2024届高考一轮复习专题训练26 数列通项公式的多种妙解方式（十六大经典题型）（原卷附答案）.docx

1、考向26 数列通项公式的多种妙解方式 经典题型一：观察法经典题型二：叠加法经典题型三：叠乘法经典题型四：待定系数法经典题型五：同除以指数经典题型六：取倒数法经典题型七：取对数法经典题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题经典题型九：周期数列经典题型十：前n项积型经典题型十一：“和”型求通项经典题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型经典题型十三：因式分解型求通项经典题型十四：其他几类特殊数列求通项经典题型十五：双数列问题经典题型十六：通过递推关系求通项类型 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项类型 公式法：若已知数列的前项

2、和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）类型 累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得：若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；若是关于的二次函数，累加后可分组求和； 若是关于的分式函数，累加后可裂项求和类型 累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后

3、用这种方法求解类型 构造数列法：（一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列为等差数列； （2）若时，数列为等比数列；（3）若且时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列求出的通项再转化为类型（累加法）便可求出（二）形如型的递推式：（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数

4、列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型求出 ，再用类型（累加法）便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：，两边同时乘以得，由两式相减得，即，在转化为类型便可求出法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型的方法解决（3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型（

5、累加法），求出之后得类型 对数变换法：形如型的递推式：在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）类型 倒数变换法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求类型 形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式（1）若数列的前项和为，

6、通项公式为，则注意：根据求时，不要忽视对的验证（2）在数列中，若最大，则若最小，则经典题型一：观察法1（2022全国高三专题练习）数列的前4项为：，则它的一个通项公式是（）ABCD2（2022全国高三专题练习（文）如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为（）A2nBCD3（2022全国高三专题练习）“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲

7、线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个正三角形（图）的边长为1，则第5个图形的周长为_.经典题型二：叠加法4（2022全国高三专题练习）在数列中，已知，.若，求数列的通项公式.5（2022全国高三专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式；6（2022全国高三专题练习）已知数列中，中，（nN*）中，则_， _.经典题型三：叠乘法7（2022全国高三专题练习）在数列中，（nN*），且，则数列的通项公式_.8（2022全国高三专题练习）设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=_9（2022

8、全国高三专题练习）数列满足：，则的通项公式为_.经典题型四：待定系数法10（多选题）（2022广东惠州高三阶段练习）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（）AB数列是等比数列CD11（2022河南安阳三模（文）已知数列满足，且前8项和为506，则_.12（2022河北衡水高三阶段练习）已知数列的前项和为，且满足(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前10项和13（2022全国高三专题练习）设数列满足，(1)求证：为等比数列，并求的通项公式；(2)若，求数列的前项和14（2022全国高三专题练习）在数列中，且.(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)令，求数列的前项

9、和.经典题型五：同除以指数15（2022广东模拟预测）已知数列中，且，(1)求证：数列是等比数列；(2)从条件，中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答求数列_的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分16（2022全国高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式.17（2022全国高三专题练习）在数列中，则的值为()ABCD无法确定经典题型六：取倒数法18（2022全国高三竞赛）数列满足，则通项_19（2022全国高三专题练习）已知数列满足，且，则数列_20（2022全国高三专题练习）数列满足，则下列结论错误的是（）AB是等比数列CD21（2022全国高三专题练习）已知数列满足，

10、则满足的n的最大取值为（）A7B8C9D10经典题型七：取对数法22（2022湖南长郡中学高三阶段练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令，则_，_.23（2022全国高三专题练习（文）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列如果函数，数列为牛顿数列，设，且，数列的前项和为，则_经典题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项

11、问题24（2022江苏南通高三开学考试）从条件，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为，_.(1)求的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，是否存在正整数使得.25（2022河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文）记各项均为正数的等比数列的前项和是，已.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.26（2022全国高三专题练习）设数列的前项和为，. 求证：数列是等差数列.经典题型九：周期数列27（2022上海中学高二期末）数列满足，则_.28（2022全国高三专题练习）数列满足，若对于大于2的正整数，则_.29（2022河南模拟预测（文）设数列满足且，则（）ABCD330（

