2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编04（解析版）.pdf

1、12024 年新高考新题型数学选填压轴好题汇编 04一、单选题1(2024广东一模)已知集合 A=-12,-13,12,13,2,3，若 a,b,c A 且互不相等，则使得指数函数 y=ax，对数函数 y=logbx，幂函数 y=xc中至少有两个函数在(0,+)上单调递增的有序数对(a,b,c)的个数是()A.16B.24C.32D.48【答案】B【解析】若 y=ax和 y=logbx 在(0,+)上单调递增，y=xc在(0,+)上单调递减，则有 A22 C12=4 个；若 y=ax和 y=xc在(0,+)上单调递增，y=logbx 在(0,+)上单调递减，则有 C12 C12 C12=8 个

2、；若 y=logbx 和 y=xc在(0,+)上单调递增，y=ax在(0,+)上单调递减，则有 C12 C12 C12=8 个；若 y=ax、y=logbx 和 y=xc在(0,+)上单调递增，则有 A22 C12=4 个；综上所述：共有 4+8+8+4=24 个.故选：B.2(2024广东江门一模)物理学家本福特提出的定律：在 b 进制的大量随机数据中，以 n 开头的数出现的概率为 Pb n=logb n+1n.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若80n=kP10(n)=log4811+log25 k N*，则 k 的值为()A.7B.8C.9D.10【答案】C【解

3、析】80n=kP10(n)=P10(k)+P10(k+1)+P10(80)=lg k+1k+lg k+2k+1+lg 8180=lg 81k，而log4811+log25=lg81lg41+lg5lg2=4lg32lg21+lg5lg2=2lg3=lg9，故 k=9故选：C3(2024广东模拟预测)在正三棱锥 A-BCD 中，BCD 的边长为 6，侧棱长为 8，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为()A.3 3468B.3434C.2 1717D.1734【答案】A【解析】依题意，记 BC 的中点为 F，连接 DF，记正 BCD 的中心为 O，连接 AO，因为在正

4、三棱锥 A-BCD 中，AO 底面 BCD，在正 BCD 中，DF BC，在平面 BCD 中过 F 点作 z 轴 底面 BCD，则 AO z 轴，以 F 点为原点，建立空间直角坐标系，如图，因为在正三棱锥 A-BCD 中，BCD 的边长为 6，侧棱长为 8，所以 DF=32 CD=32 6=3 3，则 OD=2OF=23 DF=2 3，AO=AD2-OD2=64-12=2 13，2故 B-3,0,0,C 3,0,0,D 0,3 3,0,O 0,3,0,A 0,3,2 13，则 E-32,32,13，CE=-92,32,13，BD=3,3 3,0，所以 cosCE,BD=CE BDCEBD=-9

5、2 3+32 3 3-922+322+13 9+27=-3 3468，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为 3 3468.故选：A.4(2024天津滨海新一模)已知抛物线 C1:y2=2px p 0的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 E，线段EF 被双曲线 C2:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)顶点三等分，且两曲线 C1，C2的交点连线过曲线 C1的焦点 F，则双曲线 C2的离心率为()A.2B.3 22C.113D.222【答案】D【解析】求得抛物线的焦点和准线，可得 EF 的长度，由题意可得 p=6a，求出两曲线交点坐标，代入双曲线方程可得 a,b 的关系，利用离心率公式

6、可求得结果.抛物线 y2=2px 的焦点为 Fp2,0，准线方程为 x=-p2，E-p2,0，|EF|=p，因为线段 EF 被双曲线 C2:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)顶点三等分，所以 2a=p3，即 p=6a，因为两曲线 C1，C2的交点连线过曲线 C1的焦点 F，所以两个交点为p2,p、p2,-p，将p2,p代入双曲线 x2a2-y2b2=1 得 p24a2-p2b2=1，所以 36a24a2-36a2b2=1，所以 9-36a2b2=1，所以 b2a2=92，所以双曲线 C2的离心率 e=ca=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=1+92=222.故选：D5(2024湖南

7、二模)已知函数 f x=sin x+3cos x，若沿 x 轴方向平移 f x的图象，总能保证平移后的曲线与直线 y=1 在区间 0,上至少有 2 个交点，至多有 3 个交点，则正实数 的取值范围为()A.2,83B.2,103C.103,4D.2,4【答案】A【解析】由 f x=sin x+3cos x可得：f x=2sin x+3，若沿 x 轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数 g x=2sin x+.令 g x=1，即 sin x+=12，x 0,，取 z=x+，则 z ,+.依题意知，sinz=12 在,+上至少有 2 解，至多有 3 解，则须使区间,+的长度在 2 到 83 之

8、间，即 2 83，解得 2 0)交于 A,B 两点，在线段 AB 上取一点 Q，使得1PA+1PB=2PQ，已知线段 PQ的最小值为2，则 a 的值为()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】圆心 C a,2，半径为 2，则圆 C 与 x 轴相切，设切点为 M a,0，则 PM=a+1，则|PM|2=PAPB=(a+1)2，设 AB 的中点为 D，连接 CD，则 CD AB，令圆心 C 到直线 AB 的距离为 d，则 0 d 2,|PA|+|PB|=|PD|-|AD|+|PD|+|AD|=2|PD|，由1PA+1PB=2PQ，得 PQ=2 PAPBPA+PB=(a+1)2|PC|2-d2=

9、(a+1)2(a+1)2+4-d2，因此(a+1)2(a+1)2+4-0 PQ(a+1)2(a+1)2+4-4，而 PQ的最小值为2，所以a+12a+12+4=2，则 a=1.故选：A7(2024高三浙江宁波阶段练习)如图 1，水平放置的直三棱柱容器 ABC-A1B1C1中，AC AB，AB=AC=2，现往内灌进一些水，水深为 2将容器底面的一边 AB 固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形 A1B1C，如图 2，则容器的高 h 为()A.3B.4C.4 2D.6【答案】A【解析】在图 1 中水的体积 V=12 2 2 2=4，在图 2 中水的体积 V=VABC-

10、A1B1C1-VC-A1B1C1=12 2 2 h-13 12 2 2 h=43 h，所以 43 h=4 h=34故选：A8(2024江西高考真题)已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，满足 MF1 MF2=0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A.(0,1)B.0,12C.0,22D.22,1【答案】C【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a,b,c因为 MF1MF2=0 所以点 M 的轨迹为以原点为圆心，半径为 c 的圆与因为点 M 在椭圆的内部，所以 c a,c b，所以 c2 b2=a2-c2，所以 2c2 a2 e2=c2a2 0,b 0的焦距为 2c，过右焦点且垂

