2024届福建省福州市高三二模数学试卷.pdf

1、#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwXICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwXICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwXICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwXICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#1（在此卷上答题无效）20232024 学年福州市高三年级 2 月份质量检测数 学 试 题（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请

2、不要错位、越界答题！一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合1,1,1Ax xB，则 AB UA.,1B.,1C.1D.1,1【答案】A【解析】集合 A 包含所有小于 1 的实数，B 包含 1 和 1 两个元素，所以1ABx xU.2.已知点2,2A在抛物线2:2C xpy上，则 C 的焦点到其准线的距离为A 12B1C2D4【答案】B【解析】将点2,2A代入22xpy，可得1p ，故 C 的焦点到其准线的距离为 1.3.已知1e，2e 是两个不共线的向量，若122ee 与12ee 是共线向量，则A.2 B

3、.2 C.2 D.2【答案】D【解析】依题意，设12122t=eeee，又1e，2e 是两个不共线的向量，所以2,tt，所以2.4.在ABC中，2AB，4AC，2 7BC，则ABC的面积为A.2B.2 3C.4D.4 3【答案】B【解析】由余弦定理得，2221cos22ABACBCAAB AC，所以120A ，所以1sin2 32ABCSAB ACA.5.设函数 23axf x在区间1,2 上单调递减，则 a的取值范围是A.,2B.,4C.2,D.4,【答案】D【解析】函数3xy在 R 上单调递增，而函数 23axf x在区间1,2 上单调递减，#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwX

4、ICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#2所以2yxa 在区间1,2 单调递减，所以22a，解得4a.故选 D.6.已知正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆上，椭圆的两个焦点分别在边 AD 和 BC 上，则该椭圆的离心率为A22B312C512D32【答案】C【解析】不妨设椭圆方程为222210 xyabab，当 xc时，2bya，所以22|2|,bABc BCa，因为四边形 ABCD为正方形，所以222bca，即2bac，所以22aacc，所以210ee，解得152e，因为0,1e，所以512e.7.甲、乙、丙三个地区分别有%x，%y，%z的人患了流感，且,x y z 构

5、成以 1 为公差的等差数列.已知这三个地区的人口数的比为 5:3:2，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则 x 的可能取值为A.1.21B.1.34C.1.49D.1.51【答案】D【解析】设事件123,D DD 分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，事件123,F FF 分别为“此人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”，事件 G 为“此人患了流感”.由题可知，151000 xP F，2331000 xP F，3241000 xP F，1231071000 xP GP FFF，所以 15107xP D Gx，233107xP D Gx，324107

6、xP D Gx，因为此人患了流感来自甲地区的概率最大，所以 533,524,xxxx解得32x，故选 D.8.已知函数 f x 及其导函数 fx 的定义域均为 R，记 g xfx.若 2g x 的图象关于点2 0，对称，且 2211 2gxgxgx，则下列结论一定成立的是A.2f xfxB.2g xg xC.202410ng nD.202410nf n【答案】C【解析】因为 2g x 的图象关于点2 0，对称，所以 g x 的图象关于原点对称，即函数 g x为奇函数，则 00g，又 2211 2gxgxgx，所以 22121 gxgxgx，所以 110g tg tg t，所以 120g tg

7、tg t，所以 12g tg t，所以 3g tg t，即 3g xg x，所以 3 是()g x 的一个周期；因为 2024202410202501203nnggg nggn，故 C正确；#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwXICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#3取符合题意的函数 2cos 3fxx，则 22sin33gxxfx，所以 00g，又 2302sin0333gg，故 2 不是()g x 的一个周期,所以 2g xg x，排除 B；因为 211cos 32f 不是函数 f x 的最值，所以函数 f x 的图象不关于直线1x 对称，所以 2f xfx

