2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题38等比数列及其前n项和（Word版附解析）.docx

1、专题38等比数列及其前n项和 知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：等比数列基本量的运算题型二：等比数列的判定与证明题型三：等比数列项的性质的应用题型四：等比数列前n项和的性质的应用培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系【考点预测】1等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列这个

2、常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3等比数列的性质(1)通项公式的推广：anamqnm(m，nN*)(2)对任意的正整数m，n，p，q，若mnpq2k，则amanapaqa.(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比数列(m为偶数且q1除外)(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an

3、3k，为等比数列，公比为qk.(5)若或则等比数列an递增若或则等比数列an递减【常用结论】1.若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则数列can(c0)，|an|，a，anbn，也是等比数列.2.由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，xq，xq3.【方法技巧】1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解2.等比数列的前n项

4、和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.3.等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则an是等比数列(3)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则 an是等比数列4.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口巧用性质，减少运算量，在解题中非常重

5、要二、【题型归类】【题型一】等比数列基本量的运算【典例1】(多选)已知等比数列an的各项均为正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则下列说法正确的是()A.a10 B.q0C.3或1 D.9【解析】设等比数列an的公比为q，由题意得23a12a2，即a1q23a12a1q.因为数列an的各项均为正数，所以a10，且q0，故A，B正确；由q22q30，解得q3或q1(舍)，所以q3，q29，故C错误，D正确，故选ABD.故选ABD.【典例2】已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于()A. B.2 C.2 D.【解析】由题意知q3，即q.故选D.【典例3】九章算术中有述：今有蒲生一日，长

6、三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍.”则当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是_.(结果精确到0.1.参考数据：lg 20.30，lg 30.48)()A.2.9天 B.3.9天 C.4.9天 D.5.9天【解析】设蒲的长度组成等比数列an，其a13，公比为，前n项和为An.莞的长度组成等比数列bn，其b11，公比为2，其前n项和为Bn.则An，Bn，由题意可得5，解得2n30，2n1(舍去).nlog2304.9.故选C.【题型二】等比数列的判定与证明【典例1】已知各项都为

7、正数的数列an满足an22an13an.(1)证明：数列anan1为等比数列；(2)若a1，a2，求an的通项公式【解析】(1)证明an22an13an，所以an2an13(an1an)，因为an中各项均为正数，所以an1an0，所以3，所以数列anan1是公比为3的等比数列(2)解由题意知anan1(a1a2)3n123n1，因为an22an13an，所以an23an1(an13an)，a23a1，所以a23a10，所以an13an0，故an13an，所以4an23n1，an3n1.【典例2】Sn为等比数列an的前n项和，已知a49a2，S313，且公比q0.(1)求an及Sn；(2)是否存

8、在常数，使得数列Sn是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解析】(1)易知q1，由题意可得解得a11，q3，an3n1，Sn.(2)假设存在常数，使得数列Sn是等比数列，S11，S24，S313，(4)2(1)(13)，解得，此时Sn3n，则3，故存在常数，使得数列是以为首项，3为公比的等比数列【典例3】已知数列an满足a11，nan12(n1)an，设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式【解析】(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.从而b1

9、1，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列，由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.【题型三】等比数列项的性质的应用【典例1】已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12等于()A40 B60 C32 D50【解析】数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即4,8，S9S6，S12S9是等比数列，S1248163260.故选B.【典例2】已知Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2a54，则a8_.【解析】由已知得，2S9S

10、3S6，q1，则有2，解得q3，又a2a5a2(1q3)4，a28，a8a2q682.【典例3】已知数列an为等比数列，且a2a62a，则tan(a3a5)等于()A. B C D【解析】由已知得a2a，a，又a3a5a，tan(a3a5).故选A.【题型四】等比数列前n项和的性质的应用【典例1】已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_【解析】由题意，得解得所以q2.【典例2】设等比数列an的前n项和为Sn，若，则_【解析】设等比数列an的公比为q，因为，所以an的公比q1.由，得q3，所以.三、【培优训练】【训练一】(多选)在悠久灿烂的中国古代文化

11、中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩张丘建算经是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？已知1匹4丈，1丈10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为an，bn2an，对于数列an，bn，下列选项中正确的为()Ab108b5 Bbn是等比数列Ca1b30105 D.【解析】由题意知，an为等差数

12、列，a15，S30390，设公差为d，则S30305d，所以d.对于B，bn中，2an1an2d，故bn为等比数列，故B正确对于A，25d28，故A错误对于C，a1b30532229532216105，故C错误对于D，故D正确故选BD.【训练二】(多选)已知数列an和各项均为正数的等比数列bn满足： (aii)2bn2，b12，b2b3是b3与b4的等差中项，数列an的前n项和为Sn，则下列结论正确的是()A.数列anbn是等差数列B.Sn2n12C.数列an是递增数列D. 2【解析】设bn的公比为q.由题知b3b42(b2b3)b4b32b20q2q20q2或1(舍)，故bn2n，ann2b