11、直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点.设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1-d2 c，则双曲线的离心率的取值范围为()A.1,2 33B.2 33,+C.1,2D.2,+【答案】C【解析】由题意可知，直线 AB 经过双曲线的右焦点，且垂直于 x 轴，不妨设 A c,y0，代入椭圆方程 c2a2-y02b2=1，又 c2=a2+b2，所以 y0=b2a，所以 A c,b2a，B c,-b2a，任取双曲线的一条渐近线为直线 bx+ay=0，由点到直线的距离公式可得点 A 到渐近线的距离 d1=bc+b2a2+b2=bc+b2c，点 B 到渐近线的距离 d2

12、=bc-b2a2+b2=bc-b2c，所以 d1-d2=bc+b2c-bc-b2c=2b2c=2b2c，因为 d1-d2 c，所以 2b2c c，因 c 0，所以 2b2 c2，即 2 c2-a2 c2，所以 c2 2a2，所以 c2a2 2，因为双曲线离心率 ca 1，所以 1 0的焦点为 F，斜率为 k 的直线 l 经过点 F，并且与抛物线 C 交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 M，与抛物线的准线交于点 N，若 AF=2MN，则 k=()A.3B.2C.2D.3【答案】D【解析】当 A 在第一象限时，5设准线与 x 轴的交点为 P，过 A 作准线的垂线，垂足为 A，因为 OM PN，且

13、 O 为 PF 的中点，所以 OM 为三角形 PFN 的中位线，即 FM=MN，所以 AF=2MN=FN，又根据抛物线的定义 AF=AA，所以 AN=2 AF=2 AA，所以在直角三角形 AAN 中，AAN=60，所以 AFx=60，此时 k=3，根据对称性，当 A 在第四象限时，k=-3，故选：D.11(2024湖北一模)设直线 l：x+y-1=0，一束光线从原点 O 出发沿射线 y=kx x 0向直线 l 射出，经 l 反射后与 x 轴交于点 M，再次经 x 轴反射后与 y 轴交于点 N若 MN=136，则 k 的值为()A.32B.23C.12D.2【答案】B【解析】如图，设点 O 关于

14、直线 l 的对称点为 A x1,y1，则x12+y12-1=0y1x1 -1=-1得 x1=1y1=1，即 A 1,1，由题意知 y=kx x 0与直线 l 不平行，故 k-1，由 y=kxx+y-1=0，得x=1k+1y=kk+1，即 P1k+1,kk+1，故直线 AP 的斜率为 kAP=kk+1-11k+1-1=1k，直线 AP 的直线方程为：y-1=1k x-1，令 y=0 得 x=1-k，故 M 1-k,0，令 x=0 得 y=1-1k，故由对称性可得 N 0，1k-1，由 MN=136得(1-k)2+1k-12=1336，即 k+1k2-2 k+1k=1336，解得 k+1k=136

15、，得 k=23 或 k=32，若 k=32，则第二次反射后光线不会与 y 轴相交，故不符合条件故 k=23，故选：B12(2024湖北二模)能被 3 个半径为 1 的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是()A.2 63B.62C.2 33D.33+12【答案】C【解析】要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，设三个半径为 1 的圆的圆心分别为 O1,O2,O3，设被覆盖的圆的圆心为 O，如图，设圆 O1与 O2交于 A,B,O1O2交 AB 于 H,AB 交圆 O3于 C，显然 O 为正 O1O2O3的中心，6设 OO1=OO2=OO3=x，则

16、O1H=3x2,OH=x2，OA=OH+HA=x2+1-32 x2=12(x+4-3x2)，又 OC=OO3+O3C=x+1 OA，因此圆 O 的最大半径为 OA，令 f(x)=12(x+4-3x2)，求导得 f(x)=4-3x2-3x2 4-3x2，由 f(x)=0，得 x=33，当 0 x 0，当33 x 2 33时，f(x)0，7b-2b=a+4c，则()A.0 c b 1 aB.0 b c 1 aC.0 c b a 1D.0 b c a 0,b 0，由 ln ab 0 可得：ab 1，则 a b由 a2-b=2ln ab 化简得：a2-2lna=b-2lnb，分别设函数 f x=x2-

17、2lnx，g x=x-2lnx由 f(x)=2 x2-1x，(x 0)，则当 0 x 1 时，f(x)1 时，f(x)0，则 f x在 0,1上递减,在 1,+上递增，故 f xmin=f 1=1.又 g x=x-2x,(x 0)，则当 0 x 2 时，g(x)2 时，g(x)0，则 g x在 0,2上递减；在 2,+上递增，故 g xmin=g 2=2-2ln2由 f x-g x=x2-x=x x-1，则 0 x 1 时，f x 1 时，f xg x函数 f x与 g x的图象如图令 f a=f b=k由于 a b，则 0 b 1，1 1，7b-2b=a+4c 5c，则 7b-2b5b 5c

18、-b7令 h x=75x-25x，其在 R 上单调递增由于 0 b 1，则 0=h(0)h b h(1)=1，则有 5c-b 1，即 c-b 0 得 c b综上，0 c b 1 0,b 0，可知 c=2,a2+b2=c2=4，由 2a=QA-QB=2，得 a=1，故 b2=3，双曲线方程为 x2-y23=1.故选：A.16(2024山东青岛一模)x R，f(x)+f(x+3)=1-f(x)f(x+3)，f(-1)=0，则 f(2024)的值为()A.2B.1C.0D.-1【答案】B【解析】由题意知 x R，f(x)+f(x+3)=1-f(x)f(x+3)，f(-1)=0，令 x=-1，则 f(

19、-1)+f(2)=1-f(-1)f(2),f(2)=1显然 f(x)=-1 时，-1+f(x+3)=1+f(x+3)不成立，故 f(x)-1，故 f(x+3)=1-f(x)1+f(x)，则 f(x+6)=1-1-f(x)1+f(x)1+1-f(x)1+f(x)=f(x)，即 6 为函数 f(x)的周期，则 f(2024)=f(337 6+2)=f(2)=1，故选：B17(2024山东聊城一模)已知 P 是圆 C:x2+y2=1 外的动点，过点 P 作圆 C 的两条切线，设两切点分别为 A，B，当 PA PB的值最小时，点 P 到圆心 C 的距离为()A.4 2B.3 2C.2D.2【答案】A【

20、解析】设 P x,y，则 OP=x2+y2，则 PA PB=PO+OAPO+OB=PO2+PO OA+OB+OA OB，OA OB=OA OBcosAOB=cosAOB=cos2POA=2cos2POA-1=2 OA2OP2-1=2x2+y2-1，PO OA=PO OB=PO OAcos 180-POA=-PO OAcosPOA=-PO OA OAOP=-1，故 PA PB=x2+y2-2+2x2+y2-1 2x2+y22x2+y2-3=2 2-3，当且仅当 x2+y2=2x2+y2，即 x2+y2=2 时，等号成立，故当 PA PB的值最小时，点 P 到圆心 C 的距离为 4 2.故选：A.

