兴一中高三期末）已知数列满足（），则当时，下列判断不一定

16、正确的是（）ABCD存在正整数k，当时，恒成立【答案】C【分析】对于A，由已知可得，有基本不等式可得当时，从而可判断；对于B，利用放缩法可得，即可得，再根据，即可判断；对于C，利用放缩法举出反例即可判断；对于D，由，得，再利用放缩法可得，从而可求得得范围，即可判断.【详解】解：对于A，因为（），所以，当时，所以与同号，因为，所以，所以当时，故A正确；对于B，由，得，因为，所以，所以，所以，对任意都成立，故B正确；对于C，由，得，命题可化为，所以，即，当，时，成立，考虑较小时，若此时较大，则不成立，比如，故C错误；对于D，由，得，所以，要使，只需保证，所以只需，所以存在正整数k，当时，恒成立，故

17、D正确.故选：C.4（2022全国高三专题练习）已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为_【答案】27【详解】设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.5（2022福建厦门模拟预测）已知数列与数列的前n项和分别为，则_；若对于恒成立，则实数的取值范围是_【答案】 【分析】设，可得出，由裂项相消法可求出，不等式可化为恒成立，求出的最小值即可.【详解】设，则，所以，所以，由，得，即对于恒成立，设，因为，当且仅当，即时等号成立，又，且，则，所以，所以，即实数的取值范围是.故答案为：；.6（2022上海华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）设函数，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若为正整数，设的解集为，求及数列的前项和；（3）对于（2）中的数列，设，求数列的前项和的最大值.【解】（1） 即，即，或 ；（2）由即的解集为， ， 时，时， ， ；（3），时，为奇数时，即，为偶数时，即， 的最大值必为的偶数项，故当为偶数时（）时， ， 为偶数时，为递减数列， .