2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第三册） 6.2.3 排列与组合综合运用（精讲）（教师版含解析）.docx

1、6.2.3 排列与组合的综合运用(精讲)思维导图常见考法考点一 排队型【例1】(2021江西省铜鼓中学)某学习小组有个男生和个女生共人：(1)将此人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种(2)将此人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种(3)从中选出名男生和名女生分别承担种不同的任务，有多少种选派方法(4)现有个座位连成一排，仅安排个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种【答案】(1)144；(2)3720；(3)432；(4)480.【解析】(1)根据题意，分2步进行分析：，将3个男生全排列，有A33种排法，排好后有4个空位，将4名女生全排列，安排到4个空位中，有A

2、44种排法，则一共有种排法；(2)根据题意，分2种情况讨论：，男生甲在最右边，有A66720，男生甲不站最左边也不在最右边，有A51A51A553000，则有720+30003720种排法；(3)根据题意，分2步进行分析：，在3名男生中选取2名男生，4名女生中选取2名女生，有C32C42种选取方法，将选出的4人全排列，承担4种不同的任务，有A44种情况，则有种不同的安排方法；(4)根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，还有3个空座位，分2步进行分析：，将4名女生全排列，有A44种情况，排好后有5个空位，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有A52种情况

3、，则有种排法【一隅三反】1(2021全国专题练习)为了纪念高中三年舍友之间留下的深厚情感，某宿舍的7位同学决定站成一排合照留念，其中中间位置只能站甲或乙，且甲、乙、丙三人不站在两侧，则不同的安排方法有( ).A232种B464种C288种D576种【答案】D【解析】依题意，分三步进行：(1)先为中间位置选人，从甲乙中选，有种选法，(2)为甲、乙、丙中剩余的两个人选位置，不占两侧，去掉中间位置，还有4个位置可选，故有种排法，(3)剩余的同学进行全排列，有种排法，故利用乘法原理即得，不同的安排方法有种.故选：D.2(2021重庆市南坪中学校)(多选)、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有( )A

4、若、两人站在一起有48种方法B若、不相邻共有12种方法C若在左边有60种排法D若不站在最左边，不站最右边，有72种方法【答案】AC【解析】对于A，先将A,B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有种，所以A正确；对于B，先将A,B之外的3人全排列，产生4个空，再将A,B两元素插空，所以共有种，所以B不正确；对于C，5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的排法有种，所以C正确；对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有种，另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右边

5、的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法原理可知共有种，所以D不正确，故选：AC3(2021全国高二专题练习)新冠疫情防控期间，某中学安排甲乙，丙等7人负责某个周一至周日的师生体温情况统计工作，每天安排一人，且每人负责一天.若甲乙、丙三人中任意两人都不能安排在相邻的两天，且甲安排在乙，丙之间，则不同的安排方法有_种(用数字作答).【答案】480【解析】选将甲乙丙之外的四人进行排列，共有种方法，再用甲乙丙插空，甲在中间，有种方法，故共有.故答案为：4804(2021陕西渭南 )生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“五经”是儒家典籍周易、尚书、诗经、礼记、春

6、秋的合称为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则满足诗经必须排在后2节，周易和礼记必须分开安排的情形共有_【答案】28【解析】当诗经位于第5节时，周易和礼记相邻有3种情形，且周易和礼记排序有种，剩下的排序也有种，因此满足条件的情形有种；当诗经位于第4节时，周易和礼记相邻有2种情形，周易和礼记排序有种，剩下的排序也有种，此时满足条件的情形有种所以满足条件的情形共有种故答案为：28考点二 数字型【例2】(2021海南)(多选)从，中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所有组成的数中( )A奇数有个B包含数字的数有个C个位和百位数字之和为的数有个D能被

7、整除的数有个【答案】AD【解析】对于A，先从，中任取一个数放在个位，再任取两个数放在十位和百位，一共有个，故正确；对于B，先从以外的数中任取个，对个数全排列，一共有个，故错误；对于C，个位和百位的数可以是，顺序可以交换，再从剩下的数中任选一个放在十位上，所以一共有个，故错误；对于D，要使组成的数能被整除，则各位数之和为的倍数，取出的数有，共种情况，所以组成的能被整除的数有个，故正确故选：AD.【一隅三反】1(2021浙江)用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位偶数，若有且仅有2个奇数相邻，则这样的六位数共有( )A192个B216个C276个D324个【答案】A【解析】这6个数字中，偶数

