2024届青岛一模数学试题+答案.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司2024 年高三年级第一次适应性检测数学试题 2024.03 本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

2、的 1等比数列 na中，21a=，58a=，则7a=（）A32 B24 C20 D16 2在5(2)x+的展开式中，2x 项的系数为（）A1 B10 C40 D80 3已知直线 a，b 和平面，a/，b，则“/a”是“/a b”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2 sinbaB=，4bc=，则ABC 的面积为（）A1 B 3 C2 D2 3 52024 年 2 月 4 日，“龙行中华甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案出土于鲁国故城遗址的“出廓双

3、龙勾玉纹黄玉璜”（图 1）就是这样一件珍宝玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图 2）：8AB cm，2AD cm，5AO cm，若3sin375，3.14，则璜身（即曲边四边形 ABCD）面积近似为（）A26.8cm B29.8cm C1214.8cm D222.4cm学科网（北京）股份有限公司6记正项等差数列 na的前 n 项和为nS，20100S=，则1011aa的最大值为（）A9 B16 C25 D50 7x R，()(3)1()(3)f xf xf x f x+=+，(1)0f=，则(2024)f的

4、值为（）A2 B1 C0 D1 8 已 知(2,0)A，(2,0)B，设 点 P 是 圆221xy+=上 的 点，若 动 点 Q 满 足：0QP PB=，|QAQBQPQAQB=+，则 Q 的轨迹方程为（）A2213yx=B2213xy=C2215xy+=D22162xy+=二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 9袋子中有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件 A“取出的球的数字之积为奇数”，事件 B“取出的球的数字之积为偶

5、数”，事件 C“取出的球的数字之和为偶数”，则 A事件 A 与 B 是互斥事件 B事件 A 与 B 是对立事件 C事件 B 与 C 是互斥事件 D事件 B 与 C 相互独立 10已知复数 z，下列说法正确的是（）A若0zz=，则 z 为实数 B若220zz+=，则0zz=C若|i|1z =，则|z 的最大值为 2 D若|i|1zz=+，则 z 为纯虚数 11已知函数()cossin 2xf xx=+，则（）A()f x 在区间 0,6单调递增 B()f x 的图象关于直线 x=对称 C()f x 的值域为90,8 D关于 x 的方程()f xa=在区间0,2 有实数根，则所有根之和组成的集合为

6、,2,4 三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分。12已知集合1,0,1A=，|2,By yx xA=，则 AB的所有元素之和为_ 13已知 O 为坐标原点，点 F 为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点，点 A，B 在 C 上，AB 的中点为 F，学科网（北京）股份有限公司OAOB，则 C 的离心率为_ 14已知球 O 的表面积为12，正四面体 ABCD 的顶点 B，C，D 均在球 O 的表面上，球心 O 为BCD 的外心，棱 AB 与球面交于点 P若 A平面1，B平面2，C 平面3，D平面4，1/(1,2,3)iii+=且i 与1(1,2,3)ii+=之间

7、的距离为同一定值，棱 AC，AD 分别与2 交于点 Q，R，则PQR 的周长为_ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15（13 分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动开学后，学校统计了高一年级共 1000 名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为 0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为 3：2：1 （1）根据频率分布直方图，估计高一年级 1000 名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点

8、值为代表）；（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于 60 分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取 6 名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的 3 名学生日均阅读时间处于80，100）的人数记为，求随机变量 的分布列与数学期望 16（15 分）已知函数21()ln2f xxaxx=+（1）若1a=，曲线()yf x=在点00(,()xf x处的切线斜率为 1，求该切线的方程；（2）讨论()f x 的单调性 17（15 分）如图，在三棱柱111ABCA B C中，1AA 与1BB 的距离为 3，12ABACA B=，12 2ACBC=学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面11

9、A ABB 平面 ABC；（2）若点 N 在棱11AC 上，求直线 AN 与平面11A B C 所成角的正弦值的最大值 18（17 分）已知 O 为坐标原点，点 W 为O：224xy+=和M的公共点，0OM OW=，M与直线20 x+=相切，记动点 M 的轨迹为 C（1）求 C 的方程；（2）若0nm，直线 1:0lxym=与 C 交于点 A，B，直线 2:0lxyn=与 C 交于点 A，B，点A，A在第一象限，记直线 AA 与 BB 的交点为 G，直线 AB与 BA的交点为 H，线段 AB 的中点为 E（i）证明：G，E，H 三点共线;（ii）若()217mn+=，过点 H 作 1l 的平行

10、线，分别交线段 AA，AA 于点 T，T，求四边形GTET 面积的最大值 19（17 分）记 集 合 *,nnSaan=N无穷数列中存在有限项不为零，对 任 意 naS，设 变 换()112nnnfaaa xa x=+，xR 定义运算：若 ,nnabS，则 nnabS，()()()nnnnfabfafb=（1）若 nnnabm=，用12341234,a a a a b b b b 表示4m；（2）证明：()()nnnnnnabcabc=；（3）若()()211,1100,10,100nnnan nn+=+，2031,1500,20,500nnnbn=nnndab=，证明：20012d恒成立，(

