2024届福建永春一中、培元中学、石光中学、季延中学高三下第二次联合考试数学试题 答案.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司永春一中 培元中学 季延中学 石光中学 2024 届高三年第二次联合考试试卷（数学科）考试时间：120 分钟满分：150 分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若一组数据 1，1，a，4，5，5，6，7 的 75 百分位数是 6，则a=（）A.4 B.5 C.6 D.7 2.抛物线214yx=的焦点坐标为（）A.(1,0)B.(0,1)C.1,016 D.10,16 3.等差数列 na的前 n 项和为nS，55a=，11167aS+=，则312aa是 na中的（）A.第 30 项 B.第

2、36 颔 C.第 48 项 D.第 60 项 4.已知直线 l，m，n 与平面、，下列命题正确的是（）A.若，l，则l B.若l，/l ，则 C.若ln，mn，则/l m D.若/，l，n，则/l n 5.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将 4 盏相同的宫灯、3 盏不同的纱灯、2 盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多 2 盏相邻挂，则不同挂法种数为（）A.216 B.228 C.384 D.486 6.已知实数 m，n 满足(1)(1)2mn+=，则 m

3、，n 可能是（）A.tan16m=，3tan 16n=B.tan 8m=，3tan 8n=C.cos16m=，3tan 16n=D.cos 8m=，3tan 8n=7.已知实数 a，b，c 成公差非 0 的等差数列，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为(3,2)，点 N 的坐标为(2,3).过点 P 作直线0axbyc+=的垂线，垂足为点 M，则 M，N 间的距离的最大值与最小值的乘积是（）A.10 B.6 2 C.4 2 D.前三个答案都不对 8.宋代理学家周敦颐的太极图和太极图说是象数和义理结合的表达.朱子语类卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”.太极图（

4、如下图）将平衡美、对称美体现的淋漓尽致.定义：对于函数()f x，若存在圆 C，使得()f x 的图象能将圆 C 的周长和面积同时平分，则称()f x 是学科网（北京）股份有限公司圆 C 的太极函数.下列说法正确的是（）对于任意一个圆，其太极函数有无数个；()121()log212xf xx=+是22(1)1xy+=的太极函数；太极函数的图象必是中心对称图形；存在一个圆 C，()sincosf xxx=+是它的太极函数.A.B.C.D.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3

5、 分.9.在ABC中，6AB=，2BC=，45A=，则ABC的面积可以为（）A.332 B.32 C.332+D.622+10.设1z、2z 为复数，则下列命题正确的是（）A.若120zz+，则21zz=B.若120z z=，则10z=或20z=C.若12zz=，则2212zz=D.若12zzzz=，则 z 在复平面对应的点在一条直线上 11.已知函数()f x 的定义域为 R，且()()()1f xyf xf y+=+，(1)0f=，则（）A.(0)1f=B.()f x 有最小值 C.(2024)2023f=D.()1f x+是奇函数 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15

6、分.12.已知1a=，(1,0)b=，且2 abab+=，则a 在b上的投影向量为_.13.已知圆锥 SO 的母线5SA=，侧面积为15，则圆锥 SO 的内切球半径为_；若正四面体1111AB C D能在圆锥 SO 内任意转动，则正四面体1111AB C D的最大棱长为_.14.如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边，接着画正五边形；对这个正五边形不画第五边，接着画正六边形；，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线.设第 n学科网（北京）股份有限公司条线段与第1n+条线段所夹的角为n（*n N，(0,)n），则2022=_.四、解答题：本大题共 5 小题，

7、共 77 分.解答题应写出文字说明，证明过程成演算步骤.15.（本题满分 13 分）已知函数()e1xf xabx=+在0 x=处有极值 2.（）求 a，b 的值；（）证明：()ef xxx.16.（本题满分 15 分）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有 A 和 B 两类试题，每类试题各 10 题，其中每答对 1 道 A 类试题得 10 分；每答对 1 道 B 类试题得 20 分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出 3 道题回答（每道题抽后不放回）.已知某同学 A 类试题中有 7 道题能答对，而他答对各道 B 类试题的

