2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第一册） 3.3 抛物线（精讲）（教师版含解析）.docx

1、3.3 抛物线(精讲)思维导图常见考法考法一 抛物线的定义及应用【例1】(1)(2021全国)若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为( )A1BCD(2)(2021全国高二课时练习)已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )AB2CD3(3)(2021全国)已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为( )A7B8C9D10【答案】(1)D(2)B(3)C【解析】(1)由，得，则，所以焦点，由抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小，得的最小值为.故选：D(2)由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则，所以动点到的距离等于，所以

2、动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，所以其最小值是，故选：B.(3)易知抛物线的焦点为，准线方程为.连接，延长交准线于点，如图所示.根据抛物线的定义，知.所以，当且仅当，三点共线时，等号成立，所以的最小值为9.故选：C.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点的横坐标和的值分别为( )A9，2B1，18C9，2或1，18D9，18或1，2【答案】C【解析】因为点到对称轴的距离为6，所以不妨设因为点到准线的距离为10，所以，解得或，故选：C2(2021全国)已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，过作抛物线的准线的垂线，垂足为

3、，若(为坐标原点)，的周长为12，则( )A4BCD5【答案】A【解析】因为，所以.又是抛物线上一点，所以，则是等边三角形.又的周长为12，所以，故选：A3(2021全国高二课时练习)过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则( )A3B2CD1【答案】C【解析】方法一：如图，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，过点作于点，交轴于点由已知条件及抛物线的定义，得，所以在中，因为，所以，所以，所以焦点到准线的距离为，即方法二：依题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，将其代入抛物线的方程，得设，则因为，所以，即，所以，解得故选：C.考法二 抛物线的标准方程【例2】(1)(2021全国高二课时练习)以轴为

4、对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是( )ABC或D或(2)(2021全国高二课时练习)已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为( )AB或CD或(3)(2021全国高二课时练习)在正方体中，为侧面所在平面上的一个动点，且点到平面的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹为( )A椭圆B双曲线C圆D抛物线【答案】(1)C(2)D(3)D【解析】(1)依题意设抛物线方程为因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或故选：C(2)抛物线的准线方程是，而点到准线的距离为6点的横坐标是，于是代入，得，解得或，故该抛物线的标准方程为或

5、故答案选：D(3)正方体中平面，等于点直线的距离.平面平面，点到平面的距离等于点到直线的距离.点到平面的距离与到直线的距离相等，MB等于点到直线的距离.根据抛物线的定义，可知动点的轨迹为抛物线.故选：D.【一隅三反】1(2021全国)设抛物线的焦点为，点在上，若以为直径的圆过点，则抛物线的方程为( )A或B或C或D或【答案】C【解析】抛物线：的焦点，设，由抛物线的定义，知，得，则以为直径的圆的圆心横坐标为，而圆的半径为，于是得该圆与轴相切于点，得圆心的纵坐标为2，则点的纵坐标为4，即，从而有，整理得，解得或，所以抛物线的方程为或.故选：C2(2021全国高二课前预习)已知动圆M与直线y3相切，

6、且与定圆C：x2(y3)21外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )Ax212yBx212yCy212xDy212x【答案】A【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，3)的距离与到直线y3的距离相等.由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y.3(2021江西景德镇一中高二期中(文)抛物线上一点到焦点F的距离为3，则p值为( )A1B2C3D4【答案】D【解析】由抛物线的定义可知，所以，故选：4(多选)(2021全国高二课前预习)(多选)经过点P(4，2)的抛物线的标准方程为( )Ay2xBy28xCy28xDx

7、28y【答案】AD【解析】当开口向右时，设抛物线方程为y22p1x(p10)，则(2)28p1，所以p1，所以抛物线方程为y2x.当开口向下时，设抛物线方程为x22p2y(p20)，则424p2，p24，所以抛物线方程为x28y.故选：AD考法三 直线与抛物线的位置关系【例3】(1)(2021全国)过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有( )A1条B2条C3条D4条(2)(2021全国高二课时练习)已知抛物线y24x，直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为()A2BCD1【答案】(1)C(2)D【解析】(1)当直线的斜率不存在时，直线符合题意

8、当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，得当时，符合题意；当时，由，可得，即当时，符合题意综上，满足条件的直线有3条故选：C(2)设直线l的方程为xmy+n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线l与抛物线方程，化简可得，y24my4n0，由韦达定理可得，y1+y24m，4m4，即m1，直线l的方程为yxn，k1故选：D【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)已知直线及抛物线，则( )A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点【答案】C【解析】直线，直线过定点当时，直线与抛物线有一个公共点，即顶点；当时，点在抛物线的

