2023高考数学新教材数列十大微专题8-数列中的高斯取整函数研究（Word版附解析）.docx

1、数列中的高斯取整函数研究一基本性质.1.高斯取整函数：表示实数的整数部分，即是不大于实数的最大整数. ，常称为的“小数部分”或“尾数部分”.2.高斯函数图像及小数部分图像.取整函数的图象. 小数函数：的图象性质： 定义域：； 性质：定义域：； 值域：； 值域：； 图象：台阶型线段. 周期性：.3.函数性质：显然三者之间的关系：且（1）高斯函数是一个分段表达的不减的无界函数，即当时，有（2），（3）（4）若，则，其中（5），有（6）（7）若整数满足（，是整数且），则（8）是正实数，是正整数，则在不超过的正整数中，的倍数共有个. 注：上述结论中，第（7）条结论非常重要，它刻画了高斯取整函数与带余除

2、法的基本练习，因此，我们就可通过带余除法和同余的基本关系，通过分组求和去掉从而计算出结果，这是强基和联赛一试中一类常见问题.4.补充知识. 同余的概念与性质.（1）设，若、的差被整除，即. 我们就说、关于模同余（同余于模），或简称同余，记作：. 否则，称关于模不同余，记作：.（2）同余的性质：（1）自反性：；（2）对称性：若，则；（3）传递性：若且，则；（4）若，则；（5）若，则.特别地，若，则二高考试题中的应用.例1.(2010陕西高考)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整

3、函数(表示不大于的最大整数)可以表示为 ( ) A. B. C. D.例2.(2016高考数学课标卷理科)为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如（1）求；（2）求数列的前1 000项和解：（1）设的公差为，据已知有，解得所以数列的通项公式为，（2）因为所以数列的前项和为例3已知数列满足，用表示不超过的最大整数，则（）A1B2C3D4解析：因为，所以，即，所以，由，可得，则数列是递增数列，则，则.故选：B.例4函数称为高斯函数，表示不超过，x的最大整数，如，.已知数列满足，且，若，则数列的2022项和为_.解析：， 当时，时，；当时，时，；当时，时，；当时，时，；所以故答案为：4

4、959例5在；公差为，且成等比数列；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，_.(1)求数列的通项公式；(2)令，其中表示不超过的最大整数，求的值.解析：（1）依题意，数列是公差不为零的等差数列，设其首项为，公差为.若选，则，解得，所以.若选，则，解得，所以.若选，则，所以.（2）若选，则当时，有：，所以.若选，则当时，有：，所以.若选，,则当时，有：，所以.例6为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如，.(1)求，；(2)求数列的前项和.解析：(1)由题意得可得：，所以，所以，所以，所以，.(2)由（1）知：，时，当时，当时，当时，所以