2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第33讲数列的概念与简单表示（讲）（Word版附解析）.docx

1、第33讲 数列的概念与简单表示（讲）思维导图知识梳理1数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2，n)为定义域的函数anf(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 (3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法2数列的分类(1)按照项数有限和无限分：(2)按单调性来分：3数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 (2)递推公式：如果

2、已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式题型归纳题型1 由an与Sn的关系求通项an【例1-1】（2019秋沈阳期中）若数列an的前n项和Sn2n23n+2，则它的通项公式an是 【分析】利用“当n1时，a1S1；当n2时，anSnSn1”即可得出【解答】解：当n1时，a1S123+21当n2时，anSnSn12n23n+22（n1）23（n1）+24n5an=1，n=14n-5，n2故答案为an=1，n=14n-5，n2【例1-2】（2019春南康区校级期中）如果数列an的前

3、n项和Sn=32an3，那么这个数列的通项公式是 【分析】利用an=S1，当n=1时Sn-Sn-1，当n2时及等比数列的通项公式即可得出【解答】解：当n1时，a1=S1=32a1-3，解得a16；当n2时，anSnSn1=32an-3-(32an-1-3)，化为anan-1=3数列an是以6为首项，3为公比的等比数列，an=63n-1=23n故答案为an=23n【跟踪训练1-1】（2020春杨浦区校级期末）数列an的前n项和Sn满足：Snn2+2n+3，nN*，则数列an的通项公式an 【分析】直接利用前n项和与通项之间的关系即可求解【解答】解：因为数列an的前n项和Sn满足：Snn2+2n+

4、3，nN*，当n2时，anSnSn1n2+2n+3（n1）2+2（n1）+32n+1，当n1时，a1S11+2+36不适合上式；故数列an的通项公式an=6，n=12n+1，n2故答案为：6，n=12n+1，n2【跟踪训练1-2】（2020烟台模拟）已知数列an的前n项和公式为Sn2n2n+1，则数列an的通项公式为 【分析】由Sn2n2n+1，可得：n2时，anSnSn1，n1时，a1S1即可得出数列an的通项公式【解答】解：由Sn2n2n+1，可得：n2时，anSnSn12n2n+12（n1）2（n1）+14n3，n1时，a1S121+12则数列an的通项公式为an=2，n=14n-3，n

5、2故答案为：an=2，n=14n-3，n2【跟踪训练1-3】（2019春蚌埠期中）数列an的前n项和Sn3n25n，则an（）A3n5B2n4C6n8D5n7【分析】n2时，anSnSn1，n1时，a1S1，可得an【解答】解：n2时，anSnSn13n25n3（n1）25（n1）6n8，n1时，a1S1352对于上式成立则an6n8故选：C【跟踪训练1-4】（2019秋碑林区校级月考）在数列an中，已知Sn=(n+1)2，其中Sn为an的前n项和，则an 【分析】由公式可得：n1时，a1S1；n2，SnSn1【解答】解：令n1时，a1S14；令n2时，anSnSn12n+1综上所述，4，n=

6、12n+1，n2，故答案为：4，n=12n+1，n2【名师指导】1已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)注意检验n1时的表达式是否可以与n2的表达式合并2Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解题型2 由数列的递推关系求通项公式【例2-1】（2019春南昌期中）已知数列an中，a11，且an+1an

7、+3n1，则数列的通项公式an 【分析】因为an+1an+3n1，所以an+1an3n1，利用累加法可以求出数列an的通项公式【解答】解：依题意，因为an+1an+3n1，所以an+1an3n1，所以an-an-1=3n-4an-1-an-2=3n-7a2-a1=2等式左右两端相加得：ana12+5+（3n4）=2+(3n-4)2(n-1)=3n2-5n+22，（2+5+（3n4）为首项为2公差为3的等差数列的前（n1）项的和）又因为a11，所以an=3n2-5n2故填：3n2-5n2【例2-2】（2019春舒城县期末）已知数列an中，a11，an+1=an1+2an，则an的通项公式an 【

8、分析】将所给的式子变形得：2an+1anan+1an，两边除以an+1an后，根据等差数列的定义，构造出新的等差数列1an，再代入通项公式求出1an，再求出an【解答】解：由题意得an+1=an1+2an，则2an+1anan+1an，两边除以an+1an得，1an+1-1an=2，数列1an是以1为首项，2为公差的等差数列，1an=1+（n1）22n1，则an=12n-1，故答案为：12n-1【跟踪训练2-1】（2020春静安区期末）数列an满足a13，an+1an+5，则数列an的通项公式an （nN*）【分析】由题意可得：an+1an5，可得数列an为等差数列，其公差d为5，根据已知利用

