2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第三册） 6.2.2 组合及组合数（精练）（教师版含解析）.docx

1、6.2.2 组合及组合数(精练)【题组一 组合的定义】1(2021全国高二课时练习)下列各事件中，属于组合问题的是( )A从3名教师中，选出2名分别去北京、上海学习B从10名司机中选出4名，分配到4辆汽车上C某同学从4门课程中选修2门D从13位同学中任选出两位担任学习委员、体育委员【答案】C【解析】A，从3名教师中，选出2名分别去北京、上海学习与顺序有关，是排列问题；B，从10名司机中选出4名，分配到4辆汽车上与顺序有关，是排列问题；D从13位同学中任选出两位担任学习委员、体育委员均与顺序有关，是排列问题；C，某同学从4门课程中选修2门，与顺序无关，是组合问题.故选：C2(2021全国高二课时

2、练习)下列问题不是组合问题的是( )A10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C集合a1，a2，a3，an的含有三个元素的子集有多少个？D从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【答案】D【解析】A选项中握手次数的计算与次序无关，B选项中线段的条数计算也与点的次序无关，C选项中子集的个数与该集合中元素的次序无关，故这三个问题都是组合问题.D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排

3、列问题，不是组合问题，故选：D.3(2021全国高二课时练习)以下四个问题中，属于组合问题的是( )A从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列B老师在排座次时将甲乙两位同学安排为同桌C在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星D从13位司机中任选出两位分别去往甲乙两地【答案】C【解析】只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.故选：C.4(2021全国高二课时练习)从10个不同的非零的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题中，属于组合的有( )A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响，而加法和乘法

4、运算满足交换律，交换两个数的位置对计算结果没有影响.所以属于组合的有加法和乘法，共2个.故选：B5(2021全国高二课时练习)(多选)给出下列几个问题，其中是组合问题的是( )A求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数B求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数C3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数D求由1，2，3组成无重复数字的两位数的个数【答案】AB【解析】A，B中选出元素就完成了这件事，是组合问题；而C，D中选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题.故选：AB.6(2021全国高二课时练习)(多选)下列问题属于组合问题的是( )A从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服

5、务工作B从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式D从全班同学中选出3名同学分别担任班长副班长和学习委员【答案】AC【解析】选项A. 从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作，只需选出2人即可，无排序要求，故是组合问题.选项B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数,选出3个不同数字，还需对3个数字进行排序成三位数，故是排列.选项C. 从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式, 只需选出3人即可，无排序要求，故是组合问题.选项D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长副班长和学习委员先

6、从全班选出3人，再安排其职务，即需排序，故是排列问题.所以B，D项均为排列问题，A，C项是组合问题.故选：AC7(2021全国高二课时练习)下列问题中，组合问题有_，排列问题有_.(填序号)从1，3，5，9中任取两个数相加，所得不同的和；平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数；从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动.【答案】 【解析】对于，两个数的和与顺序无关，故是组合问题；对于，两点为端点的线段与顺序无关，故是组合问题；对于，选出的同学参加不同的活动，与顺序有关，故是排列问题.故答案为：，8(2021全国高二课时练习)判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排

7、列数或组合数.(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？【答案】(1)90；(2)45；(3)45；(4)120；(5)720.【解析】(1)排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为. (2)组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为(3)组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为(4)组合问题，因

8、为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为(5)排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为.9(2021浙江丽水高二课时练习)判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A=a，b，c，d，e，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票，多少种票价?(3)元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，传递新年的祝福，贺年卡共有多少张?【答案】(1)组合问题，(2)组合问题，(3)排列问题【解析】(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，

9、与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题(3)甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题10(2021全国高二课时练习)给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？在上述问

10、题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？【答案】(2)(4)(6)是排列；(1(3)(5)是组合.【解析】(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题.(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题.(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题.(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题.(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题.【题组二 组合数的计算】1(2021全国高二课前预习)若，则_.【答案】6【解析】因为，所以，所以2(2021全国高二课时练习)计算：_.【

11、答案】210【解析】 .故答案为：.3(2021黑龙江哈尔滨三中高二月考)不等式的解集为_.【答案】【解析】由题意，得，.原不等式可化简为，即，解得.又，所以.故答案为：.4(2021全国高二课时练习)计算：(1)_(2)_【答案】124 【解析】(1)由已知得需满足，即，原式(2)因为，所以，故答案为：；5(2021全国高二课时练习)求= 【答案】【解析】对任意的且，其中且，所以，.6(2021全国高二课时练习)解方程：【答案】或【解析】因为，所以或，解得或，经检验都符合题意，所以方程的解是或.7(2021全国高二课时练习)(1)已知，求；(2)已知，求【答案】(1)；(2)【解析】(1)由

12、题设，可得，解得或(舍)，.(2)由题设，解得.8(2021全国高二单元测试)(1)计算：；(2)计算：；(3)解方程：.【答案】(1)；(2)330；(3)15.【解析】(1)原式；(2)原式；(3)原方程可化为，整理得，即，化简得，解得或(舍去)，所以原方程的解是.9(2021全国高二课时练习)已知成等差数列，求的值.【答案】91【解析】由已知得，所以整理得解得n7或n14，要求的值，故n12，所以n14，于是10(2021全国高二课时练习)求证：.【答案】证明见解析【解析】，所以等式成立.【题组三 组合运用之选人(物)】1(2021全国高二课时练习)从5名同学中推选4人去参加一个会议，则

