2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第一册） 第3章 圆锥曲线的方程 章末测试（基础）（教师版含解析）.docx

1、第3章 圆锥曲线的方程 章末测试(基础)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案。每题5分，8题共40分)1(2021浙江高二单元测试)双曲线的焦点坐标是( )ABCD【答案】D【解析】由题可知：双曲线的焦点在轴上，且，所以所以双曲线的焦点坐标为故选：D2(2021浙江高二单元测试)已知直线双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为( )AB2CD【答案】A【解析】双曲线的渐近线为，所以，所以离心率为，故选：A3(2021浙江高二单元测试)已知是的定直径，过上的动点作切线与过点的切线分别交于点，连接交于点，则点的轨迹是( )A圆B椭圆C抛物线的一段D线段【答案】B【解析】设圆的半径为1，以圆心O为原

2、点直径AB为x轴建立直角坐标系：则，圆的方程为，设，则切线MN的方程为，直线AM的方程为，直线BN的方程为，所以，则直线AN的方程为 ，直线BM的方程为，两式相乘得，即，当点P恰为A或B时，四边形ABNM变为线段AB，不符合题意，所以轨迹不包括A，B两点，所以T的轨迹为椭圆，故选：B4(2021浙江高二单元测试)已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为( )ABCD【答案】A【解析】抛物线上一点到焦点的距离为，由抛物线的定义知，即，所以，所以，抛物线的焦点坐标为，故选：A.5(2021浙江高二单元测试)已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于，两点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为

3、( )ABCD【答案】D【解析】因为是正三角形，所以，轴.设，则，故，解得，从而.将代入椭圆方程可得，因此，得，故椭圆的离心率，故选：D.6(2021全国高二单元测试)在双曲线中，且双曲线与椭圆4x29y236有公共焦点，则双曲线的方程是( )ABCD【答案】B【解析】椭圆方程可化为，所以双曲线的，且焦点在轴上.由于，所以，所以，所以双曲线的方程为.故选：B7(2021浙江高二单元测试)设是双曲线的右焦点，是双曲线的一条渐近线，过作一条直线垂直与，垂足为，则的值为( )ABCD【答案】B【解析】由题知双曲线如图做出双曲线的一条渐近线，则，即，又，所以，.故选：B.8(2021全国高二单元测试)

4、已知P为双曲线C：x21右支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且线段A1A2，B1B2分别为C的实轴与虚轴，若|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比数列，则|PF2|( )A4B10C5D6【答案】D【解析】|A1A2|2a2，|B1B2|2b4，|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比数列,可得|PF1|8，再由双曲线的定义可得：|PF2|82a6故选：D二、多选题(每题不止一个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9(2021浙江高二单元测试)已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )A椭圆的焦点坐标为(2,

5、0)(-2,0)B椭圆C的长轴长为C直线的方程为D【答案】BCD【解析】A：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误；B：，即椭圆C的长轴长为，正确；C：由题意，可设直线为，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则，可得，即直线为，正确；D：由C知：，则，正确.故选：BCD.10(2021浙江高二单元测试)若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是( )ABC的长轴长为CC的短轴长为4DC的离心率为【答案】AB【解析】由已知可得，解得或(舍去)，长轴长为，短轴长为，离心率为，故选：AB.11(2021全国高二单元测试)已知点P在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有( )

6、A点P到x轴的距离为BC为钝角三角形D【答案】BC【解析】由双曲线方程得，则，由的面积为20，得，得，即点到轴的距离为4，故错误，将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，则，由双曲线的定义知，则，则，故正确，在中，则，为钝角，则为钝角三角形，故正确，则错误，故正确的是，故选：12(2021全国高二单元测试)如图已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆在第一象限内的点，的角平分线交轴于点，且满足，则椭圆的离心率可能是( )ABCD【答案】CD【解析】，则.是的角平分线，又，在中，由余弦定理得，解得.故选：CD.三、填空题(每题5分，4题共20分)13(2021浙江高二单元测试)已知点，椭圆的右焦点

7、为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为_【答案】4【解析】由线段的中点恰好在椭圆上，即为右顶点，可得，解得，所以椭圆的长轴长为4故答案为：.14(2021全国高二单元测试)若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_【答案】【解析】由于方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：15(2021浙江高二单元测试)已知椭圆的左，右焦点分别为，点为直线上的一个动点(不在坐标轴上)，则当的最大值为时，椭圆的离心率是_.【答案】【解析】由题意，点为直线上的一个动点，设点，因为，可得，可得，又由，整理得，即椭圆的离心率为.故答案为：. 16(2021浙江高二单元测试

8、)如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_.【答案】【解析】以两焦点所在直线为轴，两焦点所在线段的中垂线为轴建立直角坐标系，设双曲线的焦距为，由题意得双曲线的渐近线方程为，所以，进而得.故双曲线的实轴长为：.故答案为：四、解答题(17题10分，其余每题12分，共6题70分)17(2021全国)(1)求与双曲

9、线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；(2)已知椭圆的离心率，求的值【答案】(1)；(2)1.【解析】(1)因为双曲线与双曲线1有相同焦点，可设所求双曲线方程为：，因为双曲线过点，所以，解得或(舍)，所以所求双曲线方程为.(2)椭圆方程可化为:，因为，即，所以，所以，所以，解得.18(2021全国高二单元测试)已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程.(2)过点的直线与抛物线交于两点，以线段为直径的圆过，求直线的方程.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由抛物线定义可知：，解得：，抛物线的方程为：；(2)由抛物线方程知：，设直线，联立方程得：，以线段为直径的圆过点，解

10、得：，直线的方程为：，即. 19(2021全国高二单元测试)双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上当时，(1)求的离心率；(2)若在第一象限，证明：【答案】(1)；(2)见解析.【解析】(1)设双曲线的半焦距为，则，因为，故，故，即，故.(2)设，其中.因为，故，故渐近线方程为：，所以，当时，又，所以，因为，故.当，由(1)可得，故.综上，. 20(2021全国高二单元测试)已知椭圆过点，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点P(0，3)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【解析】解：(1)由已知点

11、代入椭圆方程得，由得可转化为a2=2b2，由以上两式解得a2=4，b2=2，所以椭圆C的方程为：.(2)存在这样的直线.当l的斜率不存在时，显然不满足，所以设所求直线方程l：y=kx+3代入椭圆方程化简得：(1+2k2)x2+12kx+14=0，=(12k)2414(1+2k2)0，设所求直线与椭圆相交两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知条件可得x2=2x1，综合上述式子可解得符合题意，所以所求直线方程为：. 21(2021全国高二单元测试)已知椭圆C1：(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两

12、点，且|CD|=|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.【答案】(1)；(2)，.【解析】(1)，轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，联立，解得，则，抛物线的方程为，联立，解得，即，即，即，解得，因此，椭圆的离心率为；(2)由(1)知，椭圆的方程为，联立，消去并整理得，解得或(舍去)，由抛物线的定义可得，解得.因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为. 22(2021全国高二单元测试)已知A、B分别为椭圆E：(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.【答案】(1)；(2)证明详见解析.【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：， ，椭圆方程为：(2)证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为当时，直线的方程为：，整理可得：整理得：所以直线过定点当时，直线：，直线过点故直线CD过定点