12、2022全国高三专题练习）设数列的通项公式为，其前项和为，则（）ABC180D240经典题型十：前n项积型31（2022全国高三专题练习）设数列的前n项积为，且.(1)求证数列是等差数列；(2)设，求数列的前n项和.32（2022全国高三专题练习）记为数列的前项积，已知，则= （）ABCD33（2022全国高三专题练习）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知，则_.经典题型十一：“和”型求通项34（2022山西太原市外国语学校高三开学考试）在数列中，且，.(1)求的通项公式；(2)若，且数列的前项n和为，证明：.35（2022全国高三专题练习）数列满足，且其前项和为.若，则正整数（）A99

13、B103C107D19836（2022黑龙江哈师大附中高三阶段练习（理）已知数列的前项和为，若，且，则的值为（ ）A8B6C5D4经典题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型37（2022河南高二阶段练习（文）数列满足，则_.38（2022全国高三专题练习）已知数列中，则（）ABCD39（2022广东高三开学考试）已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项的和.40数列满足，前16项和为540，则41（2022夏津县校级开学）数列满足，前16项和为508，则经典题型十三：因式分解型求通项42（2022秋安徽月考）已知正项数列满足：，（）判断数列是否是等比数列，并说明理由；（）若，设，

14、求数列的前项和43（2022怀化模拟）已知正项数列满足，设（1）求，；（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；（3）的通项公式，并求其前项和为44（2022秋仓山区校级月考）已知正项数列满足且（）证明数列为等差数列；（）若记，求数列的前项和经典题型十四：其他几类特殊数列求通项45（2022全国高三专题练习）在数列中，已知各项都为正数的数列满足.(1)证明数列为等比数列；(2)若，求的通项公式.46（2022湖北天门市教育科学研究院模拟预测）已知数列满足，且.(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.47（2022内蒙古赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理）设数列的前n项

15、和为，满足，则下列说法正确的是（）ABCD经典题型十五：双数列问题48（2022全国高三专题练习）若数列和满足，则（）ABCD49（2022浙江嘉兴一中高一期中）数列满足，则_.50（2022全国高三专题练习）已知数列和满足，则_，_经典题型十六：通过递推关系求通项51（2022全国模拟预测）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍是战国策齐策，红楼梦第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下n个圆环所需的最少步骤数，且，则取下全部9个圆环步骤数最少为（）A127B256C341D51252（多选题）（2022全国高三专题练习）南宋数学家杨辉所著的详解九章算

16、法商功中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（）ABCD53（2022广东东莞四中高三阶段练习）有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束则_；该棋手获胜的概率为_54（2022广东佛山三模）某挑战游戏经过大量实

17、验，对每一道试题设置相应的难度，根据需要，电脑系统自动调出相应难度的试题给挑战者挑战，现将试题难度近似当做挑战成功的概率已知某挑战者第一次挑战成功的概率为，从第二次挑战开始，若前一次挑战成功，则下一次挑战成功的概率为；若前一次挑战失败，则下一次挑战成功的概率为记第次挑战成功的概率为则_；_1（2022浙江高考真题）已知数列满足，则（）ABCD2（2022全国高考真题（理）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，依此类推，其中则（）ABCD3（2021全国高考真题（理）等比数列的公比为q，前n项

18、和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4（2022北京高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足给出下列四个结论：的第2项小于3；为等比数列；为递减数列；中存在小于的项其中所有正确结论的序号是_5（2022全国高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列(1)求的通项公式；(2)证明：6（2022全国高考真题（理）记为数列的前n项和已知(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值7（2021浙江高考真题）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项；（2

19、）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.经典题型一：观察法1【答案】C【解析】将可以写成，所以的通项公式为；故选:C2【答案】B【解析】依题意，每一行第一个数依次排成一列为：1，3，5，7，9，它们成等差数列，通项为，所以第n行的首尾两个数均为.故选：B3【答案】【解析】由题意知下一个图形的边长是上一个图形边长的，边数是上一个图形的4倍，则周长之间的关系为，所以是公比为的等比数列，而首项，所以，当时，“雪花”状多边形的周长为.故答案为：经典题型二：叠加法4【解析】由题意， ，得：，运用累加法： ， ，即，当时，当时，成立，所以5【解析】因为，所以，所以累加可得又，所以，