21、18(2024山东聊城一模)在三棱柱 ABC-A1B1C1中，点 D 在棱 BB1上，且 ADC1所在的平面将三棱柱 ABC-A1B1C1分割成体积相等的两部分，点 M 在棱 A1C1上，且 A1M=2MC1，点 N 在直线 BB1上，若MN 平面 ADC1，则 BB1NB1=()A.2B.3C.4D.69【答案】D【解析】如图，连接 AB1，则 VA-A1B1C1=13 VABC-A1B1C1，又 ADC1所在的平面将三棱柱 ABC-A1B1C1分割成体积相等的两部分，所以 VA-DB1C1=12 VABC-A1B1C1-13 VABC-A1B1C1=16 VABC-A1B1C1，即 VA-

22、DB1C1=12 VA-A1B1C1，即 VC1-ADB1=12 VC1-AA1B1，设 C1到平面 ABB1A1的距离为 d，则 VC1-ADB1=13 SADB1 d，VC1-AA1B1=13 SAA1B1 d，所以 SADB1=12 SAA1B1=12 SABB1，所以 D 为 BB1的中点，在 AA1上取点 E，使得 A1E=2AE，连接 EN、EM，因为 A1M=2MC1，所以 EM AC1，又 EM 平面 ADC1，AC1 平面 ADC1，所以 EM 平面 ADC1，又 MN 平面 ADC1，EM MN=M，EM,MN 平面 EMN，所以平面 EMN 平面 ADC1，又平面 EMN

23、 平面 ABB1A1=EN，平面 ADC1 平面 ABB1A1=AD，所以 AD EN，又 AE ND，所以四边形 ADNE 为平行四边形，所以 ND=AE=13 AA1=13 BB1，所以 B1N=B1D-ND=12 BB1-13 BB1=16 BB1，所以 BB1NB1=6.故选：D19(2024山东烟台一模)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A-1,0,B 2,3，向量 OC=mOA+nOB，且m-n-4=0.若 P 为椭圆 x2+y27=1 上一点，则 PC的最小值为()A.4510B.10C.8510D.2 10【答案】A【解析】设点 C(x,y)，由 A-1,0,B 2,3及 OC

24、=mOA+nOB，得(x,y)=(-m+2n,3n)，即 x=-m+2ny=3n，而 m-n-4=0，消去 m,n 得：3x-y+12=0，设椭圆 x2+y27=1 上的点 P(cos,7sin),R，则点 P 到直线 3x-y+12=0 的距离 d=|3cos-7sin+12|32+(-1)2=12-4sin(+)10，其中锐角 由 tan=37 确定，当 sin(+)=1 时，dmin=4510，而 PC d，所以 PC的最小值为 4510.故选：A20(2024山东济宁一模)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 y 轴相

25、交于 M 点，与双曲线 C 在第一象限的交点为 P，若 F1M=2MP，F1P F2P=0，则双曲线 C 的离心率为()10A.2B.3C.3 32D.3+1【答案】D【解析】设 PF1F2=，为锐角，因为 F1M=2MP，F1P F2P=0，所以 PF1 PF2，PF1=32 MF1，MF1=ccos，|PF1|=32|MF1|=3c2cos，又|PF2|=2csin，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，9c24cos2+4c2sin2=4c2，9+16sin2cos2=16cos2，9+16(1-cos2)cos2=16cos2，9-16cos4=0，cos2=34，cos=32(

26、负值舍去)，=30，|PF1|=32|MF1|=3c2cos=3c，|PF2|=2csin=c，双曲线 C 的离心率 e=2c2a=|F1F2|PF1|-|PF2|=2c3c-c=3+1故选：D21(2024山东济宁一模)设函数 f(x)定义域为 R，f(2x-1)为奇函数，f(x-2)为偶函数，当 x 0,1 时，f(x)=x2-1，则 f(2023)-f(2024)=()A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】因为函数 f(x)定义域为 R，f(2x-1)为奇函数，所以 f(2x-1)=-f(-2x-1)，所以函数 f(x)关于点-1,0中心对称，且 f-1=0，因为 f(x-2)为偶

27、函数，所以 f(x-2)=f(-x-2)，所以函数 f(x)关于直线 x=-2 轴对称，又因为 f x=-f-2-x=-f-2+x=-f-4+x，所以函数 f(x)的周期为 4，因为当 x 0,1 时，f(x)=x2-1，所以 f(2023)=f 4 506-1=f-1=0，f(2024)=f 4 506=f 0=-1，所以 f(2023)-f(2024)=1.故选：C.22(2024山东淄博一模)已知 F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q 是它们的两个公共点，且 P，Q关于原点对称，PF2Q=23，若椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率为 e2，则e21e21+1+3e22e22+3的

28、最小值是()A.2+33B.1+33C.2 33D.4 33【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2，11则根据椭圆及双曲线的定义得：PF1+PF2=2a1,PF1-PF2=2a2，PF1=a1+a2,PF2=a1-a2，设 F1F2=2c,PF2Q=23，根据椭圆与双曲线的对称性知四边形 PF1QF2为平行四边形，则 F1PF2=3，则在 PF1F2中，由余弦定理得，4c2=a1+a22+a1-a22-2 a1+a2a1-a2cos 3，化简得 a21+3a22=4c2，即 1e21+3e22=4，则e21e21+1+3e22e22+3=11e21+1+33

29、e22+1=11e21+1+33e22+11e21+1+3e22+1 16=16 4+3e22+11e21+1+31e21+13e22+1 16 4+23e22+11e21+131e21+13e22+1=16 4+2 3=2+33，当且仅当3e22+12=31e21+121e21+3e22=4，即e21=3 3+411 1时等号成立，故选：A.23(2024广东茂名一模)若 4,34，6tan 4+4cos 4-=5cos2，则 sin2=()A.2425B.1225C.725D.15【答案】C【解析】令 t=4+，t 2,，得 =t-4，则 6tant+4cos 2-t=5cos 2t-2，