8、有0，2，4，奇数有1，3，5.要使所组成的六位数为偶数，且有且仅有2个奇数相邻，先将0可能出现在首位也考虑进去.这样共有个，再减去0在首位的个数，当0在首位，且有且仅有2个奇数相邻，末位也是偶数的，共有个.所以满足题意的6位数共有个.故选：A.2(2021浙江模拟预测)若从这个9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为，则使得为偶数的不同排列方法有( )A1224B1200C1080D840【答案】A【解析】为偶数，则为偶数，有；为奇数，则为奇数，四个数均为奇数，有.故共有1224种故选：A.3(2021全国)从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2

9、和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有( )A51个B54个C12个D45个【答案】A【解析】由题意分类讨论：(1)当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有(个).(2)当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有(个).(3)当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有(个)由分类加法计数原理得共有(个)故选：A4(2021全国高三专题练习)从这9个数字中，选取4个数字，组成含有1对重复数字的五位数的种数有( )A30240B60480C15120D630【答案】A【解析】在这

10、9个数字中选取4个数字，共有种，在4个数字中取1个数字出现两遍，共有种，在五位数中取两个位置放置重复数字，共有种，剩下三个数字共有种排列方式，故共有，故选：A.考点三 分组分配型【例3】(2021全国高二课时练习)按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.【答案】(1)60

11、；(2)360；(3)15；(4)90；(5)15；(6)90；(7)30【解析】(1)无序不均匀分组问题.先选本有种选法;再从余下的本中选本有种选法;最后余下的本全选有种选法.故共有 (种)选法.(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在题的基础上,还应考虑再分配,共有.(3)无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,),则种分法中还有(,),(,),(,),(,),(,),共有种情况,而这种情况仅是,的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有.(4)有序均匀分组问题.在题的基础上再分配

12、给个人,共有分配方式 (种).(5)无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法.(6)有序部分均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种).(7)直接分配问题.甲选本有种选法,乙从余下本中选本有种选法,余下本留给丙有种选法,共有 (种)选法.【一隅三反】1(2021江苏南京市中华中学高三开学考试)2名老师和4名学生共6人参加两项不同的活动，每人参加一项活动，每项活动至少有2人参加，但2名老师不能参加同一项活动，则不同的参加方式的种数为( )A20B28C40D50【答案】B【解析】分两步：(1)安排2名老师：共种不同的参加方式；(2)安排4名学生：又分两类： 参加两项活动的学生人数

13、为一项3人，一项1人：共种不同的参加方式； 参加两项活动的学生人数各2人：共种不同的参加方式.所以，共有种不同的参加方式.故选：B.2(2021江苏南通模拟预测)在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内甲乙丙三个小区中选取6人做志愿者，协助防控和宣传工作.若每个小区至少选取1人做志愿者，则不同的选取方法有( )A10种B20种C540种D1080种【答案】C【解析】当6个人分为2，2，2三小组，分别来自3个小区，共有种，当6个人分为4，1，1三小组时，分别来自3个小区，共有种，当6个人分为3，2，1三小组时，分别来自3个小区，共有种，综上，本题的选法共有，故选：C.3(2021江苏

14、无锡市第一中学 )如图，宋人扑枣图轴是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物馆有甲、乙、丙三人想根据该图编排一个舞蹈，首先由他们来选取该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶、摇中的五个动作，每人至少模仿一个动作，且爬、扶、捡、顶、摇都要被依序模仿到，则选择的方案共有( )A60种B90种C100种D150种【答案】D【解析】根据题意，分2步进行：第一步：将5个动作分为3组，若其中一组有3个动作，其他两组各1个动作，有种分法；若其中一组有1个动作，其他两组各有2个动作，有种分法，所以，将5个动作分成3组共有种分法；第二步：将分好的三组交给甲、乙、丙三人进行模仿，有种情况，则有种选择的方案.故选：D

15、.4(2021浙江模拟预测)某重点中学安排甲、乙在内的5名骨干教师到3所乡镇学校开展支教帮扶活动，每所学校至少安排一名教师，每个教师也只能去一所学校，若甲、乙2名教师不去同一所学校，则不同的安排方法有_种【答案】114【解析】不考虑条件“甲、乙2名教师不去同一所学校”，则不同的安排方法有(种)若甲、乙2名教师去同一所学校，则不同的安排方法有(种)，所以满足题意的安排方法有(种)故答案为：114.考点四 涂色型【例4】(2021陕西金台)如图，节日花坛中有5个区域，现有四种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有( )种A36B48C54D72【答案】D【解析

16、】由题意，如图，假设5个区域为分别为1、2、3、4、5，分2种情况讨论：当选用3种颜色花卉的时，2、4同色且3、5同色，共有涂色方法种，当4种不同颜色的花卉全选时，即2、4或3、5用同一种颜色，共有种，则不同的种植方法共有种；故选：D.【一隅三反】1(2021广东深圳 )现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )A420种B780种C540种D480种【答案】B【解析】依题意可知，完成涂色任务可以使用5种，4种，或3种颜色，将区域标号如图.若用5种颜色完成涂色，则种方法；若用4种颜色完成涂色，颜色有种选法，需要2，4同色，或