8、概率均为 23.（1）若该同学只抽取 3 道 A 类试题作答，设 X 表示该同学答这 3 道试题的总得分，求 X 的分布和期望；（2）若该同学在 A 类试题中只抽 1 道题作答，求他在这次竞赛中仅答对 1 道题的概率.17.（本题满分15分）如图，四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，四边形 ABCD 中，ABAP=，ABAD，6ABAD+=，2CD=，45CDA=.（1）若 E 为 PB 的中点，求证：平面 PBC 平面 ADE；（2）若平面 PAB 与平面 PCD 所成的角的余弦值为66.（）求线段 AB 的长；（）设 G 为PAD内（含边界）的一点，且2GBGA=，求满足条件的所有

9、点 G 组成的轨迹的长度.18.（本题满分 17 分）已知椭圆2222:1(0)yxCabab+=的离心率是53，点(2,0)A 在 C 上.（1）求 C 的方程；学科网（北京）股份有限公司（2）过点(2,3)的直线交 C 于 P，Q 两点，直线 AP，AQ 与 y 轴的交点分别为 M，N，证明：线段 MN 的中点为定点.19.（本题满分 17 分）已知集合()12,0,1,1,2,nniSX Xx xxxin=，其中2n.对于()12,nAa aa=，()12,nnBb bbS=，定义 A 与 B 之间的距离为1(,)niiid A Bab=.（1）记4(1,1,1,1)IS=，写出所有4A

10、S使得(,)3d I A=；（2）记(1,1,1)nIS=，A、nBS，并且(,)(,)d I Ad I Bpn=，求(,)d A B 的最大值；（3）设nPS，P 中所有不同元素间的距离的最小值为 k，记满足条件的集合 P 的元素个数的最大值为 m，求证：0112CCCnknnnm+.学科网（北京）股份有限公司永春一中 培元中学 季延中学 石光中学 2024 届高三年第二次联合考试试卷（数学科）参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B B B A A A D AC BD ACD 12.35 b（或3,05）13.326 14.174.46（或1806365）6.解：由

11、(1)(1)2mn+=，得11mnmn+=，类比tantantan()1tantan+=，3tantan31616tan1316161tantan1616+=.7.解：直线0axbyc+=中 a，b，c 成等差数列即直线0axbyc+=恒过点(1,2)Q，又 PMQM，于是点 M 的轨迹是以 PQ 为直径的圆，如图.该圆的圆心为(1,0)C，半径为2 2，因此22:(1)8Cxy+=，故|3 2CN=，于是最大值与最小值之积为5 2210=.8.解：对于：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分，所以对于任意一个圆，太极函数有无数个，故正确；对于：()11221121()log21log222x

12、xxfxxx+=+=，()1221()()log0212xxxf xfxxxx+=+=+=+，所以()f x 关于 y 轴对称，故错误；对于：中心对称图形必定是太极函数，对称点即为圆心.但太极函数只需平分圆的周长和面积，不一定是中心对称图形，故错误；对于：曲线()sincos2 sin4f xxxx=+=+存在对称中心，必是某圆的太极函数，正确.10.解：对于 A，令11 iz=+，2iz=，则1210zz+=，此时21zz，A 错误；学科网（北京）股份有限公司对于 B，设1izab=+，2izcd=+（a，b，c，d R），则1 2()()i0z zacbdadbc=+=，所以00acbda

13、dbc=+=，即 acbdadbc=，则22a cdb cd=；若0cd=，则22a cdb cd=成立，此时20z=；若0c=，0d，由acbd=知0b=；由adbc=知：0a=，此时10z=；同理可知：当0c，0d=时，10z=；若0c，0d，由22a cdb cd=得：22ab=，则0ab=，此时10z=；综上所述：若1 20z z=，则10z=或20z=，B 正确；对于 C，令11z=，2iz=，则121zz=，此时2212zz，C 错误；对于 D，设izab=+，111izab=+，222izab=+（a，b，1a，1b，2a，2b R），则()()111 izzaabb=+，()(

14、)222 izzaabb=+，由12zzzz=，可得()()()()22221122aabbaabb+=+，所以()()222212122121220a aab bbaabb+=，又12aa、12bb不全为零，所以()()222212122121220aaabbbaabb+=表示一条直线，即 z 在复平面对应的点在一条直线上，故 D 正确.11.解：对于 A 中，令0 xy=，可得(0)1f=，所以 A 正确；对于 B，令1xx=，21yxx=，且12xx时，()1f x 时，()()210f xf x，此时函数()f x 为单调递增函数；若0 x 时，()1f x 时，()()210f xf