30、即 6tant+4sint=5sin2t=10sintcost，整理得 5cost+3cost-1=0，且 cost 0，y 0 时 x24-y28=1，则曲线 E 为双曲线 x24-y28=1 的一部分，且双曲线的渐近线为 y=2x；当 x 0 时 y28-x24=1，则曲线 E 为双曲线 y28-x24=1 的一部分，且双曲线的渐近线为 y=2x；可得曲线的图形如下所示：由图可知 y 随着 x 增大而减小，故 A 正确；曲线 E 的横坐标取值范围为 R，故 B 错误；因为-1.4-2，所以曲线 E 与直线 y=-1.4x 相交，且交点在第四象限，故 C 错误；因为2x0+y0=3 2x0+

31、y022+12，即点 M x0,y0到直线2x+y=0 的距离的3 倍，当直线2x+y+c=0 与曲线 x24+y28=1 x 0,y 0相切时，由x24+y28=12x+y+c=0，消去 y 整理得 4x2+2 2cx+c2-8=0，则 =2 2c2-16 c2-8=0，解得 c=4(舍去)或 c=-4，又2x+y=0 与2x+y-4=0 的距离 d=422+12=43，所以2x0+y0max=3d=4，所以2x0+y0的取值范围为 0,4，故 D 正确；故选：AD25(2024广东江门一模)已知函数 f(x)=sin 2x+3+sin 2x-3+2 3cos2x-3(0)，则下列结论正确的

32、是()A.若 f x相邻两条对称轴的距离为 2，则 =2B.当 =1，x 0,2时，f x的值域为-3,2C.当 =1 时，f x的图象向左平移 6 个单位长度得到函数解析式为 y=2cos 2x+6D.若 f x在区间 0,6上有且仅有两个零点，则 5 8【答案】BCD13【解析】f(x)=sin 2x+3+sin 2x-3+2 3cos2x-3=sin2xcos 3+cos2xsin 3+sin2xcos 3-cos2xsin 3+3cos2x=sin2x+3cos2x=2sin 2x+3，对于 A，若 f x相邻两条对称轴的距离为 2，则 T=2 2=22,故 =1，A 错误，对于 B，

33、当 =1，f x=2sin 2x+3，当 x 0,2时，2x+3 3,43，则 f x的值域为-3,2，B 正确，对于 C，当 =1，f x=2sin 2x+3，f x的图象向左平移 6 个单位长度得到函数解析式为f x+6=2sin 2 x+6+3=2sin 2x+23=2cos 2x+6，C 正确，对于 D，当 x 0,6时，2x+3 3,2 6+3，若 f x在区间 0,6上有且仅有两个零点，则 2 2 6+3 3，解得 5 8，故 D 正确，故选：BCD26(2024广东一模)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的各个顶点都在表面积为 3 的球面上，点 P 为该球面上的任意一点，则下

34、列结论正确的是()A.有无数个点 P，使得 AP 平面 BDC1B.有无数个点 P，使得 AP 平面 BDC1C.若点 P 平面 BCC1B1，则四棱锥 P-ABCD 的体积的最大值为2+16D.若点 P 平面 BCC1B1，则 AP+PC1的最大值为6【答案】ACD【解析】令正方体 ABCD-A1B1C1D1的外接球半径为 r，4r2=3，r=32，则 BD1=3,AB=1，连接 AB1,AD1,B1D1，由四边形 ABC1D1是该正方体的对角面，得四边形 ABC1D1是矩形，即有 AD1 BC1，而 BC1 平面 BDC1，AD1 平面 BDC1，则 AD1 平面 BDC1，同理 AB1

35、平面 BDC1，又 AB1 AD1=A,AB1,AD1 平面 AB1D1，因此平面 AB1D1 平面 BDC1，令平面 ABD1截球面所得截面小圆为圆 M，对圆 M 上任意一点(除点 A 外)均有 AP 平面 BDC1，A 正确；对于 B，过 A 与平面 BDC1垂直的直线 AP 仅有一条，这样的 P 点至多一个，B 错误；对于 C，平面 BCC1B1截球面为圆 R，圆 R 的半径为22，则圆 R 上的点到底面 ABCD 的距离的最大值为2+12，14因此四棱锥 P-ABCD 的体积的最大值为 13 1 2+12=2+16，C 正确；对于 D，显然 AB 平面 BCC1B1，在平面 BCC1B

36、1内建立平面直角坐标系，如图，令点 P22 cos,22 sin，而 B-12,-12,C1 12,12，因此 AP=1+22 cos+122+22 sin+122=2+22(sin+cos)，PC1=22 cos-122+22 sin-122=1-22(sin+cos)，令22(sin+cos)=x，AP+PC1=2+x+1-x=2+x+1-x2 22+x2+1-x2=6，当且仅当 x=-12取等号，此时22(sin+cos)=-12，即 sin +4=-12，因此 AP+PC1的最大值为6，D 正确.故选：ACD27(2024广东一模)已知偶函数 f(x)的定义域为 R，f12 x+1为奇

37、函数，且 f(x)在 0,1上单调递增，则下列结论正确的是()A.f-32 0C.f(3)0【答案】BD【解析】因为 f x为偶函数，所以 f-x=f x；因为 f12 x+1是 R 上的奇函数，所以 f 1=0，且 f x+22的图象是由 f x2的图象向左平移 2 个单位得到的，所以 f x2的图象关于 2,0点对称，进一步得 f x的图象关于点 1,0中心对称，即 f 1+x=-f 1-x.所以 f x+2=f 1+1+x=-f 1-1+x=-f-x=-f x，所以 f x+4=-f x+2=f x.所以函数 f x是周期函数，且周期为 4；又 f x在 0,1上单调递增，所以在 0,1

38、上，有 f x 0，故 A 错；f43 0，故 B 对；f 3=0，故 C 错；15f 20243=f 674+23=f 4 168+2+23=f 2+23 0，故 D 对.故选：BD28(2024广东模拟预测)已知函数 f x的定义域为 R,f x-1是奇函数，f x+1为偶函数，当-1 x 1 时，f x=2x+1-13x+1，则()A.f x的图象关于直线 x=1 对称B.f x的图象关于点-1,0对称C.f x+6=f xD.f 2021=-34【答案】ABD【解析】设 g x=f x-1，因为 g x是奇函数，所以 g-x=f-x-1=-g x=-f x-1，即 f-1+x+f-1-