17、者3，5同色，或者1，3同色，或者1，4同色，故有种；若用3种颜色完成涂色，颜色有种选法，需要2，4同色且3，5同色，或者1，4同色且3，5同色，或者1，3同色且 2，4同色，故有种.所以不同的着色方法共有种.故选：B.2(2021天津滨海新)如图，现要用四种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为( )ABCD【答案】A【解析】将四个区域标记为，如下图所示：第一步涂：种涂法，第二步涂：种涂法，第三步涂：种涂法，第四步涂：种涂法，根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法，故选：A.3(2021全国(理)现有5种不同颜色的染料，要对

18、如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是A120B140C240D260【答案】D【解析】由题意，先涂A处，有5种涂法，再涂B处4种涂法，第三步涂C，若C与A同，则D有四种涂法，若C与A不同，则D有三种涂法，由此得不同的着色方案有54(14+33)=260种，故选D.4(2021吉林汪清县汪清第四中学)如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有( )种.A24B48C72D96【答案】C【解析】首先涂区域有种，其次区域有种，再次区域有种，若区域与区域同色有种，则区

19、域有种，若区域与区域不同色有种，则区域有种，所以不同的着色方法共有，故选：C.5(2021上海市金山中学高二期末)用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有( )A种B种C种D种【答案】D【解析】分以下几种情况讨论：若种颜色全用上，先涂、三点，有种，然后在、三点中选择两点涂另外两种颜色，有种，最后一个点有种选择，此时共有种；若用种颜色染色，由种选择方法，先涂、三点，有种，然后在、三点中需选择一点涂最后一种颜色，有种，不妨设涂最后一种颜色的为点，若点与点同色，则点只有一种颜色可选，若点与点同色，则点有两种颜色可选，此时共有种；若用种

20、颜色染色，则有种选择方法，先涂、三点，有种，点有种颜色可选，则、的颜色只有一种选择，此时共有.由分类加法计数原理可知，共有种涂色方法.故选：D.考点五 小球型【例5】(2021福建省泰宁第一中学高二期中)现有4个不同的球，和4个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)共有多少种不同的方法？(2)若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？(3)若恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？(4)若恰有两个盒子不放球，共有多少种放法？【答案】(1)256 (2)24 (3)144 (4)84【解析】(1)将4个不同的球放入4个不同的盒子，则共有44=256种不同的放法，(2)将4个不同的球放入4个不同的盒子，若没个

21、盒子不空，则共有=24种不同的放法，(3)将4个不同的球放入4个不同的盒子，恰有一个盒子不放球，则共有=144种不同的放法，(4)将4个不同的球放入4个不同的盒子，恰有两个盒子不放球，则共有()=84种不同的放法，【一隅三反】1(2021山东省潍坊第四中学)(多选)已知甲袋中有5个大小相同的球，4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小相同的球，4个红球，2个黑球，则( )A从甲袋中随机摸出一个球是红球的概率为B从乙袋中随机摸出一个球是黑球的概率为C从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为D从甲、乙袋中各随机模出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率为【答案】ACD【解析】对选项A，从甲袋中

22、随机摸一个球是红球的概率为，故A对；对选项B，从乙袋中随机摸一个球是黑球的概率为，故B错；对选项C，从甲袋中随机摸2个球，则2个球都是红球的概率，故C对；对选项D，从甲、乙袋中各随机摸出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率；故选：ACD.2(2021江苏常州市西夏墅中学 )(多选)现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是( )A若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D若编号为1，2，3，4的小球放入编号

23、为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种【答案】BCD【解析】对于A，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有种放法，故A错误；对于B，若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有种放法，故B正确；对于C，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有种放法，故C正确；对于D，若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，

24、若代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：，共9种放法，故D正确.故选：BCD.3(2021江苏吴江中学高二月考)(1)把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？(2)把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？(3)把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？(4)把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？【答案】(1)1560种(2)65种 (3)10种 (4)2种【解析】解：(1)6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4个不同的箱子，故不同的方法共有(种)(2)6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4个相同的箱子，故不同的方法共有(种)(3)6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，则采用插板法，在个空中插入块板，则不同的方法共有(种)(4)把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少一个小球，故可以首先每个箱子放入个小球，还剩下个小球，则这个小球，只有两种结果，即两个在一个箱子中，或两个小球分别在一个箱子中，故只有种放法.