2023版高中数学新同步精讲精炼（必修第一册） 2.2 基本不等式（精讲）（教师版含解析）.docx

1、2.2 基本不等式(精讲)思维导图常见考法考点一 基本不等式求最值【例1-1】(1)(2021湖南邵阳市)若正实数x，y满足2x+y=1.则xy的最大值为( )ABCD(2)(2021六安市裕安区新安中学)已知，则的最大值为( )ABCD【答案】(1)B(2)D【解析】(1)当且仅当时取等号，即xy的最大值为故选：B(2)因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，整理得，即.所以的最大值为.故选：D.【例1-2】(1)(2021北京高一其他模拟)若，则函数的最小值为_(2)(2021云南文山壮族苗族自治州)已知，函数的最小值为( )A4B7C2D8【答案】(1)5(2)B【解析】(1)

2、因为，则函数，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值5故答案为：5.(2)因为，所以， 当且仅当即时取等号，所以的最小值为7.故选：B【例1-3】(1)(2021上海市大同中学)设、为正数，且，则的最小值为_.(2)(2021河北石家庄市)已知，且，则的最小值是( )A4B5C6D9【答案】(1)4(2)B【解析】(1)因为、为正数，且，所以,当且仅当a=b=1时取等号即的最小值为4.故答案为：4(2)由，得，所以，当且仅当，取等号.故选：B.【例1-4】(2021永丰县永丰中学高一期末)函数()的最小值为( )ABCD【答案】B【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数()的最小

3、值为，故选：B【一隅三反】1(2021浙江高一期末)已知x0，y0，且x+2y2，则xy( )A有最大值为1B有最小值为1C有最大值为D有最小值为【答案】C【解析】，且，(1)，当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：2(2021山西晋中市高一期末)已知，且，则ab的最大值为( )AB4CD2【答案】D【解析】， (当且仅当时取等号)，解得：，即的最大值为故选3.(2021苏州市苏州高新区第一中学高一月考)若，则( )A有最小值，且最小值为B有最大值，且最大值为2C有最小值，且最小值为D有最大值，且最大值为【答案】D【解析】,当且仅当取“=”所以故选：D4(2021北京师范大学万宁附属

4、中学)当时，取得最小值时x的值为( )A0BC3D2【答案】D【解析】因为，所以，当且仅当 即时等号成立，所以取得最小值时x的值为2.故选：D.5(2021安徽省泗县第一中学)函数的最小值为( )ABCD【答案】A【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：A6(2021北京师范大学万宁附属中学)已知，则的最小值为( )ABCD【答案】B【解析】因为，且，所以，当且仅当即，时，有最小值.故选：B.7(2021苏州市第五中学校高一月考)正实数，满足：，则当取最小值时，_.【答案】【解析】，当且仅当，即时，等号成立故答案为：8(2021浙江高一期末)若正数x，y满足，则

5、的最小值是_【答案】5【解析】由条件，两边同时除以，得到，那么等号成立的条件是，即，即.所以的最小值是5，故答案为： 5 9(2021全国高一课时练习)函数的最小值是_.【答案】4【解析】令，则，当且仅当，即时，.所以函数的最小值是4.故答案为：410(2020河北联邦国际学校高一月考)已知，则 的最大值是 【答案】-1【解析】，当且仅当，即时，等号成立，所以 的最大值为11(2020天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考)函数的最小值是 【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值是.选：D.考点二 利用基本不等式求参数【例2】(1)(2021北京东直门中学)若对任意的都有，

6、则的取值范围是( )ABCD(2)(2021浙江高一期末)，且，不等式恒成立，则的范围为_.【答案】(1)A(2)【解析】因为，则，当且仅当，即x=1时等号成立，所以，故选：A(2)解：因为，所以，当且仅当，即时，取等号，因为不等式恒成立，所以小于等于最小值，所以，故答案为：【一隅三反】1(2021广东深圳市)已知，若不等式恒成立，则的最大值为( )A13B14C15D16【答案】D【解析】因为，所以，所以恒成立，只需因为，所以，当且仅当时，即时取等号.所以.即的最大值为16.故选：D2(2021江苏苏州市)当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )ABCD【答案】D【解析】当时，当且仅当，

7、即时等号成立，.故选：D.3(2021临澧县第一中学)已知，且，若恒成立，则正实数的最小值为( )A2B3C4D6【答案】A【解析】因为，恒成立，即所以，即，又，所以所以，所以，所以正实数的最小值为2故选：A4(2021浙江)当时，不等式恒成立，则实数的最大值为( )ABCD【答案】C【解析】不等式恒成立化为恒成立，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，所以的最大值为.故选：C考点三 利用基本不等式比较大小【例3】2021全国高一课时练习)已知都是正数，且.求证：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号

8、，；(2)，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，.【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)设，求证：.【答案】证明见解析；【解析】证明：因为，所以，所以.当且仅当，即时，等号成立.故不等式得证.2(2021全国高一课时练习)已知：、是正实数，求证：.【答案】见解析.【解析】由基本不等式得出，上述两个不等式当且仅当时，等号成立，由同向不等式的可加性得，即.3.(2021长沙市南雅中学)已知，求证：(1)；(2).【答案】证明见解析.【解析】证明：(1)因为且，(当且仅当时取等号)，即，所以，又，所以；(2)因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以.4(2021湖南)已知，.(1)求证：；(