8、，排除 A；因为 20242024112cos103nnf nn ，所以排除 D.二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9.已知等差数列 na的前 n 项和为nS，24a，535S，则A.nna 的最小值为 1B.nnS 的最小值为 1C.nSn为递增数列D.2nan为递减数列【答案】ABC【解析】假设 na的公差为 d，由155355352aaSa，所以37a，又24a，所以3d，11a ，所以32nan，312nnnS.选项 A：21132333nnannn

9、，故1n 时nna 的最小值为 1，A 正确；选项 B：323122nnSnn，令 323122f xxx，所以 292fxxx，可知 fx 在区间2,9单调递增，所以1n 时nnS 取得最小值 1，B 正确；选项 C：3122nSnn，故nSn为递增数列，C 正确；选项 D：2223nannn，因为111a ，2212a ，所以2nan不是递减数列，D 错误.10.在长方体1111ABCDA B C D中，2AB，11AAAD，E 为 AB 的中点，则A.11A BB CB.1A D 平面1EB CC.点 D 到直线1A B 的距离为 3 55D.点 D 到平面1EB C 的距离为3【答案】

10、BC【解析】如图建立空间直角坐标系 Dxyz，易知0,0,0D，1 1,0,1A，1,2,0B，1 1,2,1B，0,2,0C，1,1,0E.#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwXICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#4选项 A，10,2,1A B，11,0,1B C ，110,2,11,0,110A B B C ，所以 A 错误；选项 B，显然11A DB C，可得1A D 平面1EB C，所以 B 正确；选项 C，记直线1A B 的单位方向向量为 u，则112 550,55A BA Buuuruuuru，又11,0,1A D uuur，所以向量1A D在直线

11、1A B 上的投影向量为11210,55AQA Du u，则有 D 到直线1A B 的距离为22113 55DQA DAQ，故 C 正确；选项 D，设平面1EB C 的法向量为,x y zm，由11,0,1B C ，10,1,1B E ，可求得1,1,1m，又0,2,0DC uuur，所以点 D 到平面1EB C 的距离2 33DCdmmuuur，故 D 错误.11.通信工程中常用 n 元数组123,na a aaL表示信息，其中0ia 或 1（,*,i ni nN 1 ）.设123123,nnua a aavb b bbLL，,d u v 表示 u 和 v 中相对应的元素（ia 对应ib，1

12、,2,inK）不同的个数，则下列结论正确的是A.若0,0,0,0,0u，则存在 5 个 5 元数组 v，使得,1d u v B.若1,1,1,1,1u，则存在 12 个 5 元数组 v，使得,3d u v C.若 n 元数组0(0,0,0)nw L144424443个，则,d u wd v wd u vD.若 n 元数组(1,1,1)nw L1442443个1，则,d u wd v wd u v【答案】ACD【解析】选项 A：满足条件的数组共有15C5个，故 A 正确；选项 B：满足条件的数组共有35C10个，故 B 错误；选项 C：设,u v 中对应项同时为 0 的共有0mmn个，同时为 1

13、 的共有 0ssnm个，从而对应项一项为 1 与另一项为 0 的共有nms个，这里 nms，从而,d u vnms，而,2,2,d u wd v wsnmsd u vsd u v，故 C 正确，同理 D 正确.三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是2,1，则 i z _.【答案】12i【解析】依题意可知2iz ，所以ii2i12iz .13.底面半径为 2 且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个高为3#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwXICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#

14、5的圆锥，所得的圆台的侧面积为.【答案】6【解析】由已知可得圆台的上底面半径1r ，下底面半径2r，母线长2l，则该圆台的侧面积为 1 226rr l .14.在平面直角坐标系 xOy 中，整点 P（横坐标与纵坐标均为整数）在第一象限，直线 PA，PB 与22:24Cxye分别切于 A，B 两点，与 y 轴分别交于 M，N 两点，则使得PMN周长为 2 21 的所有点 P 的坐标是_.【答案】1,4 或2,3【解析】因为直线 PA，PB 分别与22:24Cxye相切于 A，B 两点，且直线 PA，PB分别与 y 轴交于,M N 两点，所以,PAPBAMOMBNON，所以PMN的周长为 PMMN