9、内部，所以直线与抛物线有两个公共点，综上所述，直线与抛物线有一个或两个公共点.故选：.2(2021全国)若直线ykx2与抛物线y2x只有一个公共点，则实数k的值为( )A B0C或0D8或0【答案】C【解析】由得ky2y20，若k0，直线与抛物线只有一个交点，则y2；若k0，则18k0，所以k.综上可知k0或.故选：C考法四 弦长【例4】(1)(2021云南省楚雄天人中学高二月考(理)已知直线与抛物线相交于、两点，则的长为( )A12B16C7D8(2)(2021合肥艺术中学 高二期中(理)已知抛物线，直线过其焦点且与轴垂直，交于两点，若为的准线上一点，则的面积为( )A20B25C30D50

10、【答案】(1)B(2)B【解析】由抛物线，可得其焦点坐标为，准线方程为，又由直线，可得直线过抛物线的焦点，设，根据抛物线的定义可得 所以，又由，整理得，则，所以故选：B(2)抛物线的焦点为 直线过其焦点且与轴垂直，交于两点，则由，可得，故由 即所以抛物线，其准线方程为： 为的准线上一点，所以到直线的距离为： 则故选；B【一隅三反】1(2021梁河县第一中学高二月考(文)已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于、两点，则弦长_.【答案】8【解析】因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线方程为，所以抛物线的焦点坐标为，所以直线过焦点，联立 ，消去y得 ，则 ，所以，故答案为：82(2021南昌

11、市新建区第一中学高二开学考试(理)过点的直线与抛物线交于两点，则ABC面积的最小值为_.【答案】【解析】设直线的方程为：，联立方程，消去得：，当时，的值取到最小值，最小值为，故答案为：考法五 综合运用【例5】(2021全国)已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且(为坐标原点)的外接圆圆心到准线的距离为(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于另一点，证明：为定值；(3)过点作圆的两条切线，与轴分别交于，两点，求面积取得最小值时对应的的值【答案】(1)；(2)证明见解析 ；(3) 【解析】(1)抛物线的焦点，准线由的外接圆圆心在的垂直平分线上，得圆心的横坐标为由的外接圆圆心到

12、准线的距离为，得，解得抛物线的方程为(2)由(1)得，设，直线，联立，可得，又，则上式通分后得分子为，故，为定值(3)如图，记两个切点分别为，连接，由题意，得由切线长定理，知，又，解得，当且仅当，即时，取等号此时故当面积取得最小值时，【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线交于，两点，且(1)求抛物线的标准方程(2)在轴上是否存在一点，使为正三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析.【解析】(1)由题意，设所求抛物线的标准方程为由，消去，得设，则，由，得，解得或(舍去)，抛物线的标准

13、方程为(2)设的中点为点，则假设在轴上存在满足条件的点，连接为正三角形，即，解得，又，在轴上不存在一点，使为正三角形2(2021全国高二课时练习)已知抛物线的焦点为，点在上，且(为坐标原点)(1)求的方程；(2)若是上的两个动点，且两点的横坐标之和为()设线段的中垂线为，证明：恒过定点()设()中定点为，当取最大值时，且，位于直线两侧时，求四边形的面积【答案】(1)；(2)()证明见解析；().【解析】(1)由抛物线的性质得，所以根据抛物线的定义得：，解得，所以的标准方程为(2)设，且()证明：设中点为，则，当时，；当时，则，令，得，故直线过定点综上，恒过定点()由()知直线，即，所以直线与抛

14、物线联立方程消去，整理得，由，得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为10，此时直线的方程为对于直线，所以点在同侧，不合题意，对于直线，满足，位于直线两侧，所以直线，点到直线的距离，点到直线的距离，所以3(2021全国高二专题练习)已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，Q在抛物线C上，且|QF|=.(1)求抛物线C的方程及t的值；(2)若过点M(0，t)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，N为AB的中点，O是坐标原点，且，求直线l的方程.【答案】(1)y2=4x，2；(2)或.【解析】(1)因抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，则其准线为：，又Q在抛物线C上，由抛物线定义知：，解得p=2，即抛物线C的方程为y2=4x，将Q的坐标代入y2=4x，得t=2，所以抛物线C的方程为y2=4x，t的值是2；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，由(1)知M(0，2)，显然直线l的斜率存在，设直线l：y=kx+2(k0)，由消去y得k2x2-4(1-k)x+4=0，显然，k0，解得，且，于是得，而，且点A，B，M，N都在直线l上，从而得，则有，又N是AB的中点，即x0=，从而得，即，整理得，因此有，解得或，均满足题意，所以直线l的方程为或.