39、x=0，即 f x关于-1,0对称，B 正确；设 h x=f x+1，因为 h x为偶函数，所以 h-x=h x，即 f-x+1=f x+1，f 1+x=f 1-x，所以 f x的关于直线 x=1 对称，A 正确；由 f x关于-1,0对称可得 f x+f-2-x=0，由 f x的关于直线 x=1 对称，可得 f x=f 2-x，两式联立得 f 2-x+f-2-x=0，令 x=x+2 得：f-x+f-4-x=0，即 f x+f x-4=0，令 x=x-4，得 f x-4+f x-8=0，即 f x=f x-8，故 f x的周期为 8，故 f x+8=f x，C 错误；因为 T=8，所以 f 2

40、021=f 252 8+5=f 5=f-3，又 f-1+x+f-1-x=0，令 x=-2 得 f-3+f 1=0，f 1=22-131+1=34，所以 f 2021=f-3=-f 1=-34，故 D 正确.故选：ABD29(2024高二福建三明期中)如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点E，F，且 EF=12，则下列结论中正确的是()A.异面直线 AE BF 所成角为定值B.AC BFC.AEF 的面积与 BEF 的面积相等D.三棱锥 A-BEF 的体积为定值【答案】BD【解析】以 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系.16则 A 1,0,0，B

41、 1,1,0，设 E a,a,1，则 F a+24,a+24,1，其中 0 a 1-24，AE=(a-1,a,1)，BF=a+24-1,a+24-1,1，cos=AE BF|AE|BF|=(2a-1)a+24-1+1(a-1)2+a2+1 2 a+24-12+1取 a=12 时，cos=442-12 2，取 a=1-24 时，cos=29-2 2，442-12 229-2 2，异面直线 AE、BF 所成角不是定值，故 A 错误；由正方体的结构特征可知，DD1 AC，BD AC，又 BD DD1=D，BD,DD1 平面 BDD1B1 AC 平面 BDD1B1，又 BF 平面 BDD1B1，则 A

42、C BF，故 B 正确；B 到 B1D1的距离为 BB1=1，A 到 B1D1的距离大于上下底面中心的连线，则 A 到 B1D1的距离大于 1，AEF 的面积大于 BEF 的面积，故 C 错误；AC 平面 BDD1B1，A 到平面 BDD1B1的距离为22，BEF 的面积为定值，三棱锥 A-BEF 的体积为定值，故 D 正确故选：BD30(2024湖南二模)如图，点 P 是棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的表面上一个动点，F 是线段A1B1的中点，则()A.若点 P 满足 AP B1C，则动点 P 的轨迹长度为 4 2B.三棱锥 A-PB1D1体积的最大值为 163C.当直线

43、AP 与 AB 所成的角为 45 时，点 P 的轨迹长度为 +4 2D.当 P 在底面 ABCD 上运动，且满足 PF 平面 B1CD1时，线段 PF 长度最大值为 2 2【答案】CD【解析】对于 A，易知 B1C 平面 ABC1D1,A 平面 ABC1D1，故动点 P 的轨迹为矩形 ABC1D1，动点 P 的轨迹长度为矩形 ABC1D1的周长，即为 4 2+4，所以 A 错误；对于 B，因为 VA-PD1D1=VP-AB1D1，而等边 AB1D1的面积为定值 2 3，要使三棱锥 P-AB1D1的体积最大，当且仅当点 P 到平面 AB1D1的距离最大，易知点 C 是正方体到平面 AB1D1距离

44、最大的点，所以 VA-PB1D1max=VC-AB1D1，此时三棱锥 C-AB1D1即为棱长是 2 2 的正四面体，其高为 h=2 22-2362=4 33，所以 VC-AB1D1=13 12 2 2 2 2 32 4 33=83，B 错误；17对于 C：连接 AC，AB1，以 B 为圆心，BB1为半径画弧 B1C，如图 1 所示，当点 P 在线段 AC,AB1和弧 B1C上时，直线 AP 与 AB 所成的角为 45，又 AC=AB2+BC2=4+4=2 2,AB1=AB2+BB21=4+4=2 2，弧 B1C长度 14 22=，故点 P 的轨迹长度为 +4 2，故 C 正确；对于 D，取 A

45、1D1,D1D,DC,CB,BB1,AB 的中点分别为 Q,R,N,M,T,H，连接 QR,QF,FT,TM,MN,NR,FH,HN,HM，如图 2 所示，因为 FT D1C,FT 平面 D1B1C,D1C 平面 D1B1C，故 FT 平面 D1B1C，TM B1C，TM 平面 D1B1C,B1C 平面 D1B1C，故 TM 平面 D1B1C；又 FT TM=T,FT,TM 平面 FTM，故平面 FTM 平面 D1B1C；又 QF NM,QR TM,RN FT，故平面 FTMNRQ 与平面 FTM 是同一个平面.则点 P 的轨迹为线段 MN：在三角形 FNM 中，FN=FH 2+HN 2=4+

46、4=2 2;FM=FH 2+HM 2=4+2=6;NM=2;则 FM 2+MN 2=8=FN 2，故三角形 FNM 是以 FMN 为直角的直角三角形；故 FPmax=FN=2 2，故 FP 长度的最大值为 2 2，故 D 正确.故选：CD.31(2024湖南二模)在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且 c=b 2cosA+1，则下列结论正确的有()A.A=2BB.若 a=3b，则 ABC 为直角三角形C.若 ABC 为锐角三角形，1tanB-1tanA 的最小值为 1D.若 ABC 为锐角三角形，则 ca 的取值范围为22,2 33【答案】ABD【解析】对于 A,ABC

47、 中，由正弦定理得 sinC=2sinBcosA+sinB，由 sinC=sin A+B，得 sinAcosB-cosAsinB=sinB，即 sin A-B=sinB，由 0 A,B 0，故 0 A-B ，所以 A-B=B 或 A-B+B=，即 A=2B 或 A=(舍去)，即 A=2B，A 正确；对于 B，若 a=3b，结合 A=2B 和正弦定理知asinA=3bsin2B=bsinB,cosB=32，又 0 A,B ，所以可得 A=2B=3,C=2，B 正确；对于 C，在锐角 ABC 中，0 B 2,0 A=2B 2,0 C=-3B 2，即 6 B 4,33 tanB18 1，C 错误；对