15、PNPMOMONPN PMAMBNPNPAPB2222PAPCAC2242 21PC，所以5PC，设 0000,00P x yxy，所以2200225xy，因为 P 为整点，所以点P 的坐标为1,4 或2,3.备注：只写出一个点坐标不得分.四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13 分）已知函数 sin034f xx，8x是 fx 的零点.（1）求 的值；（2）求函数1828yfxfx的值域.【解析】（1）由已知可得sin0884f，1 分解得,84kk Z，3 分即28,k k Z，4 分又 03，可得2.5 分（2）由 sin 24f

16、 xx，可得1828yfxfx#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwXICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#6sin 2sin2xxcos2sinxx 212sinsinxx 2192 sin48x，8 分其中 1sin1 x，则当1sin4 x时取得最小值98，sin1x时取得最大值 2，12 分故函数1828yfxfx的值域为9,28.13 分16.（15 分）如图，四棱锥 SABCD的底面为正方形，平面 SAD 平面 ABCD，E 在 SB 上，且 AEBC.（1）证明：SA 平面 ABCD；（2）若2SAAB，F 为 BC 的中点，且3EF，求平面AEF

17、与平面 SAD 夹角的余弦值.【解法一】（1）因为,BCAB BCAE AEABAI，所以 BC 平面 SAB，又 SA 平面 SAB，所以 BCSA，3 分又 BCADP，所以 SAAD，4 分又平面 SAD 平面 ABCD，平面 SAD I 平面 ABCDAD，SA 平面 SAD，所以 SA 平面 ABCD.6 分（2）由（1）得 BC 平面 SAB，又 SB 平面 SAB，所以 BCSB，7 分因为1,3BFEF，所以2BE，8 分因为 SA 平面 ABCD，AB 平面 ABCD，所以 SAAB，又2SAAB，所以2 2SB，所以12BESB，9 分由（1）知,SA AD AB 两两垂直

18、，如图，以点 A 为原点，分别以 AB，AD，AS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(2,0,0,0)0,0,0,1,0,1,2 1,AEFSB.10 分所以1,0,1AE uuur，2,1,0AF uuur，显然平面 SAD 的一个法向量11,0,0n，设平面 AEF 的法向量为2(,)x y zn，则,AEAF22nnuuuruuur即0,20,AExzAFxy22nnuuuruuur取1x ，则1,2,12n，#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwXICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#7所以16cos66121212

19、nnn,nnn，14 分设平面 AEF 与平面 SAD 的夹角为，则6coscos6 12n,n，所以平面 AEF 与平面 SAD 夹角的余弦值为66.15 分【解法二】（1）因为,BCAB BCAE AEABA，所以 BC 平面 SAB，2 分又 SA 平面 SAB，所以 BCSA，3 分因为平面 ABCD 平面 SAD，平面 ABCD 平面 SADAD，ABAD，AB 平面 ABCD，所以 AB 平面 SAD，又 SA 平面 SAD，所以 ABSA，5 分又 BCABB，BC 平面 ABCD，AB 平面 ABCD，所以 SA 平面 ABCD.6 分（2）由（1）知,SA AD AB 两两垂

20、直，如图，以点 A 为原点，分别以 AB，AD，AS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 0,0,2,2,0,0,2,1,0SBF.7 分设01SESB，则0,0,22,0,22,0,22AEASSE，所以 2,1,02,0,2222,1,22EFAFAE，9 分由3EF，得 22221223，解得12，或32（舍去），所以1,0,1E，10 分所以1,0,1AE uuur，2,1,0AF uuur，显然平面 SAD 的一个法向量11,0,0n，设平面 AEF 的法向量为2(,)x y zn，则,AEAF22uuuruuurnn即0,20,AExzAFxy22nnuuur

21、uuur取1x ，则1,2,12n，则16cos66121212nnn,nnn，14 分设平面 AEF 与平面 SAD 的夹角为，则6coscos6 12n,n，所以平面 AEF 与平面 SAD 夹角的余弦值为66.15 分17.（15 分）人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取 90 名学生，得到如下数据：#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwXICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#8外向型内向型男性4515女性2010（1）以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽

22、取 2 人、女生中随机抽取1 人担任志愿者.设这三人中性格外向型的人数为 X，求 X 的数学期望（2）对表格中的数据，依据0.1 的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联.如果将表格中的所有数据都扩大为原来 10 倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由.附：参考公式：22n adbcabcdacbd.【解法一】（1）由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为 34，外向型女生在所有女生中占比为 23，故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是 34，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生

23、的概率是 23.2 分则 X 的所有可能取值为 0，1，2，3.3 分则211104348P X，2123111211C443436P X，21231312212C4344348P X，23233438P X，7 分所以112131301234864886E X.8 分（2）零假设为0H：这两种性格特征与人的性别无关联.9 分由所获得的所有数据都扩大为原来 10 倍，可知220.1900450 100150200906.9232.706600 30065025013x 13 分依据0.1 的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不一致，原因是每个数据扩大为原来的 10

24、 倍，相当于样本量变大为原来的 10 倍，导致推断结论发生了变化.15 分【解法二】（1）由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为 34，外向型女生在所有女生中占比为 23，故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是 34，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的概率是 23.2 分0.10.050.01x2.7063.8416.635#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwXICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#9从该校男生中随机抽取 2 人，抽到性格外向型的人数记为1Y；从该校女生中随机抽取 1 人，抽到性格外向型的人数记为2Y，则132,4YB:,221

25、,3YB:，4 分所以 133242E Y，222133E Y，6 分所以 12123213236E XE YYE YE Y.8 分（2）略，同解法一.18.（17 分）已知双曲线22:18yW x ，3,0A，动直线:l30 xmy与 x 轴交于点 B，且与W交于 C，D 两点，t CD 是 BC，BD 的等比中项，t R（1）若 C，D 两点位于 y 轴的同侧，求t 取最小值时ACD的周长；（2）若1t ，且 C，D 两点位于 y 轴的异侧，证明：ACD为等腰三角形【解法一】（1）因为动直线:l30 xmy与 x轴交于点 B 3,0，因为22:18yW x 的右焦点为3,0，所以点 B 为

26、W 的右焦点.设BCp，BDq，因为,C D 两点位于 y 轴的同侧，所以CDpq，因为t CD 是，BC BD 的等比中项，所以2 BtDCCBD，2 分所以222142pqpqtpqpq，当且仅当pq 时取等号，所以min12 t，4 分当12t 时 pq，所以22ACpqAD，所以 lx轴，5 分由223,88,xxy解得8y ，所以8BCBD，所以16CD，6 分由双曲线的定义得10AC，所以10101636ACADCD，即ACD 的周长为 36.8 分（2）设 11,C x y，22,D x y，由22838,0,xxmyy得228148640mymy，因为直线 l 与W 交于C，D

27、 两点，所以22810,25610,mm 且1224881 myym，1226481y ym，10 分#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwXICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#10由1t，可得2 BDBCDC，故22212221111mymymyy，又C,D 两点位于 y 轴的异侧，所以120y y，所以11222y yyy，即221215y yyy，所以222644858181 mmm，解得254m，13 分所以12649y y，所以1222564111649 CBDBCmyDy，所以4CD，15 分不妨设点C 在第二象限，根据双曲线定义，得22，BCACA

28、DBD，即422BDACADBD，解得 ACAD，所以ACD是等腰三角形.17 分【解法二】（1）设1122,C xyD xy由22830,8,xyxmy得228148640mymy，因为直线 l 与W 交于C，D 两点，所以22810,25610,mm 且1224881 myym，1226481y ym，2 分由 C,D 两点位于 y 轴的同侧，可得12264081y ym，解得218m，又t CD 是，BCBD 的等比中项，故可得22 BDCt CDB，故222112222111mymytymy，即122122y yyyt222222641 1 88141486448181 mmmmmm，