13、不同的推选方法种数是( )A10B5C4D1【答案】B【解析】根据组合的概念，从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是种.故选：B.2(2021全国高三月考(文)2019年版高中数学人教版教材一共有5本.分别是必修第一册必修第二册选择性必修第一册选择性必修第二册选择性必修第三册，在一次数学新教材培训会议上，主持人刚好带了全套5本新教材，现从中随机抽出了3本送给在场的培训学员，则恰有1本选择性必修的新教材被抽到的概率为( )ABCD【答案】B【解析】由题设，随机抽出了3本恰有1本选择性必修的新教材的概率为.故选：B3(2021全国高二课时练习)现有16张不同的卡片，其中红色，黄

14、色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为( )A484B472C252D232【答案】B【解析】根据题意，不考虑限制，从16张卡片中任取3张，共有种取法，如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况，如果取出的3张有2张绿色卡片，则有种情况，故所求的取法共有种.故选：B.4(2021全国高二课时练习)假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( )A30B21C10D15【答案】D【解析】用“隔板法”，在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有种分配方法.故选：D.5(20

15、21全国高二课时练习)文化和旅游部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量”“体验美丽乡村、助力乡村振兴”这三个主题，遴选出“建党百年红色旅游百条精品线路”这些精品线路中包含中共一大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场2个展现改革开放和新时代发展成就的景区，中国天眼、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州花茂村5个展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则必须含有传统红色旅游景区以及展示科技强国和脱贫攻坚成果景区的不同选法种数为( )A220B150C50D1

16、00【答案】B【解析】从12个景区中选3个景区，共有种选法，不含传统红色旅游景区的选法种数为，不含展示科技强国和脱贫攻坚成果景区的选法种数为，所以所求的不同选法种数为.故选：B5(2021全国高二课时练习)从10名排球队员中选出7人参加比赛，则不同的选法种数为( )A150B120C160D110【答案】B【解析】因从10名排球队员中选出7人参加比赛，选出的7人没有顺序性，它是组合问题，所以，不同的选法种数为.故选：B6(2021全国高二单元测试)(多选)在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则( )A恰好有1件是不合格品的抽法种数为B恰好有2件是不合

17、格品的抽法种数为C至少有1件是不合格品的抽法种数为D至少有1件是不合格品的抽法种数为【答案】ACD【解析】由题意知，抽出的3件产品中恰好有1件不合格品，则包括1件不合格品和2件合格品，抽法种数为，故选项A正确；恰好有2件不合格品，则包括2件不合格品和1件合格品，抽法种数为，故选项B不正确；根据题意，至少有1件不合格品可分为有1件不合格品与有2件不合格品两种情况，则抽法种数为，故选项C正确；至少有1件不合格品的对立事件是3件都是合格品，3件都是合格品的抽取方法有种，则至少有1件是不合格品的抽法种数为，故选项D正确.故选ACD.7(2021全国高二课时练习)(多选题)某班有50名学生，其中正、副班

18、长各1人，现选派5人参加一项活动，要求正、副班长至少有1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四种计算方法正确的算法为( )A；B；C；D【答案】ABD【解析】对于A，正、副班长有1人参加的方法数有种，正、副班长有人参加的方法数有种，故总的方法数有种，故A正确；对于B，人抽取人，总的方法数为，其中没有正、副班长的方法数为，所以方法数为种，故B正确；对于C和D，正、副班长中任抽取一个，然后在剩余人中抽取个，方法数有种，减去重复的包括正、副班长的情况种.所以方法数有种，故D正确，C不正确.综上所述，本小题正确算法有种，故选：ABD.8(2021福建省漳州第一中学高二月考)(多选)男女学生共

19、有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )A1人B2人C3人D4人【答案】BC【解析】设女生有n人，则男生有8-n人，由题意得：，即，解得或，故选：BC9(2021全国高二课时练习)6人参加一项活动，要求是“必须有人去，去几个人，谁去，自己定”，则不同的去法种数为_【答案】63【解析】按照参加的人数分类，参加的人数分别为1，2，3，4，5，6，所以不同的去法有种故答案为：63.10(2021北京密云高二期末)某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名参加赈灾医疗队其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参

20、加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有2名内科医生和1名外科医生，有几种选法？【答案】(1)； (2)； (3)； (4).【解析】(1)根据题意，某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，在剩下的7人中再选3人即可，有种选法；(2)甲乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有种选法；(3)在 9人中选出5人，有种选法，甲乙均不能参加的选法有种，则甲乙两人至少有一人参加的选法有种选法；(4)由题意，分3中情况讨论：队中有2名内科医生和3名外科医生，有种选法；队中有3名内科医生和2名外科医生，有种选法；队中有4名内科医生和1名外科医生，有种选法，由分类计数原理