9、等差数列的通项公式即可求解【解答】解：an+1an+5，可得：an+1an5，数列an为等差数列，其公差d为5，a13，数列an的通项公式ana1+（n1）d3+5（n1）5n2，nN*故答案为：5n2【跟踪训练2-2】（2020春徐汇区校级期末）在数列an中，若a11，an+13=an3+1，则an 【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出【解答】解：a11，an+13=an3+1，则an+1an+3，数列an为首项为1，公差为3的等差数列，an1+3（n1）3n2，故答案为：3n2【名师指导】1正确选用方法求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为an1anf(n)的数列，通常采用累加

10、法(逐差相加法)求其通项公式(2)对于递推关系式可转化为f(n)的数列，并且容易求数列f(n)前n项的积时，采用累乘法求数列an的通项公式(3)对于递推关系式形如an1panq(p0,1，q0)的数列，采用构造法求数列的通项2避免2种失误(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式题型3 数列的性质及应用【例3-1】（2019秋郑州期中）在数列an中，已知a11，a25，且an+2=an+1-an(nN*)，则a2020 【分析

11、】法一：通过取n1，2，3，4，5，6即可得出周期性法二：an+2=an+1-an(nN*)，an+3an+2an+1，可得an+3+an+2an+1an+an+2an+1，可得an+3an，可得an+6an+3an，即可得出an周期为6，即可得出【解答】解：法一：令n1，则a3a2a1514；令n2，则a4a3a2451；令n3，则a5a4a3145；令n4，则a6a5a45（1）4；令n5，则a7a6a54（5）1；令n6，则a8a7a61（4）5；数列an为周期为6的周期数列，a2020a3366+4a41法二：an+2=an+1-an(nN*)，an+3an+2an+1，+得an+3+

12、an+2an+1an+an+2an+1，an+3an，an+6an+3an，an周期为6，a2020a3366+4a4，由a11，a25，得a34，a41【例3-2】（2020春温州期末）设数列an满足nan=n2+，若数列an是单调递增数列，则实数的取值范围是 【分析】根据数列递增得到an+1an，利用不等式的性质即可得到结论【解答】解：nan=n2+ann+n，若an递增，则an+1an，即n+1+n+1n+n，则n（n+1），nN*，n（n+1）2，则2，故答案为：（，2）【例3-3】（2020春南昌月考）已知an=n-122n-123(nN*)，则在数列an的前40项中最大项和最小项分

13、别是（）Aa1，a30Ba1，a9Ca10，a9Da12，a11【分析】根据题意，将数列的通项公式变形可得an=n-122n-123=1+123-122n-123，结合函数的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，an=n-122n-123=1+123-122n-123，当n11时，数列an递减，且an1，当n12时，数列an递减，且an1，故在数列an的前40项中最大项和最小项分别是a12和a11；故选：D【跟踪训练3-1】（2020春山西月考）已知数列an的通项公式为an（3n+7）0.9n，则数列an的最大项是（）Aa5Ba6Ca7Da8【分析】作差利用单调性即可得出【解答】解：an+1a

14、n（3n+10）0.9n+1（3n+7）0.9n0.9n（20-3n10）0，解得：n203可得最大项为a7故选：C【跟踪训练3-2】（2020春九龙坡区期末）已知数列an的通项公式为an2n2+n（nN*，R），若an是递减数列，则的取值范围为（）A（，4）B（，4C（，6）D（，6【分析】数列an是递减数列，可得anan+1，化简解出即可得出【解答】解：数列an是递减数列，anan+1，2n2+n2（n+1）2+（n+1），解得4n+2，数列4n+2单调递增，n1时取得最小值6，6故选：C【跟踪训练3-3】（2019秋海淀区校级月考）如表定义函数f（x）：x12345f（x）54312对于

15、数列an，a14，anf（an1），n2，3，4，则a2019的值是（）A1B2C5D4【分析】探究出数列的周期性即可得出【解答】解：a14，anf（an1），所以a2f（a1）f（4）1，a3f（a2）f（1）5，a4f（a3）f（5）2，a5f（a4）f（2）4，a6f（a5）f（4）1，由上可知，数列an是4，1，5，2，4，1，以周期为4的周期数列，a2019a2016+3a35，故选：C【名师指导】1.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值2.解决数列的单调性问题的3种方法作差比较法根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列

16、或是常数列作商比较法根据(an0或an0)与1的大小关系进行判断数形结合法结合相应函数的图象直观判断3.求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f(x)当xN*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用(n2)确定最大项，利用(n2)确定最小项(3)比较法：若有an1anf(n1)f(n)0，则an1an，则数列an是递增数列，所以数列an的最小项为a1f(1)；若有an1anf(n1)f(n)0，则an1an，则数列an是递减数列，所以数列an的最大项为a1f(1)