29、5 分又2108m，故22221 1 81984141mtmm，可得2104t,即1122 t且0t，所以 min12 t，6 分当12 t即0m时，所以 lx 轴，由223,88,xxy解得8 y，所以8BCBD，所以16CD，又6AB，所以228610AC，所以10 10 1636ACADCD，即ACD 的周长为 36.8 分#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwXICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#11（2）因为C,D 两点位于 y 轴的异侧，故12264081y ym，所以218m，且由（1）知2221 1 841mmt221 81141mm，解得52

30、m或52m，12 分当52 m时，设 CD 的中点 E 的坐标为,EExy，124 523Eyyy，554 51332233 EExy，所以点 E 的坐标为1 4 533，13 分又 CD 的垂直平分线的斜率为52，所以 CD 的垂直平分线方程为4 551323yx，即53 522yx，15 分又点3,0A 在直线53 522yx上，所以ACAD，即ACD 为等腰三角形当52m 时，同理可证，ACD 为等腰三角形综上所述，ACD 为等腰三角形 17 分19.（17 分）已知函数 2ln1f xxxx.（1）讨论 f x 的单调性；（2）求证：212e1xfxxx；（3）若0p，0q 且1pq

31、，求证：4fpf q .【解法一】（1）f x 的定义域为0,，1 分 ln21fxxx，2 分记 t xfx，1122xtxxx，当10,2x时，0tx，t x 单调递增；当1,2x时，0tx，t x 单调递减.3 分所以 max1ln 202t xt ，即 0fx，4 分所以 f x 在区间0,上单调递减.5 分（2）先证 1f xx，记 1g xf xx，则 2lnln1g xxxxxxxx，记 ln1m xxx，则 11mxx，所以0,1x时，0mx，m x 递增；1,x 时，0mx，m x 递减.所以 max10m xm，所以 0m x ，又0 x，所以 0g x ，故 1f xx.

32、#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwXICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#12 8 分再证212e11xxxx ，即证212e0 xxxx，记 212e xh xxxx，则 21e11e1xxh xxxx，记 e1xp xx，则 1 e0 xp x，所以 p x 在0,x 递增，所以 00p xp，所以 0h x，即212e11xxxx ，所以 212e1xfxxx.11 分（3）由（2）知 ln1m xxx 的最大值为 0.因为0p，0q 且1pq ，则 p，q 之中至少有一个大于1，12 分不妨设1p，则10qp，由（1）可知 fx 为减函数，所以 1f

33、qfp，所以 1fpf qfpfp，14 分因为 221111ln1ln1fpfppppppp 211ln4ppppp11ln4ppppp，记 1lns pppp，则 11110s pm ppp，因为1p，所以1pp，所以 14fpfp，所以 4fpf q .17 分【解法二】（1）略，同解法一.5 分（2）构造函数 e10 xh xxx，e1xh x，当0 x 时，0h x，h x 单调递增，00h xh，所以 e1xx，6 分构造函数 ln1xxx，11xx，当0,1x时，0 x，x单调递增；当1,x 时，0 x，x单调递减.所以 max10 x，即 0 x，即 ln1xx 成立.7 分所

34、以 22ln1111f xxxxx xxx ，8 分所以222121212e111xxxxxxxxx ，9 分则只需证明2121xxxx ，即21210 xx，而2110 x显然成立，10 分所以 212e1xf xxx.11 分（3）先证 1f xx，记 1g xf xx，则 2lnln1g xxxxxxxx，记 ln1m xxx，则 11mxx，所以0,1x时，0mx，m x 递增；#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwXICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#131,x 时，0mx，m x 递减.13 分所以 max10m xm，所以 0m x ，又0 x，所以 0g x ，故 1f xx.14 分所以 1fpp，1f qq，因为0p，0q 且1pq ，所以 2fpf qpq，15 分所以22 12pqpq，所以2pq ，则 224fpf q .17 分#QQABKYIAggggAgBAAAhCQwXICAGQkBEAAAoOxEAMsAAByRFABAA=#