21、，可得种不同的选法.【题组四 组合运用之小球】1(2021全国高二课时练习)现有本书和位同学，将书全部分给这三位同学.(1)若本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？(2)若本书都不相同，共有多少种分法？(3)若本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？【答案】(1)种；(2)种；(3)150种.【解析】解：(1)根据题意，若本书完全相同，将本书排成一排，中间有个空位可用，在个空位中任选个，插入挡板，有种情况，即有种不同的分法；(2)根据题意，若本书都不相同，每本书可以分给人中任意1人，都有3种分法，则5本不同的书有种；(3)根据题意，分2步进行分析：将本书分成组，若分成

22、1、1、3的三组，有种分组方法，若分成1、2、2的三组，有种分组方法，则有种分组方法；将分好的三组全排列，对应名学生，有种情况，则有种分法.2(2021全国高二课时练习)现有编号为，的7个不同的小球(1)若将这些小球排成一排，且要求，三个球相邻，则有多少种不同的排法？(2)若将这些小球排成一排，要求球排在中间，且，各不相邻，则有多少种不同的排法？(3)若将这些小球排成一排，要求，四个球按从左到右排(可以相邻也可以不相邻)，则有多少种不同的排法？(4)若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，至多3个球，则有多少种不同的放法？【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(

23、1)把，三个球看成一个整体，则不同的排法总数为种.(2)在正中间，所以的排法只有1种，因为，互不相邻，故，三个球不可能在同在的左侧或右侧，若，有1个在的左侧，2个在的右侧，则不同的排法有，同理可得若，有2个在的左侧，2个在的右侧，不同的排法有，故所求的不同排法总数为种.(3)从7个位置中选出4个位置给，且，四个球按从左到右排，共有排法种，再排余下元素，共有种，故不同排法总数为种.(4)三个盒子所放的球数分别为或，若三个盒子所放的球数分别为，则不同排法共有，若三个盒子所放的球数分别为，则不同排法共有，故不同的排法总数为.3(2021全国高二课时练习)相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车

24、开出后再重新停入这4个车位中(1)若要求有3辆车不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？(2)若要求有2辆车不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？(3)若要求所有车都不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？【答案】(1)8种；(2)6种；(3)9种.【解析】(1)可分成两步完成：第一步，先选出停在原来车位的那辆车，有种情况，第二步，停放剩下的3辆车，有2种停法，根据分步乘法计数原理，共有种停法；(2)可分成两步完成：第一步，先选出停在原来车位的那2辆车，有种情况，第二步，停放剩下的2辆车，有1种停法，根据分步乘法计数原理，共有种停法；(3)将4辆车分别编号为，将4个停车位分别编号为一、

25、二、三、四，不妨设车先选停车位，此时有3种停法，若车选了二号停车位，那么车再选，有3种停法，剩下的车和车都只有1种停法，根据分步乘法计数原理，共有种停法4(2021全国高二课时练习)(1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？【答案】(1)90；(2)15.【解析】(1)把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行，先从6本书中取出2本给甲，有C62种取法，再从剩下的4本书中取出2本给乙，有C42种取法，最后把剩下的2本书给丙，有1种情况，则把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，有C62C42190种分法

26、；(2)无序均匀分组问题先分三步，则应是C62C42C22种方法，但是这里出现了重复不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C62C42C22种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD，AB，EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共A33种情况，而这A33种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有(C62C42C22)A3315种5(2021上海市第三女子中学高二期末)从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字

27、组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M(1)求集合M中不含有数字0的元素的个数；(2)求集合M中含有数字0的元素的个数；(3)从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)M中不含有数字0的元素：1、从1、3、5、7中任取2个数字有种取法，2、从2、4、6、8中任取2个数字有种取法，3、将前两步所得的四个数字全排列：个四位数，M中共有不含有数字0的元素个.(2)M中含有数字0的元素：1、从1、3、5、7中任取2个数字有种取法，2、从2、4、6、8中任取1个数字有种取法，3、将前两步所得的四个数字全排列，排除0在第一位的元素：个四位数

28、，M中共有含有数字0的元素个.(3)由(1)(2)知：M中共有个元素，M中能被5整除的元素，即个位为0或5的元素，1、个位为0的元素有个，2、个位为5的元素有个，M中能被5整除的元素个，则随机选择一个元素能被5整除的概率.6(2021全国高二课时练习)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰有两双；(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双【答案】(1)3360(种)；(2)45(种)；(3)1440(种)【解析】(1)从10双鞋子中选取4双，有种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数

29、原理，选取种数为N243360(种)(2)从10双鞋子中选2双有种取法，即有45种不同取法(3)先选取一双有种选法，再从9双鞋中选取2双有种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N221440(种)7(2021全国高二课时练习)6个人坐在一排10个座位上，问：(1)空位不相邻的坐法有多少种？(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？【答案】(1)种；(2)种；(3)种.【解析】6个人排有种坐法，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位.(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有种插法，故空位不相邻的坐法有种.(2)将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插，有种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有种.(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类：4个空位各不相邻有种坐法；4个空位2个相邻，另有2个不相邻有种坐法；4个空位分两组，每组都有2个相邻，有种坐法.综上所述，应有种坐法.