9、2)若，求证：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立；(2)由条件有，且，又，当且仅当，即时等号成立，此时由得，即证考点四 基本不等式的概念理解【例4】(1)(2021广东深圳市)(多选)下列结论不正确的是( )A当时，B当时，的最小值是2C当时，的最小值是D设，且，则的最小值是(2)(2021江苏南通市)(多选)当，时，下列不等式中恒成立的有( )ABCD【答案】(1)BC(2)ABD【解析】(1)A. 当时，当且仅当，即时等号成立，A正确；B. 当时，当且仅当时等号成立，但无实解，故最小值2取不到，B错；C. 当时，最小值

10、显然不是正值，C错；D. 设，且，则，当且仅当，即时等号成立，D正确 故选：BC(2)对于A，当且仅当时取等号，正确.对于B，当且仅当时取等号，正确.对于C，当且仅当时取等号，错误.对于D，当且仅当时取等号，正确.故选：ABD【一隅三反】1(2021淮安市阳光学校)(多选)下列判断正确的有( )ABCD【答案】BD【解析】选项A中，时，时，故错误；选项B中，时，故，故正确；选项C中，时，则，当且仅当时，即时取等号，故错误；选项D中，时，则，当且仅当时取等号，故知等号取不到，但是正确的.故选：BD.2(2021江苏常州市)(多选)设正实数、满足，则( )A有最大值B有最小值C有最小值D有最大值【

11、答案】ACD【解析】设正实数、满足.对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，B选项错误；对于C选项，当且仅当时，等号成立，C选项正确；对于D选项，则，当且仅当时，等号成立，D选项正确.故选：ACD.3(2021全国高一课时练习)(多选)已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是( )ABCD【答案】AD【解析】对于A，当且仅当时等号同时成立；对于B，当且仅当时取等号；对于C，当且仅当时取等号；对于D，当，时，所以.故选AD.4(2020江苏镇江市高一月考)(多选)已知、若，则( )ABCD【答案】AC【解析】对于A选

12、项，A选项正确；对于B选项，即，B选项错误；对于C选项，因为，由基本不等式可得，C选项正确；对于D选项，可得，D选项错误.故选：AC.5(2021辽宁大连市)(多选)已知正数，则下列不等式中恒成立的是( )ABCD【答案】AB【解析】对A，当且仅当时等号成立，故A正确；对B，当且仅当时等号成立，故B正确；对C，即，故C错误；对D，即，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：AB.6(2021山东高一期中)(多选)若，则下列不等式中正确的是( )ABCD【答案】ACD【解析】由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，选项A成立；取，则，此时，选项B错误；由基本不等式可知：，当且仅当时等号成立，选项C成立

13、；，当且仅当时等号成立，选项D成立；故选：ACD.考点五 实际生活中的基本不等式【例5】(2021广东东莞市高一期末)2020年7月，东莞市松山湖科学城获得国家发改委、科技部批复，成为粤港澳大湾区综合性国家科学中心.已知科学城某企业计划建造一间长方体实验室，其体积为1200，高为3m.如果地面每平方米的造价为150元，墙壁每平方米的造价为200元，房顶每平方米的造价为300元，则实验室总造价的最小值为( )A204000元B228000元C234500元D297000元【答案】B【解析】设实验室总造价为元，实验室地面的长为，则宽为，当且仅当，即时，等号成立.故当实验室地面的长为，宽为时，实验室

14、总造价取得最小值228000元.故选：B.【一隅三反】1(2021南京市秦淮中学)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为( )A60万元B160万元C200万元D240万元【答案】D【解析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用和为：(万元)，当且仅当“”即“”时取等号.故选：D .2(2021吉林延边朝鲜族自治州高一期末)某人决定自驾汽车匀速自驾游，全段路程，速度不能超过，而汽车每小时的运输成本为元，则当全程运输成本最小时，汽车的行驶速度为( )ABCD【答案】C【解析】由题意，汽车全程运输成本，当且仅当时

15、，即时等号成立，又因为，所以当汽车的行驶速度为时，全程运输成本最小.故选：C.3(2021安徽淮南市高一期末)建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为 ( )A1120元B1280元C1760元D1960元【答案】C【解析】容积是，深，底面积为，设长，则宽，无盖长方体水池有一个底面和四个侧面侧面面积为造价，当且仅当：，即时取等号故选：C4(2021安徽宿州市高一期末)某电商自营店，其主打商品每年需要6000件，每年次进货，每次购买件，每次购买商品需手续费300元，已购进未卖出的商品要付库存费，可认为平均库存量为，每件商品库存费是每年10元，则要使总费用(手续费+库存费)最低，则每年进货次数为_.【答案】10【解析】由题可得，每年的手续费为元，库存费为元，则总费用为，当且仅当，即时，总费用最低为6000元.故答案为：10.