2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第三册） 7.3 离散型随机变量的数字特征（精讲）（教师版含解析）.docx

1、7.3 离散型随机变量的数字特征(精讲)思维导图常见考法考点一 均值方差的性质(小题)【例1-1】(2021江西赣州市第一中学高二期末)已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为( )1234ABCD【答案】A【解析】因为，所以，所以，又，且，由，得.故选：A【例1-2】(2021吉林长春市第二实验中学高二期末(理)随机变量的分布列如表，则的值为( )X123P0.20.40.4A4.4B7.4C21.2D22.2【答案】B【解析】由条件中所给的随机变量的分布列可知：.故选：B【例1-3】(2021全国高二单元测试)(多选)设离散型随机变量的分布列为012340.40.10.20.2

2、若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有( )AB，C，D，【答案】CD【解析】由概率的性质可得，解得，,故选：CD【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)下面说法中正确的是( )A离散型随机变量的均值E()反映了取值的概率的平均值B离散型随机变量的方差D()反映了取值的平均水平C离散型随机变量的均值E()反映了取值的平均水平D离散型随机变量的方差D()反映了取值的概率的平均值【答案】C【解析】由E()与D()的意义，即期望、方差分别表示这组数据的平均水平以及波动情况可知，答案为C.故选：C2(2021全国高二课时练习)(多选)下列说法中错误的是( )A离散型随机变量的均值反映了取值的概率的

3、平均值B离散型随机变量的方差反映了取值的平均水平C离散型随机变量的均值反映了取值的平均水平D离散型随机变量的方差反映了取值的概率的平均值【答案】ABD【解析】离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，故C正确，A错误；离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，故B、D错误.故选：ABD3(2021全国高二课前预习)(多选)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)6.3，则( )X4a9P0.50.1bAa7Bb0.4CE(aX)44.1DE(bXa)2.62【答案】ABC【解析】由题意和分布列的性质得0.50.1b1，且E(X)40.50.1a9b6.3，解得

4、b0.4，a7.E(aX)aE(X)76.344.1，E(bXa)bE(X)a0.46.379.52，故ABC正确4(2021全国高二课时练习)(多选)设，随机变量的分布列是( )012则当在上增大时( )A减小B增大C先减小后增大D先增大后减小【答案】BD【解析】解：由题意，所以，所以在上随增大而增大；在上随增大而增大，在上随增大而减小，即先增大后减小故选：BD考点二 均值方差的应用(解答题)【例2】(2021河北承德第一中学高二月考)袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同.(1)从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；(2)从袋中任取2个球，记取到红球的个数为

5、，求的分布列、期望和方差.【答案】(1)；(2)的分布列见解析，期望为，方差为.【解析】(1)从袋中任取3个球，共有种情况，若从袋中任取3个球中，恰好取到2个黄球共有种，故从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率为；(2)由题意可知，可能取值为，0，1，2，故的分布列如下表：012从而期望，方差.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)假设在A军与B军的某次战役中，A军有8位将领，善用骑兵的将领有5人；B军有8位将领，善用骑兵的将领有4人.(1)现从A军将领中随机选取4名将领，求至多有3名是善用骑兵的将领的概率；(2)在A军和B军的将领中各随机选取2人，X为善用骑兵的将领的人数，写出X的分

6、布列，并求.【答案】(1)(2)分布列见解析，【解析】(1)若从A军将领中随机选取4名将领，则有4名是善用骑兵的将领的概率为，故从A军将领中随机选取4名将领，至多有3名是善用骑兵的将领的概率为.(2)由题意知，则：，所以X的分布列为：X01234P.2(2021全国高二课时练习)甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲，乙命中的概率分别为.(1)求第三次由乙投篮的概率.(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、期望及标准差.【答案】(1)；(2)分布列见解析，【解析】(1)因为第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一

7、次甲未命中第二次乙命中，所以;(2)P(0)；P(1)；P(2).故的分布列为：012PE()，D()，所以.3(2021全国高二课时练习)袋中有大小相同的四个球，编号分别为1,2,3,4，每次从袋中任取一个球，记下其编号.若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球.(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；(2)若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差.【答案】(1)；(2)分布列见解析，。【解析】(1)记“第二次取球后才停止取球”为事件A.易知第一次取到偶数球的概率为，第二次取球时袋中有三个奇数，所以第二次取

