2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第三册） 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（精练）（教师版含解析）.docx

1、6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(精练)【题组一 分类计数原理】 1(2021全国高二课时练习)现有A，B两种类型的车床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从这三名工人中选两名分别去操作以上车床，不同的选派方法有( )A6种B5种C4种D3种【答案】C【解析】若选甲、乙两人，包括甲操作A车床，乙操作B车床，或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法.若选甲、丙二人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法.若选乙、丙二人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法，故共有2114(种)不同的选派方法.故选：C2(2021全国

2、高二课时练习)如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通今发现，之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有( )A9种B11种C13种D15种【答案】C【解析】按焊接点脱落的个数分成4类：脱落1个，有1，4，共2种；脱落2个，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种；脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共4种；脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种，由分类加法计数原理，焊接点脱落的情况共有种故选：C3(2021全国高二课时练习)从集合1，2，3，4，5中任取2个不同的数，作为直线AxB

3、y0的系数，则最多形成不同的直线的条数为( )A18B20C25D10【答案】A【解析】第一步，给A赋值有5种选择，第二步，给B赋有4种选择，由分步乘法计数原理可得：5420(种).又因为A1，B2，与A2，B4表示同一直线.A2，B1与A4，B2，也表示同一直线.形成不同的直线最多的条数为20218.故选：A4(2021全国高二课时练习)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有( )A10种B20种C25种D32种【答案】D【解析】如果规定每位同学必须报名，则每个同学都有2种选择，根据分步乘法计数原理，知不同的报名方法共有(

4、种)，故选：D5(2021全国高二课时练习)已知直线方程，若从、这六个数中每次取两个不同的数分别作为、的值，则可表示_条不同的直线【答案】【解析】当时，可表示条直线；当时，可表示条直线；当时，有种选法，有种选法，可表示条不同的直线由分类加法计数原理，知共可表示条不同的直线故答案为：.6(2021全国高二课时练习)如图所示，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有_个.【答案】40【解析】满足条件的有两类：第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m18个；第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m28432个，所以满足条件的三角形共有83240个.故答案为：407(2

5、021全国高二单元测试)设A(1，2，3，10)，若方程x2bxc0，满足b、c属于A，且方程至少有一根a属于A，称方程为漂亮方程，则“漂亮方程”的总个数为( )A8个B10个C12个D14个【答案】C【解析】用十字相乘法，先把c分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是b；c2 时，有212，b211，则漂亮方程为x2x20；c3时，有313，b312，则漂亮方程为x22x30；c4时，有414，b413，则漂亮方程为x23x40，c5时，有515，b514，则漂亮方程为x24x50；c6时，有616，b615，则漂亮方程为x25x60，同时，有236，b312，则漂亮方程为x2x

6、60；c7时，有717，b716，则漂亮方程为x26x70，c8时，有818，b817，则漂亮方程为x27x80，同时，有248，b422，则漂亮方程为x22x80；c9时，有919，b918，则漂亮方程为x28x90；c10时，有10110，b1019，则漂亮方程为x210x90，同时，有2510，b523，则漂亮方程为x23x100；综合可得，共12个漂亮方程，故选：C.8(2021全国高二课时练习)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有多少对？【答案】36【解析】如图，在三棱柱中，分四类进行计数：与上底面异面的直线有对；与下底面的异面的直线有9对(除去与上底面的)；与侧棱异面

7、的直线有6对(除去与下底面的)；侧面对角线之间成异面直线的有6对.由分类加法计数原理，知共有异面直线共有对.【题组二 分步计数原理】1(2021全国高二课时练习)核糖核酸(缩写为RNA)，存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体，RNA由核糖核苷酸经磷酸二酯键缩合而成长链状分子，长链中每一个位置上都被一种称为碱基的化学成分所占据，RNA的碱基主要有4种，分别用A，C，G，U表示在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为( )ABCD【答案】B【解析】由100个碱基组成的长链共有100个位置，从A，C，G，U中任选1

8、个依次填入这100个位置中，每个位置都有4种填充方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA分子的种数为故选：B2(2021全国高二课前预习)已知x2，3，7，y31，24，4，则(x，y)可表示不同的点的个数是( )A1B3C6D9【答案】D【解析】这件事可分为两步完成：第一步，在集合2，3，7中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合31，24，4中任取一个值y有3种方法根据分步乘法计数原理知，有339个不同的点3(2021北京一七一中高二月考)4名同学分别报名参加足球队篮球队乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有( )A81种B64种C24种D12种【答案】A【解析】每个人都有种选

