2024届高考数学解析几何专项练【配套新教材】（12）.docx

1、2024届高考数学解析几何专项练【配套新教材】（12）1.如图，已知椭圆.设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段AB上，直线PA，PB分别交直线于C，D两点.（）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（）求的最小值.2.在平面直角坐标系中,已知双曲线的离心率为,直线与双曲线C交于两点,点在双曲线C上.(1)求线段中点的坐标;(2)若,过点D作斜率为的直线与直线交于点P,与直线交于点Q,若点满足,求的值.3.已知椭圆的一个顶点为，焦距为.（）求椭圆E的方程；（）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当时，求k的值.4.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴

2、为x轴、y轴，且过，两点.（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，证明：直线HN过定点.5.已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点，在C上，且，.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：M在AB上；.6.已知椭圆的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点，的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点.（1）求椭圆C的方程.（2）试探究点M，N的横坐

3、标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.7.已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）求l的斜率；（2）若，求的面积.8.已知抛物线，抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3.（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D.是否存在这样的直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.9.在平面直角坐标系Oxy中，点M到点的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.（1）求轨迹C的方程；（2）设斜率为k的直线l过定点，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、

4、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.10.已知椭圆的离心率为，且点在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程；（2）已知，设点（且）为椭圆E上一点，点B关于x轴的对称点为C，直线AB，AC分别交x轴于点M，N，证明：.（O为坐标原点）答案以及解析1.答案：（）（）解析：（）设是椭圆上任意一点，由，知，故的最大值是，即点P到椭圆上点的距离的最大值为.（）易知直线AB的斜率存在，设直线AB：，联立直线AB与椭圆的方程，整理得，设，则，.直线PA的方程为，代入，整理得.同理可得，则，当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最小值，为.2.答案：(1)(2)解析：本题考查双曲线的方程、直线与双曲线的综合应用

5、.(1)依题意,双曲线C的离心率,则, 故双曲线C的方程为.联立得,且.设,则.设线段的中点为,故,将代入直线,得,故线段的中点坐标为.(2)依题意,则双曲线C的方程为.直线,又点在双曲线C上,所以,故直线的方程为.由题可知,点均不重合,由易知为的外心,设,则,即,即.线段的垂直平分线的方程为,线段的垂直平分线的方程为.联立得联立解得,同理.故,故解得代入方程,得,即,则.3.答案：（）（）-4解析：（）依题意可知，得，故椭圆E的方程为.（）由题可知直线BC的方程为，设，联立直线BC和椭圆E的方程，得，整理得，由得，易知直线AB的斜率，直线AB的方程为，令，可得点M的横坐标，同理可得点N的横坐

6、标.，得.故k的值为-4.4.答案：（1）；（2）直线HN过定点解析：（1）椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，可设椭圆E的方程为，又椭圆E过，得，E的方程为.（2）当直线MN的斜率不存在时，由，得，.结合题意可知，过M且平行于x轴的直线的方程为.易知点T的横坐标，直线AB的方程为即，由，得，.，即.当直线MN的斜率存在时，如图，设，.由，得，.过M且平行于x轴的直线的方程为，与直线AB的方程联立，得，得，.，即.令，得.，直线HN过定点.综上，直线HN过定点.5、（1）答案：解析：由题意得，解得，所以双曲线C的方程为.（2）答案：见解析解析：设直线PQ的方程为，由题意知.由得.

7、，故，故，.设，则，于是，.因为，所以，.因此，.因此点M的轨迹方程为.选择作为条件，证明成立.由可得直线AB的方程为.点M的坐标满足，解得，.设，.由，解得，.同理可得，.于是，.因此点M为AB的中点，即.选择作为条件，证明成立.当直线AB的斜率不存在时，点M与点重合，此时点M不在直线上，矛盾.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，.由，解得，.同理可得，.于是，.因为点M在直线上，所以，即.因此.选择作为条件，证明成立.由可得直线AB的方程为，设，.由，解得，.同理可得，.设AB的中点为，则，.因为，所以点M在AB的垂直平分线上，即M在直线上.由，得，即M恰为AB的中点.因此点M在直

8、线AB上.6.答案：（1）；（2）是定值，.解析：解：（1）由已知，A，B的坐标分别是，由于的面积为3，又由，化简得，两式联立解得：或（舍去），椭圆方程为；（2）设直线PQ的方程为，P，Q的坐标分别为，则直线BP的方程为，令，得点M的横坐标，直线BQ的方程为，令，得点N的横坐标，把直线代入椭圆得，由韦达定理得，是定值.7、（1）答案：-1解析：由题设得，解得.所以C的方程为.设l的斜率为k，.当时，.由得，故.由得，即.由得，即.同理可得.由得，即.由得.因此l的斜率为-1.（2）答案：解析：由题意，不妨设AP的倾斜角为，且，则为.C的渐近线的斜率为，由得，得，所以，.直线AP的方程为，代入得

9、，所以，.直线AQ的方程为，代入得，所以，.又易知，所以的面积为.8.答案：（1），准线方程为（2）存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或解析：（1）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以，解得，所以，所以准线方程为.（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，.由消去y，得.令，解得.所以且.由根与系数的关系得，.解法一：直线BF的方程为，又，所以，所以，因为，所以直线DE与直线AF的斜率相等.又，所以.整理得，即，化简得，即.所以，整理得，解得.经检验，符合题意.所以存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或.解法二：因为，所以，所以.整理得，即，整理得.解得，经检验，符合题意.所以存

10、在这样的直线l，使得，直线l的方程为或.9.答案：（1）当时，点M的轨迹C的方程为，当时，点M的轨迹C的方程为（2）当时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点解析：（1）设点，依题意，得，即，化简并整理，得.故当时，点M的轨迹C的方程为，当时，点M的轨迹C的方程为.（2）记，依题意，可知直线l的方程为.联立可得.（）当时，.把代入轨迹C的方程，得.故此时直线与轨迹C恰好有一个公共点.（）当时，方程的判别式.设直线l与x轴的交点为，则.若由解得或，即当时，直线l与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.若或由解得或或，即当时，直线l与有一个公共点，与有一个公共点；当时，直线l与有两个公共点，与没有公共点.故当时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点.若由解得或，即当时，直线l与有两个公共点，与有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合（）（）可知，当时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点.10.答案：（1）（2）见解析解析：（1）由已知得，又，.椭圆E的方程为.（2）证明：点B关于x轴的对称点为C，直线AC的方程为.令，得.直线AB的方程为，令，得.点在椭圆上，即，即，又，.