8、到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，所以P(A)；(2)若第一次取到2，则第二次取球时袋中有编号为1,3,3,4的四个球；若第一次取到4，则第二次取球时袋中有编号为1,2,3,3的四个数，所以X的可能取值为3,5,6,7.所以P(X3)，P(X5)，P(X6)，P(X7)，所以X的分布列为：X3567P均值E(X)，方差D(X).考点三 均值方差做决策【例3】(2021全国高二课时练习)已知甲乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0.5，0.1，乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，甲乙射击结果互不影响.记甲乙两名射手在一次射击中击

9、中的环数分别为，.(1)求，的分布列；(2)从数学期望与方差两方面比较甲、乙两名射手的射击技术.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】(1)依题意，有，解得.乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，且每次射击击中的环数均大于6环，乙击中7环的概率为，的分布列分别为109870.50.30.10.1109870.30.30.20.2(2)由(1)可得，.由于，说明甲平均击中的环数比乙高，又，说明甲击中的环数比乙击中，比较稳定，从而可知甲比乙的射击技术好.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为

10、，且和的分布列如下表：012 012试对这两名工人的技术水平进行比较【答案】乙的技术更稳定【解析】工人甲生产出次品数的均值和方差分别为，工人乙生产出次品数的均值和方差分别为，由知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但，可见乙的技术更稳定2(2021全国高二课时练习)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额，个球除所标面值外完全相同(1)若袋中所装的个球中有个所标的面值为元，其余个所标的面值均为元求顾客所获的奖励额为元的概率；顾客所获的奖励额的分布列与均值(2)商场对奖励

11、总额的预算是元，并规定袋中的个球只能由标有面值元和元的两种球组成，或标有面值元和元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获得奖励额相对均衡，请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由【答案】(1)；分布列见解析，；(2)应该选择方案2，理由见解析.【解析】(1)设顾客所获的奖励额为依题意，得，即顾客所获的奖励额为元的概率为依题意，得随机变量的所有可能取值为，即随机变量的分布列为所以顾客所获的奖励额的均值为(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为元所以先寻找均值为元的可能方案对于由标有面值为元和元组成的情况，如果选择的方案，因为元是面值之和的最大值，所以

12、均值不可能为元；如果选择的方案，因为元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为元，因此可能的方案是，记为方案1；对于由标有面值为元和元组成的情况，同理可排除和的方案，所以可能的方案是，记为方案2对于方案1，即方案，设顾客所获的奖励额为，则随机变量的分布列为：，；对于方案2，即方案，设顾客所获的奖励额为，则随机变量的分布列为：，；因为两种方案所获的奖励额都符合要求，但方案2所获的奖励额的方差比方案1的小，即方案2使每位顾客所获的奖励额相对均衡，所以应该选择方案23(2021新疆巴楚县第一中学高二月考(理)甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，且X和Y的分布

13、列如下表：X0120.60.10.3Y0120.50.30.2根据次品数的均值和方差，试对这两名工人的技术水平进行比较.【答案】两者的均值相同，但乙的稳定性比甲好，故可认为乙的技术水平更高.【解析】，.，.，两者的均值相同，但乙的稳定性比甲好，故可认为乙的技术水平更高.4(2021黑龙江哈尔滨三中高二月考)某精密仪器生产车间每天生产(充分大，且)个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产零件的数据和经验，知这些零件的长度(单位：)服从正态分布，且相互独立.若满足，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格.(1)

14、假设某一天小张抽查出不合格的零件数为，求及的数学期望；附：若随机变量服从正态分布，则，.(2)小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件？试说明理由.【答案】(1)0.006，；(2)需要，理由见解析.【解析】(1)由于车间每天生产的零件很多，小张随机抽取50个零件可视为有放回地抽取，各次试验之间的结果是独立的.又，所以，因此.，故.(2)由题意可知不合格率为.若不再检查其余所有零件，则损失的期望为；若检查其余所有零件，总检查成本为，由于，当充分大时，所以为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件.