9、择方法，所以不同的报名方法有种.故选：A4(2021河南高二期末)从参加新冠肺炎疫情防控工作的名医生和名护士中，选出名医生和名护士参加2021年河南省劳动模范和先进工作者表彰大会，不同的选法种数为( )ABCD【答案】C【解析】分两步，第一步从名医生中选人有种不同的选法，第二步从名护士中选人有种不同的选法，由分步计数原理得共有种不同的选法.故选：.5(2021全国高二课时练习)从人中选出人参加某大学举办的数学、物理、化学、生物比赛，每人只能参加其中一项，且每项比赛都有人参加，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数为( )ABCD【答案】C【解析】第一步，因为甲、乙两人都不能参

10、加化学比赛，所以从剩下的人中选人参加化学比赛，共有种选法；第二步，在剩下的人中任选人参加数学、物理、生物比赛，共有种选法由分步乘法计数原理，得不同的参赛方案的种数为，故选：C6(2021全国高二单元测试)为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有_种.【答案】36【解析】由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选1种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选1种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选1种有6种选法，根据分步乘法计数原理，共有种不同的选

11、取方法.故答案为：367(2021全国高二课时练习)如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有_种(用数字作答)【答案】750【解析】首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择，根据分步乘法计数原理得，共有6555750(种)涂色方法故答案为：7508(2021全国高二课时练习)如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有_种.ABC D【答案】108【解析】A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3

12、种涂法，共有4333108(种)涂法.故答案为：1089(2021云南师大附中)洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数(图中白圈为阳数，黑点为阴数).现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：(从左往右数)第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数有_个【答案】120【解析】据题意，阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，第一位数的选择有5种，第二位数的选择有4种，第三位数和第四位数可以的组合有(1，6)，(2

13、，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)共有6种选择，根据分步乘法计数原理，这样的四位数共有个.故答案为：【题组三 两个计数原理的综合运用】1(2021全国高二单元测试)(多选)现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是( )A从中任选1个球，有15种不同的选法B若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法【答案】AB【解析】对于A，从中任选1个球，共有种不同的选法，故A正确；对于B，每种颜色选出1个球，可分步从每种颜色分别选择，共有种不同的选法，故B正确；对于C，若要

14、选出不同颜色的2个球，首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，共有种不同的选法，故C错误；对于D，若要不放回地选出任意的2个球，直接分步计算，共有种不同的选法，故D错误故选：AB2(2021全国高二单元测试)(多选)某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是( )A从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法B从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法C从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法D若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法【答案】BC【

15、解析】对于A，选1人做正组长，1人做副组长需要分两步，先选正组长有10种选法，再选副组长有9种选法，则共有种不同的选法，故A错误；对于B，从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，则共有种不同的选法，故B正确；对于C，选1人参加数学竞赛，既可以选男生，也可以选女生，则共有种不同的选法，故C正确；对于D，每人报名都有2种选择，共有10人，则共有种不同的报名方法，故D错误故选：BC3(2021全国高二单元测试)(多选)甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；(3)丙在

16、下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则下列结论正确的是( )A最高处的树枝为G，I中的一个B最低处的树枝一定是FC这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种D这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种【答案】AC【解析】由题判断出部分树枝由高到低的顺序为，还剩下，且树枝比高，树枝在树枝，之间，树枝比低，最高可能为G或I，最低为F或H，故选项正确，B错误；先看树枝，有4种可能，若在，之间，则有3种可能：在，之间，有5种可能；在，之间，有4种可能；在，之间，有3种可能，此时树枝的高低顺序有(种)。若不在，之间

17、，则有3种可能，有2中可能，若在，之间，则有3种可能，若在，之间，则有三种可能，此时树枝的高低顺序有(种)可能，故这九根树枝从高到低不同的顺序共有种，故选项正确.故选：AC.4(2021全国高二课时练习)某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从，6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从，两人中安排一人，第四节课只能从，两人中安排一人，则不同的安排方案共有_种(用数字作答)【答案】36【解析】不同的安排方案有两类办法：第一类，第一节课若安排，则第四节课只能安排，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有种排法；第二类，第一节课若安排，则第四节课可安排或

18、，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有种排法，因此不同的安排方案有种.故答案为：365(2021全国高二课时练习)现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？(4)要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？【答案】(1)14；(2)70；(3)59；(4)6.【解析】(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有

19、2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有52714(种)不同的选法；(2)分为三步：第一步从国画中选，有5种不同的选法；第二步从油画中选，有2种不同的选法；第三步从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有52770(种)不同的选法.(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，有5种不同的选法；一幅选自油画，有2种不同的选法；由分步乘法计数原理知，有5210(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，有5种不同的选法；一幅选自水彩画，有7种不同的选法，由分步乘法计数原理知，有5735(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，有2种不同的选法；一幅选自水彩画，