20、所以经检验，也符合上式，所以6【答案】 7 【解析】依题意，而，则，而满足上式，所以，.故答案为：7；经典题型三：叠乘法7【答案】【解析】由，得，则，累乘得，所以.故答案为：.8【答案】【解析】由，得， ，又满足上式，.故答案为：.9【答案】【解析】由得，则，即，又，所以.故答案为：.经典题型四：待定系数法10【答案】AB【解析】，可得，又数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故B正确；则，故C错误；则，故A正确；，故D错误.故选：AB.11【答案】【解析】由题意得：，即数列是以为首项，为公比的等比数列，记数列的前项和为解得：故答案为：12【解析】(1)当时，即，解得；当时，两式作差得，即，又

21、，数列是以为首项，3为公比的等比数列，(2)，则13【解析】（1）因为，所以，即又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以（2）由（1）可得，所以，所以，得即，所以；14【解析】（1）因为，所以，又，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.故，即.（2）由（1）得，则，当时，当时，综上所述，经典题型五：同除以指数15【解析】(1)因为且，所以当时，所以，即所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，因为，时，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列(2)选：因为，所以，则选：因为，所以，则（i）（ii）（i）（ii）得16【解析】由两边同除以得，令，则，设，解得，而，数列是以为首

22、项，为公比的等比数列，得17【答案】A【解析】，解得.，两式相减得，是以3为首项，2为公比的等比数列，两边同除以，则，是以为公差，为首项的等差数列，.故选：A.经典题型六：取倒数法18【答案】【解析】，即故答案为19【答案】【解析】由两边取倒数可得，即所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，所以；故答案为：20【答案】D【解析】由，且，则，以此类推可知，对任意的，所以，所以，且，所以，数列是等差数列，且该数列的首项为，公差为，所以，则，其中，C对；，所以，数列是等比数列，B对；由等差中项的性质可得，A对；由上可知，则，所以，D错.故选：D.21【答案】C【解析】因为，所以，所以，又，数列是

23、以1为首项，4为公差的等差数列所以，所以，由，即，即，解得，因为为正整数，所以的最大值为；故选：C经典题型七：取对数法22【答案】 14 【解析】设第次构造后得到的数列为1，2.则，则第次构造后得到的数列为1，2.则，又，数列是以为首项，3为公比的等比数列，.故答案为：；23【答案】【解析】，又，又，又，且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，的前项和为，则.故答案为：.经典题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题24【解析】（1）若选择，因为，所以，两式相减得，整理得,即，所以为常数列，而，所以；若选择，因为，所以，两式相减，得，因为，所以是等差数列，所以；若选择，由变形得，所以，由题

24、意知，所以，所以为等差数列，又，所以，又时，也满足上式，所以；（2）若选择或，所以所以， 两式相减得，则，故要使得，即，整理得，当时，所以不存在，使得.若选择，依题意，所以，故，两式相减得：，则，令，则，即，令，则，当时，又，故，综上，使得成立的最小正整数的值为5.25【解析】（1）设等比数列的公比为.因为，所以当时，解得；当时，则.因为是等比数列，所以，即，整理得，解得（舍去）或.所以，所以.（2）由（1）得，所以则-得所以.26【解析】，则，所以，有，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.经典题型九：周期数列27【答案】.【解析】由题干中递推公式，可得：，数列是以6为最小正周期的周期数列，

25、故答案为.28【答案】【解析】由题意知：，故是周期为3的周期数列，则.故答案为：.29【答案】D【解析】由题意可得：，据此可得数列是周期为4的周期数列，则.故选：D30【答案】D【解析】当，时，；当，时，；当，时，；当，时，.，.故选：D经典题型十：前n项积型31【解析】(1)因为数列的前n项积为，且，当n=1时，则，.当n2时，所以是以为首项，为公差的等差数列；(2)由（1）知数列，则由得，所以，所以.32【答案】C【解析】则，代入，化简得：，则.故选:C.33【答案】【解析】因为，所以，（），（）, 又因为，当n=1时，得，所以， 当时， ，即，所以是等差数列，首项为，公差， 所以， 所以

26、，满足， 故，即， 所以（），两式相除得：， 所以（），所以，所以. 故答案为：.经典题型十一：“和”型求通项34【解析】（1）因为，所以当，两式相减，得，即，当时，所以当时，所以当时，当时，上式成立；当时，上式不成立，所以（2）证明：由（1）知当时，所以当，；当时，.综上，.35【答案】B【解析】由得，为等比数列，为奇数时，；为偶数时，只能为奇数，为偶数时，无解，综上所述，.故选：B.36【答案】C【解析】对于，当时有，即，两式相减得：，由可得即从第二项起是等比数列，所以，即，则，故，由可得，故选C.经典题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型37【答案】【解析】，得，所以的偶数项构成等差数列，首