48、于 D，在锐角 ABC 中，由 6 B 4,22 cosB 0在区间 0,上有且仅有 3 条对称轴，给出下列四个结论，正确的是()A.f x在区间 0,上有且仅有 3 个不同的零点B.f x的最小正周期可能是 23C.的取值范围是94,134D.f x在区间 0,15上单调递增【答案】BD【解析】由函数 f x=sin x+4 0，令 x+4=2+k,k Z，则 x=(1+4k)4,k Z，函数 f(x)在区间 0,上有且仅有 3 条对称轴，即 0 (1+4k)4 有 3 个整数 k 符合，19由 0 (1+4k)4，得 0 1+4k4 1 0 1+4k 4，则 k=0，1，2，即 1+4 2

49、 4 1+4 3，94 134，故 C 错误；对于 A，x (0,)，x+4 4,+4，+4 52,72，当 x+4 52,3时，f(x)在区间(0,)上有且仅有 2 个不同的零点；当 x+4 3,72时，f(x)在区间(0,)上有且仅有 3 个不同的零点，故 A 错误；对于 B，周期 T=2，由 94 134，则 413 1 49，813 T 89，又 23 813,89，所以 f(x)的最小正周期可能是 23，故 B 正确；对于 D，x 0,15，x+4 4,15+4，又 94 134，15+4 25,715，又 715 0 时，f x 0，设 g x=f x+x2()A.若 f 1 f-

50、1=-3，则 f 1=1B.g x是偶函数C.g x在 R 上是增函数D.x-1g x 0 的解集是-,0 1,+【答案】ACD【解析】对选项 A：取 x=y=0 得到 f 0=f 0+f 0，即 f 0=0，取 x=1，y=-1 得到 f 0=f 1+f-1+2=0，又 f 1 f-1=-3，f 1 0，解得 f 1=1，正确；对选项 B：取 y=-x 得到 f 0=f x+f-x+2x2，即 f x+f-x=-2x2，g x+g-x=f x+x2+f-x+x2=0，函数定义域为 R，函数为奇函数，错误；对选项 C：设 x1 0 时，f x 0，故 f x2-x1 0，x1-x22 0，故

51、g x2-g x1 0，即 g x2 g x1，函数单调递增，正确；对选项 D：g 0=f 0+0=0，x-1g x 0，当 x 1 时，g x 0，则 x 0，故 x 1；当 x=1 时，不成立；当 x 1 时，g x 0，则 x 0，故 x 0；综上所述：x -,0 1,+，正确；故选：ACD.2035(2024湖北一模)某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数 y=1x 的图象是双曲线，设其焦点为 M,N，若 P 为其图象上任意一点，则()A.y=-x 是它的一条对称轴B.它的离心率为2C.点 2,2是它的一个焦点D.PM-PN=2 2【答案】ABD【解析】反比例函数的图象为等轴双曲线

52、，故离心率为2，容易知道 y=x 是实轴，y=-x 是虚轴，坐标原点是对称中心，联立实轴方程 y=x 与反比例函数表达式 y=1x 得实轴顶点 1,1,-1,-1，所以 a=2,c=2，其中一个焦点坐标应为2,2而不是 2,2，由双曲线定义可知 PM-PN=2a=2 2故选：ABD.36(2024湖北一模)已知函数 f x=ax3+bx2+cx+d 存在两个极值点 x1,x2 x1 0 时，n=3B.当 a 0 时，m+2=nC.mn 一定能被 3 整除D.m+n 的取值集合为 4,5,6,7【答案】AB【解析】由题意可知 f x=3ax2+2bx+c 为二次函数，且 x1,x2 x1 0 时

53、，令 f x 0，解得 x x2；令 f x 0，解得 x1 x x2；可知：f x在-,x1,x2,+内单调递增，在 x1,x2内单调递减，则 x1为极大值点，x2为极小值点，若 x1 0，则-x1 0 f x2，即-x1 x2，两者相矛盾，故 x1 0，可知 m=1，mn=3,m+n=4；若 f x2=x2=0，可知 m=2，mn=6,m+n=5；若 f x2=x2 0，可知 m=3，mn=9,m+n=6；故 A 正确；当 a 0，解得 x1 x x2；令 f x 0，解得 x x2；可知：f x在 x1,x2内单调递增，在内-,x1,x2,+单调递减，则 x2为极大值点，x1为极小值点，

54、若 x2 0，则-x1 0 x2，因为 f x1 f x2，即-x1 0，若 f x1=-x1 0，即 x1 0，可知 m=1，n=3，mn=3,m+n=4；21若 f x1=-x1=0，即 x1=0，可知 m=2，n=4，mn=8,m+n=6；若 f x1=-x1 0，可知 m=3，n=5，mn=15,m+n=8；此时 m+2=n，故 B 正确；综上所述：mn 的取值集合为 3,6,8,9,15，m+n 的取值集合为 4,5,6,8，故 CD 错误；故选：AB.37(2024湖北二模)如图，棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为棱 DD1的中点，F 为正方形C1CDD1内

55、一个动点(包括边界)，且 B1F 平面 A1BE，则下列说法正确的有()A.动点 F 轨迹的长度为2B.三棱锥 B1-D1EF 体积的最小值为 13C.B1F 与 A1B 不可能垂直D.当三棱锥 B1-D1DF 的体积最大时，其外接球的表面积为 252【答案】ABD【解析】对 A，如图，令 CC1中点为 M,CD1中点为 N,连接 MN，又正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为棱 DD1的中点，可得 B1M A1E,MN CD1 BA1，B1M 平面 BA1E,MN 平面 BA1E,又 B1M MN=M，且 B1M,MN 平面 B1MN，平面 B1MN 平面 BA1E,又 B1F 平面

56、A1BE，且 B1 平面 B1MN，B1F 平面 B1MN，又 F 为正方形 C1CDD1内一个动点(包括边界)，F 平面 B1MN 平面 C1CDD1，而 MN=平面 B1MN 平面 C1CDD1，F MN，即 F 的轨迹为线段 MN.由棱长为 2 的正方体得线段 MN 的长度为2，故选项 A 正确；对 B，由正方体侧棱 B1C1 底面 C1CDD1，所以三棱锥 B1-D1EF 体积为 V=13 B1C1 SD1FE=23 SD1FE，所以 D1FE 面积 SD1FE最小时，体积最小，如图，F MN，易得 F 在 N 处时 SD1FE最小，22此时 SD1FE=12 ND1 D1E=12,所