20、有7种不同的选法，由分步乘法计数原理知，有2714(种)不同的选法，所以根据分类加法计数原理，共有10351459(种)不同的选法；(4)从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N326(种).6(2021全国高二课时练习)某校高三共有三个班，各班人数如下表.男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法；(2)从高三(1)班

21、、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？【答案】(1)165种；(2)80种.【解析】(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有506055165种不同的选法(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生

22、，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30302080种不同的选法7(2021全国高二课时练习)用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的(1)密码箱的四位密码；(2)比2000大的四位偶数.【答案】(1)360；(2)120【解析】解：(1)分步解决.第一步：选取第一个位置上的数字，有6种选取方法；第二步：选取第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步：选取第三个位置上的数字

23、，有4种选取方法；第四步：选取第四个位置上的数字，有3种选取方法.由分步乘法计数原理知，可组成无重复数字的四位密码共有.(2)按个位是0，2，4分为三类.第一类：个位是0的有个；第二类：个位是2的有个；第三类：个位是4的有个.故由分类加法计数原理得比2000大的四位偶数有个.8(2021全国高二课时练习)现有4个数学课外兴趣小组，其中一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人.(1)选1人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每组选1名组长，有多少种不同的选法？(3)推选2人发言，这2人需来自不同的小组，有多少种不同的选法？【答案】(1)34；(2)5040；(3)431【解析】(1)分四类

24、：第一类，从一组中选1人，有7种选法；第二类，从二组中选1人，有8种选法；第三类，从三组中选1人，有9种选法；第四类，从四组中选1人，有10种选法.所以不同的选法共有(种)；(2)分四步：第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四组中选1名组长，所以不同的选法共有(种)；(3)分六类：从一、二组中各选1人，有种不同的选法；从一、三组中各选1人，有种不同的选法；从一、四组中各选1人，有种不同的选法；从二、三组中各选1人，有种不同的选法；从二、四组中各选1人，有种不同的选法；从三、四组中各选1人，有种不同的选法.所以不同的选法共有(种).9(2021全国高二课时练习)如图所示的，按照下列要求涂色(1

25、)用3种不同颜色填涂图中，四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？(2)若恰好用3种不同颜色给，四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？(3)若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？【答案】(1)24；(2)18；(3)6.【解析】(1)涂区有3种涂法，区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理知将，四个区域涂色共有种不同的涂色方案；(2)恰好用3种不同颜色涂四个区域，则，区域或，区域或，区域必同色，由分类加法计数原理可得恰好用3种不同颜色涂四个区域共种不同涂色的方案；(3)若恰好用2种

26、不同颜色涂四个区域，则，区域必同色，且，区域必同色，先从3种不同颜色中任取2种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域，共2种不同的涂法，由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂完四个区域，共有种不同的涂色方案10(2021全国高二课时练习)某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动(1)任选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？(2)三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？(3)选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？【答案】(1)21；(2)336；(

27、3)146.【解析】(1)分三类：第一类，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二类，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第三类，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，由分类加法计数原理，知共有种不同的选法；(2)分三步：第一步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二步，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第三步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，由分步乘法计数原理，知共有种不同的选法；(3)分三类，每类又分两步：第一类，从高一，高二两个年级中各选1个班，有种不同的选法，第二类，从高一、高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法，第三类，从高二，高三两个年级中各选1个班，有种不同的

28、选法，由分类加法计数原理，知共有种不同的选法11(2021全国高二课时练习)如图，用红、黄、蓝三种颜色涂图中标号分别为1，2，3，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的3个小正方形涂相同的颜色，则符合条件的涂法共有多少种？【答案】108(种)【解析】把区域分为三部分，第一部分1，5，9，有3种涂法第二部分2，3，6，分以下两种情况：若标号为2，6的小正方形同色，则标号为2，6，3的小正方形的不同涂法有(种)；若标号为2，6的小正方形不同色，则标号为2，6，3的小正方形的不同涂法有(种)，所以标号为2，3，6的小正方形的不同涂法共有(种)同理，第三部分4，7，8的不同涂法也有6种所以符合条件的涂法共有(种)12(2021全国高二课时练习)计算(1)用1，2，3，4，5，6可以排成多少个数字不重复的两位数？(2)用1，2，3，4，5，6可以排成多少个数字可以重复的两位数？【答案】(1)(2)【解析】(1)第一步十位数字有6种选择，然后第二步个位数字在剩下的5个数字中选择有5种方法，运用乘法原理得所以可以排成个不重复的两位数；(2)第一步十位数字有6种选择，然后第二步个位数字有6种选择，运用乘法原理得所以可以排成个可以重复的两位数；