27、项为，公差为，.故答案为：38【答案】D【解析】当为奇数时，即数列中的奇数项依次构成首项为，公差为的等差数列，所以，当为偶数时，则，两式相减得，所以，故，故选：D.39【解析】（1）当为奇数时，所以所有奇数项构成以为首项，公差为1的等差数列，所以，当为偶数时，所以所有偶数项构成以为首项，公比为3的等比数列，所以，所以；（2）.40【解析】解：因为数列满足，当为奇数时，所以，则，当为偶数时，所以，故，因为前16项和为540，所以，所以，解得故答案为：41【解析】解：由，当为奇数时，有，可得，累加可得；当为偶数时，可得，可得，即故答案为：3经典题型十三：因式分解型求通项42【解析】解：（），又数列

28、为正项数列，当时，数列不是等比数列；当时，此时数列是首项为，公比为2的等比数列（）由（）可知：，43【解析】解：（1），可得，则，数列为首项为1，公比为2的等比数列，可得；，；（2）数列为等差数列，理由：，则数列为首项为0，公差为1的等差数列；（3），前项和为44【解析】证明：由，变形得：，由于为正项数列，利用累乘法得：从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列（）解：由（）知：，从而经典题型十四：其他几类特殊数列求通项45【解析】（1）各项都为正数的数列满足，得，即所以数列是公比为的等比数列；（2）因为，所以，由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，所以，于是，又因为，所以，即.46

29、【解析】(1)因为所以又因为所以是以4为首项，2为公比的等比数列.所以变形得所以是以为首项，1为公差的等差数列所以，所以(2)因为所以-得：所以47【答案】A【解析】因为数列的前n项和为，满足，所以当时， ，解得或，当时，整理得，所以数列是以1为公差的等差数列，当时，所以或所以，首项满足此式，或首项满足此式，所以或，所以CD错误，当时，当时，所以A正确，B错误，故选：A经典题型十五：双数列问题48【答案】C【解析】因为， ， 所以，即，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，又，即，所以所以；故选：C49【答案】.【解析】由条件得，又，数列是首项为3，公差为2的等差数列，又由条件得，且，数

30、列是首项为1，公比为的等比数列，50【答案】 【解析】由题设，则，而，所以是首项、公比均为2的等比数列，故，则，令，则，故，而，所以是常数列，且，则.故答案为：，.经典题型十六：通过递推关系求通项51【答案】C【解析】由观察可得若时，当n为奇数时，当n为偶数时，当n为奇数时，,又，故选:C52【答案】BCD【解析】由题意得，以上n个式子累加可得，又满足上式，所以，故A错误；则，得，故B正确；有，故C正确；由，得，故D正确.故选：BCD.53【答案】【解析】由题，因为，故，由，所以，累加可得：故答案为：；.54【答案】 ，【解析】表示第2次挑战成功的概率，则可能为第一次挑战成功，第二次挑战成功，

31、或第一次挑战失败，第二次挑战成功，所以.设第n-1次挑战成功的概率为，则所以，即，又所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，故答案为：；，1【答案】B【解析】，易得，依次类推可得由题意，即，即，累加可得，即，即，,又，累加可得，即，即；综上：故选：B2【答案】D【解析】因为，所以，得到，同理，可得，又因为，故，；以此类推，可得，故A错误；，故B错误；，得，故C错误；，得，故D正确.故选：D.3【答案】B【解析】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件故选：B4【答案】【

32、解析】由题意可知，当时，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，则，整理可得，因为，解得，对；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，错；当时，可得，所以，数列为递减数列，对；假设对任意的，则，所以，与假设矛盾，假设不成立，对.故答案为：.5【解析】（1），,又是公差为的等差数列，,当时，,整理得：,即,，显然对于也成立，的通项公式；（2） 6【解析】（1）因为，即，当时，得，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列（2）由（1）可得，又，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时7【解析】（1）当时，当时，由，得，得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，两式相减得成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，得；时，得；所以.