57、以体积最小值为 13，故选项 B 正确；对 C，当 F 为线段 MN 中点时，由 B1M=B1N 可得 B1F MN,又 CC1中点为 M,CD1中点为 N,MN D1C，而 A1B D1C，B1F A1B,故选项 C 不正确；对 D，如图，当 F 在 M 处时，三棱锥 B1-D1DF 的体积最大时，由已知得此时 FD=FD1=FB1=5,所以 F 在底面 B1DD1的射影为底面外心，DD1=2,B1D1=2 2,DB1=2 3,所以底面 B1DD1为直角三角形，所以 F 在底面 B1DD1的射影为 B1D 中点，设为 O1，如图，设外接球半径为 R,由 R2=OO12+O1B12=OO12+

58、3,R+OO1=FO1=2,可得外接球半径 R=5 24，外接球的表面积为 4R2=252，故选项 D 正确.故选：ABD.38(2024湖北二模)我们知道，函数 y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数有同学发现可以将其推广为：函数 y=f(x)的图象关于点 P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数 y=f(x+a)-b 为奇函数已知函数 f(x)=42x+2，则下列结论正确的有()A.函数 f(x)的值域为(0,2B.函数 f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称图形C.函数 f(x)的导函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称D.若函数 g(x

59、)满足 y=g(x+1)-1 为奇函数，且其图象与函数 f(x)的图象有 2024 个交点，记为 Ai(xi,yi)(i=1,2,2024)，则2024i=1(xi+yi)=4048【答案】BCD【解析】对于 A，显然 f(x)的定义域为 R，2x 0，则 0 42x+2 0，所以 f(x)=cosx+sin x2=1-2sin2 x2+sin x2，因为 y=sin x2 在 0,6上单调递增，又 sin 12=1-cos 62=2-32=6-24，所以 sin x2 0,6-24，因为 4916 3，即 74 3，所以 2-3-14=74-3 0，即 2-3 14，所以2-3 12，所以

60、sin 12=2-32 14，又 y=-2x2+x+1 在-,14上单调递增，在14,+上单调递减，24所以 y=1-2sin2 x2+sin x2 在 0,6上不单调，即 f x在区间 0,6不单调，故 A 错误；对于 B：因为 f 2-x=cos 2-x+sin 2-x2=cosx+sin x2=f x，所以 f x的图象关于直线 x=对称，故 B 正确；对于 C：因为 f x=cosx+sin x2=1-2sin2 x2+sin x2=1-2 sin x22+sin x2，令 t=sin x2，则 t 0,1，令 h t=1-2t2+t，t 0,1，则 h t在 0,14上单调递增，在1

61、4,1上单调递减，又 h 0=1，h 1=0，h 14=98，所以 h t 0,98，所以 f x的值域为 0,98，故 C 正确；对于 D：当 x 0,2 时 sin x2 0，所以 f x=cosx+sin x2=1-2sin2 x2+sin x2，由 A 选项可令 0,6且 sin 2=14，则当 x 0,时 f x单调递增，令 2 x2 2，即 x 时 y=sin x2 在,上单调递增，且 14 sin x2 1，所以 f x在,上单调递减，又 sin 2-2=sin 2=14，令 2 x2 2-2，即 x 2-时 y=sin x2 在,2-上单调递减，且 14 sin x2 1，所以

62、 f x在,2-上单调递增，当 2-2 x2 ，即 2-x 2 时 y=sin x2 在 2-,2上单调递减，且 0 sin x2 14，所以 f x在 2-,2上单调递减，又 f 0=f 2=1，f=0，f=f 2-=98，所以 f x在 0,2 上的函数图象如下所示：由图可知：当 a=0 时 y=f x与 y=a 有且仅有一个交点，即关于 x 的方程 f(x)=a 在区间 0,2 的实数根为；当 0 a 1 或 a=98 时 y=f x与 y=a 有两个交点，即关于 x 的方程 f(x)=a 在区间 0,2 有两个实数根，且两根关于 x=对称，所以两根之和为 2；当 1 a 98 时 y=

63、f x与 y=a 有四个交点，即关于 x 的方程 f(x)=a 在区间 0,2 有四个实数根，不妨设为 x1,x2,x3,x4且 x1 x2 x3 x4，所以 x1与 x4关于 x=对称，x2与 x3关于 x=对称，所以 x1+x2+x3+x4=4；当 a 98 时 y=f x与 y=a 无交点，即关于 x 的方程 f(x)=a 在区间 0,2 无实数根；25综上可得，若关于 x 的方程 f(x)=a 在区间 0,2 有实数根，则所有根之和组成的集合为,2,4，故 D正确；故选：BCD41(2024山东聊城一模)设 f x是定义在 R 上的可导函数，其导数为 g x，若 f 3x+1是奇函数，

64、且对于任意的 x R，f 4-x=f x，则对于任意的 k Z，下列说法正确的是()A.4k 都是 g x的周期B.曲线 y=g x关于点 2k,0对称C.曲线 y=g x关于直线 x=2k+1 对称D.g x+4k都是偶函数【答案】BC【解析】由 f 3x+1是奇函数，故有 f 3x+1=-f-3x+1，即有 f x+1=-f-x+1，故，则 f x+1=f-x+1，即 g x+1=g-x+1，故 g x关于 x=1 对称，由 f 4-x=f x，则-f 4-x=f x，即-g 4-x=g x，故 g x关于 2,0中心对称，由-g 4-x=g x，则-g 3-x=g x+1，又 g x+1

65、=g-x+1，故 g-x+1=-g 3-x，即有 g x+1=-g 3+x，则 g x+3=-g x+5，故 g x+3=-g x+5=-g x+1，即 g x+1=g x+5，故 g x=g x+4，故 g x周期为 4.对 A：当 k=0 时，4k=0，故 A 错误；对 B：由 g x周期为 4，故 g 4k-x=g-x，又-g 4-x=g x，故-g-x=g x，故 g-x=-g x=g 4k-x，故曲线 y=g x关于点 2k,0对称，故 B 正确；对 C：由 g x周期为 4，故 g 4k+2-x=g 2-x，又 g x+1=g-x+1，故 g x=g-x+2=g 4k+2-x，故曲