11、)(f x在()0,+单调递增 当0a 时，令2()1g xxax=+，24a=（i）当0 即02a即2a 时，()224422aaaaxxfxx+=由()0fx得，2402aax，由()0fx得，224422aaaax+时，()f x 在240,2aa，24,2aa+单调递增；()f x 在2244,22aaaa+单调递减 17（15 分）解：（1）取棱1A A 中点 D，连接 BD，因为1ABA B=，所以1BDAA 因为三棱柱111ABCA B C，所以11/AABB，所以1BDBB，所以3BD=因为2AB=，所以1AD=，12AA=；因为2AC=，12 2AC=，所以22211ACAA

12、AC+=，所以1ACAA，同理 ACAB，因为1AAABA=，且1AA，AB 平面11A ABB，所以 AC 平面11A ABB，学科网（北京）股份有限公司因为 AC 平面 ABC，所以平面11A ABB 平面 ABC （2）取 AB 中点 O，连接1AO，取 BC 中点 P，连接 OP，则/OP AC，由（1）知 AC 平面11A ABB，所以OP 平面11A ABB 因为1AO 平面11A ABB，AB 平面11A ABB，所以1OPAO，OPAB，因为11ABA AA B=，则1AOAB 以 O 为坐标原点，OP，OB，1OA 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角

13、坐标系 Oxyz，则(0,1,0)A，1(0,0,3)A，1(0,2,3)B，(2,1,0)C，设点(,0,3)N a，(02)a()110,2,0A B=，()12,1,3AC=，1(,1,3)A Na=，设面111A B C 的法向量为(,)nx y z=，得11100n A Bn AC=，得20230yxyz=，取3x=，则0y=，2z=，所以(3,0,2)n=设直线 AN 与平面11A B C 所成角为，则232sincos,74n ANan ANnANa+=+()2222233444477aaaaa+=+学科网（北京）股份有限公司若0a=，则21sin7=，若0a，则34442sin

14、11437477aa=+=+，当且仅当4aa=，即2a=时，等号成立，所以直线 AN 与平面1A MB 所成角的正弦值的最大值427 18（17 分）解：（1）设(,)M x y，切点为 N，则2222|MNMWOMOW=+，所以222|2|4xxy+=+=化简得24yx=，所以 C 的方程为：24yx=（2）（i）因为 12/ll，所以可设GAGA=，GBGB=，又因为1()()22GEGAGBGAGBGF=+=+=，所以 G，E，F 三点共线，同理，H，E，F 三点共线，所以 G，E，H 三点共线（ii）设11(,)A x y，22(,)B xy，33(,)A xy，44(,)B xy，A

15、B 中点为 E，A B 中点为 F，将 xym=+代入24yx=得：2440yym=，所以124yy+=，124y ym=，所以1222Eyyy+=，同理2Fy=（,G E H F 均在定直线2y=上）因为1/TTl，所以EAT 与EAH 面积相等，EBT与EBH 面积相等；所以四边形GTET 面积等于四边形 GAHB 面积 设(,2)GG x，(,2)HH x，直线131113:()yyAAyyxxxx=，即121122331444yyyyyyyx=整理得：直线13134:xy yAAyyy+=+，又因为2Gy=，所以()131342Gyyy yx+=，学科网（北京）股份有限公司同理，直线2

16、3234:xy yBAyyy+=+，2Hy=，所以23232()4Hyyy yx+=所以()()()341231232244GHyyyyyyyyGHxx+=()()12348yyyy=所以四边形 GAHB 面积2123412()|1|216yyyySGHyy=()2212123434()4416yyy yyyy y+=(16 16)16 1616mn+=24(1)(1)mn=+22(1)142(22)162mnmmn+=+=当且仅当2(1)1mn+=+，即22226mmnnmm+=+=，即13mn=时取等号，所以GAT 面积的最大值为 16 19（17 分）解：（1）因为3341 42 33

17、24 1()m xa ba ba ba b x=+，所以41 42 33 24 1ma ba ba ba b=+（2）因为()()()nnnnfabfafb=，所以()()()()()nnnnnnfafbfcfabfc=()nnnfabc 又因为()()()()()()nnnnnnfafbfcfafbfc=()()nnnfafbc=()nnnfabc=学科网（北京）股份有限公司所以()()nnnnnnfabf cfabf c=所以()()nnnnnnabcabc=（3）对于,nnabS，因为111121212()()nnnnnnaa xa xbb xb xdd xd x+=+，所以1112111121()()()nnkn knnnknknnnd xa b xa xbxaxb xa xb+=+，所以12111 21nnnknknnda ba ba baba b+=+所以11 nnnnknkkabda b+=220010020010010020020120120120121110111(1)1(1)2kkkkkkkkkkkkkkkda ba ba ba bk k+=+=+=+所以10020021121121kkdkk+=+()10010021211111221 2kkkkkkk+=+102110212101 22=