13、n2bn12n12n2n，an2nn，anbnn，故anbn为等差数列，A正确；Sn2222n(12n)2(2n1)，B正确；an1an2n11，故an是递增数列，C正确；当n1时，1，21，矛盾，故D错误.故选ABC.【训练三】已知数列an的前n项和为Sn，a11，且Snan1(为常数)若数列bn满足anbnn29n20，且bn1bn，则满足条件的n的取值集合为_【解析】当n1时，a1S1a11.又a11，所以11，解得2.所以Sn2an1，所以Sn12an11(n2)所以anSnSn12an2an1，即an2an1，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以数列an的通项公式为an

14、2n1.又anbnn29n20，所以bn，所以bn1bn0.又2n0，所以n211n28(n4)(n7)0，解得4n7.又nN*，所以满足条件的n的取值集合为5，6【训练四】已知数列an中，a11，anan1，记T2n为an的前2n项的和，bna2na2n1，nN*.(1)判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.【解析】(1)因为anan1，所以an1an2，所以，即an2an.因为bna2na2n1，所以，因为a11，a1a2，所以a2，所以b1a1a2.所以bn是首项为，公比为的等比数列所以bn.(2)由(1)可知，an2an，所以a1，a3，a5，是以a11为首项，以为公

15、比的等比数列；a2，a4，a6，是以a2为首项，以为公比的等比数列，所以T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)3.【训练五】已知等比数列an的公比q1，a12，且a1，a2，a38成等差数列，数列anbn的前n项和为.(1)分别求出数列an和bn的通项公式；(2)设数列的前n项和为Sn，nN*，Snm恒成立，求实数m的最小值【解析】(1)因为a12，且a1，a2，a38成等差数列，所以2a2a1a38，即2a1qa1a1q28，所以q22q30，所以q3或q1，又q1，所以q3，所以an23n1(nN*)因为a1b1a2b2anbn，所以a1b1a2b2an1bn1(n2)，两式相减，得

16、anbn2n3n1(n2)，因为an23n1，所以bnn(n2)，当n1时，由a1b12及a12，得b11(符合上式)，所以bnn(nN*)(2)因为数列an是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以Sn0,0q1，则an为递减数列B若a10,0q0，则S4S62S5D若bn，则bn是等比数列【解析】A，B显然是正确的；C中，若a11，q，则a6a5，即S6S52 020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由从q2，q，q2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答【解析】选择：因为a312，所以a13，所以Sn3(2n1)令Sk2 020，即3(2k1)2

17、 020，得2k.所以存在正整数k，使得Sk2 020，k的最小值为10.选择：因为a312，所以a148，所以Sn96.因为Sn962 020，即1(2)k2 020，整理得(2)k2 019，所以存在正整数k，使得Sk2 020，k的最小值为11.19. 已知数列an的前n项和为Sn，且满足2Snann(nN*).(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列an1的前n项和Tn.【解析】(1)证明2Snann，当n2时2Sn1an1n1，两式相减，得2ananan11，即anan1.an，数列为等比数列.(2)解由2S1a11，得a1，由(1)知，数列是以为首项，为公比的等比数列.an，an，

18、an1，Tn.20. 已知公比大于1的等比数列an满足a2a420，a38.(1)求an的通项公式；(2)求a1a2a2a3(1)n1anan1.【解析】(1)设an的公比为q(q1)，且a2a420，a38.消去a1，得q，则q2，或q(舍).因此q2，a12，所以an的通项公式an2n.(2)易知(1)n1anan1(1)n122n1，则数列(1)n122n1公比为4.故a1a2a2a3(1)n1anan123252729(1)n122n11(4)n(1)n.21. 记数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an1.设bnan12an.(1)求证：数列bn为等比数列；(2)设cn|b

19、n100|，Tn为数列cn的前n项和求T10.【解析】(1)证明由Sn14an1，得Sn4an11(n2，nN*)，两式相减得an14an4an1(n2)，所以an12an2(an2an1)，所以2(n2)，又a11，S24a11，故a24，a22a12b10，所以数列bn为首项与公比均为2的等比数列(2)解由(1)可得bn22n12n，所以cn|2n100|所以T10600(212226)272829210400200272829210200228292101 994.22. 已知等比数列an的公比q1，a12，且a1，a2，a38成等差数列，数列anbn的前n项和为.(1)分别求出数列an

20、和bn的通项公式；(2)设数列的前n项和为Sn，nN*，Snm恒成立，求实数m的最小值【解析】(1)因为a12，且a1，a2，a38成等差数列，所以2a2a1a38，即2a1qa1a1q28，所以q22q30，所以q3或q1，又q1，所以q3，所以an23n1(nN*)因为a1b1a2b2anbn，所以a1b1a2b2an1bn1(n2)，两式相减，得anbn2n3n1(n2)，因为an23n1，所以bnn(n2)，当n1时，由a1b12及a12，得b11(符合上式)，所以bnn(nN*)(2)因为数列an是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以Sn.因为nN*，Snm恒成立，所以m，即实数m的最小值为.