15、 x，只需证e1exxxx+.即eex10 x+.令()ee1xg xx=+，则()eexg x=.令()0g x=得1x=.()g x，()g x 的变化情况如下表所示.x(,1)1(1,)+()g x 0+()g x 单调递减 1 单调递增 所以1x=时，()g x 有最小值1(1)ee 1 110g=+=，即()exf xx成立.16.解：（1）0,10,20,30X，33310C1(0)C120P X=，2331017C C217(10)C12040P X=，2173310C C6321(10)C12040P X=，37310C357(30)C12024P X=.所以 X 的分布为 X

16、 0 10 20 30 P 11207402140724所以17217()010203021120404024E X=+=.（2）记“该同学仅答对 1 道题”为事件 M.2127131 219()C103103 390P M=+=，这次竞赛中该同学仅答对 1 道题得概率为 1990.17.解：（1）四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，AD 平面 ABCD，则 PAAD，学科网（北京）股份有限公司而 ABAD，ABPAA=，AB，PA 平面 PAB，于是 AD 平面 PAB，（未写线线相交不得分）又 PB 平面 PAB，则 ADPB，由 ABAP=，E 为 PB 的中点，得 AEPB，A

17、EADA=，AE，AD 平面 ADE，因此 PB 平面 ADE，（此处线线相交未写不再扣分，两处线线相交只要有一处未写即扣 1 分）而 PB 平面 PBC，所以平面 PBC 平面 ADE.（2）（）由（1）知，直线 AB，AD，AP 两两垂直，以点 A 为原点，直线 AB，AD，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，过 C 作CFAD于 F，由2CD=，45CDA=，得1CFDF=，令(05)ABtt=，解得2t=，所以线段 AB 的长为 2.（）显然 AB 平面 PAD，而 AG 平面 PAD，则 ABAG，又2BGAG=，干是222(2)2AGAG=+，解得2 33AG=，因此点

18、 G 的轨迹是以点 A 为圆心，2 33为半径的圆的 14，所以点 G 的轨迹的长度为 12 33233=.学科网（北京）股份有限公司18.解：（1）由题意可得222253babccea=+=，解得325abc=，所以椭圆方程为22194yx+=.（2）直线 PQ 的斜率不存在时不合题意，设:(2)3PQ yk x=+，()11,P x y，()22,Q xy，由22(2)3194yk xyx=+=得()()222498(23)1630kxkkxkk+=，令()()222264(23)64 49317280kkkkkk=+=，得0k，1228(23)49kkxxk+=+，()212216349

19、kkx xk+=+，因为(2,0)A，则直线11:(2)2yAP yxx=+，令0 x=，解得1122yyx=+，即1120,2yMx+，同理可得2220,2yNx+，则()()1212121222232322222yyk xk xxxxx+=+()()()()()()12211212121212(23)2(23)22(43)4(23)2224kxkxkxkxkx xkxxkxxx xxx+=+()()2222223238(43)(23)4(23)108494933616316(23)44949k kkkkkkkkkkkkkk+=+，所以线段 MN 的中点是定点(0,3).学科网（北京）股份有

20、限公司 19.解：（1）A 的所有情形有：(1,0,0,0)、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)；（2）设()12,nAa aa=，()12,nBb bb=，因为()11(,)11nniiiid I Aaap=，则12naaanp+=，同理可得12nbbbnp+=，当2np时，1111(,)1 1112nnnniiiiiiiiiid A Babababp=+=；当2np；（3）设 P 是满足条件的最大集合，即 P 中的元素个数为 m，所以，A、BP且 AB，(,)d A Bk，CP，记集合(,1)(,)1nS C kXS d X Ck=，那么(,1)S C k 中的元素个数为011CCCknnn+，对于nS 中的任意元素 X，都存在CP，使得(,)1d X Ck，若不然，假设存在0nXS，CP都有()0,d XCk，那么集合0PPX=中所有不同元素间的距离的最小值为 k，且 P中有1m+个元素，这与 m 的最大性矛盾.学科网（北京）股份有限公司所以nS 中的每个元素必与 P 中某个元素间的距离不超过1k .从而(,1)nC PSC k=，所以，()1012CCCnknnnm+.