66、线 y=g x关于直线 x=2k+1 对称，故 C 正确；对 D：由 B 得-g x=g 4k-x，故-g-x=g 4k+x，又 g x周期为 4，故有-g-x=-g 4k-x，故 g 4k+x=-g 4k-x，又 x R，即 g x+4k都是奇函数，故 D 错误.故选：BC.42(2024山东烟台一模)给定数列 an，定义差分运算：an=an+1-an,2an=an+1-an,n N*.若数列 an满足 an=n2+n，数列 bn的首项为 1，且 bn=n+2 2n-1,n N*，则()A.存在 M 0，使得 an 0，使得 2an 0，总存在 n N*，使得 bn MD.对任意 M 0，总

67、存在 n N*，使得 2bnbn M【答案】BC【解析】对于 A，由 an=n2+n，得 an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2，显然 an有最小值 4，无最大值，因此不存在 M 0，使得 an 2 时，2an 0，得数列 bn是递增数列，bn有最小值 1，无最大值，从而对任意 M 0，总存在 n N*，使得 bn M，C 正确；对于 D，2bn=(n+3)2n-(n+2)2n-1=(n+4)2n-1，由选项 C 得 2bnbn=1+4n，显然数列 1+4n是递减数列，0 0，不存在 n N*，使得 2bnbn M 成立，D错误.故选：BC43(2024山东济宁一模)如图，在棱

68、长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M 是棱 BC 的中点，N 是棱 DD1上的动点(含端点)，则下列说法中正确的是()A.三棱锥 A1-AMN 的体积为定值B.若 N 是棱 DD1的中点，则过 A，M，N 的平面截正方体 ABCD-A1B1C1D1所得的截面图形的周长为7 52C.若 N 是棱 DD1的中点，则四面体 D1-AMN 的外接球的表面积为 7D.若 CN 与平面 AB1C 所成的角为，则 sin 33,63【答案】AD【解析】对于 A,连接 A1M,因为 DD1 AA1,AA1 平面 A1AM,DD1 平面 A1AM,所以 DD1 平面 A1AM,又点 N 是棱 D

69、D1上的动点(含端点)，所以点 N 到平面 A1AM 的距离为定值，设为 d，则 VA1-AMN=VN-A1AM=13 SA1AM d=13 2 52 d=53 d，为定值，故 A 正确；对于 B,如图，27四边形 AMHN 为过 A，M，N 的平面截正方体 ABCD-A1B1C1D1所得的截面图形，因为平面 A1ADD1 平面 B1BCC 1,且平面 A1ADD1 平面 AMHN=AN,且平面 B1BCC1 平面 AMHN=MH,根据面面平行的判断定理知，AN MH，又因为 M,N 为中点，所以 H 为四等分点，则四边形 AMHN 的周长为：AM+MH+HN+AN=5+52+172+5=5

70、5+172,故 B 错误；对于 C,如图所示，连接 AD1,取 AD 的中点为 M,连接 MM，设 AD1N 外接圆圆心为 O,外接球球心为 O,连接 OM,则 OE=OM,在 AD1N 中，设其外接圆半径为 r，由正弦定理知，ANsinAD1N=522=10=2r，所以 r=102，即 ON=102，依题易得 AND1 DMA,故 AMD=AND,弦 AD1所对的圆周角相等，故 A,M,N,D1四点共圆，则 OM=ON=102,设外接球半径为 R,过 O 作 OE MM,交 MM 于 E,则在 RtOEM 中，OM 2=OE 2+ME 2,即 R2=1022+2-OO2,在 RtOON 中，

71、ON 2=OO2+ON 2,即 R2=OO2+1022,联立，解得 OO=1,R2=72,故外接球的表面积为 4R2=14,故 C 错误；对于 D，以 A 为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，则 A 0,0,0,B1 2,0,2,C 2,2,0,N 0,2,0,2,则 AB1=2,0,2,AC=2,2,0,CN=-2,0,设平面 AB1C 的法向量 n=x,y,z，则 n AB1=0n AC=0 2x+2z=02x+2y=0，令 x=1，则 y=z=-1，故 n=1,-1,-1，则 sin=cosn,CN=n CNn CN=+23 4+2,=332+4+42+4=331+42+4,当 =

72、0 时，sin=33，28当 0 时，sin=331+42+4=331+4+4331+42 4=63，当且仅当 =2 时等号成立，又 sin=331+42+4 33，综上可知，sin 33,63，故 D 正确，故选：AD.44(2024山东济宁一模)已知函数 f x=sin x+6 0，则下列说法中正确的是()A.若 x=-3 和 x=6 为函数 f x图象的两条相邻的对称轴，则 =2B.若 =12，则函数 f x在 0,上的值域为12,32C.将函数 f x的图象向左平移 6 个单位长度后得到函数 g x的图象，若 g x为奇函数，则 的最小值为 5D.若函数 f x在 0,上恰有一个零点，

73、则 56 116【答案】ACD【解析】对于 A 选项，若 x=-3 和 x=6 为函数 f x图象的两条相邻的对称轴，则函数 f x的最小正周期为 T=2 6+3=，则 =2=2，所以，f x=sin 2x+6，此时，f6=sin 2=1，合乎题意，A 对；对于 B 选项，若 =12，则 f x=sin x2+6，当 0 x 时，则 6 x2+6 0，当 k=1 时，取最小值 5，C 对；对于 D 选项，因为 0，当 0 x 时，6 x+6 +6，因为函数 f x在 0,上恰有一个零点，则 +6 2，解得 56 0，xM+xN=-6t3t2+4,xMxN=-93t2+4，xM-xN=xM+xN

74、2-4xMxN=12 t2+13t2+4，令 l=t2+1 1，xM-xN=12l3l2+1=123l+1l，由对勾函数性质可知 y=3l+1l 在 1,+上递增，xM-xNmax=124=3，综上，三棱锥 E-PMN 体积的最大值为 13 8 3=8，D 选项正确.故选：ACD三、填空题46(2024广东江门一模)某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有个面；若被截正方体的棱长是 60cm，那么该几何体的表面积是cm2.【答案】1410800+3600 3【解析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8 个底面三角形，再加上

75、6 个小正方形，所以该几何体共有 14 个面；如果被截正方体的棱长是 60cm，那么石凳的表面积是S=8 12 30 2 30 2 sin60+6 30 2 30 2=10800+3600 3cm2.故答案为：14，10800+3600 3.47(2024广东江门一模)函数 f x的定义域为 R，对任意的 x，y，恒有 f(x+y)=f(x)f2-y+31f2-xf(y)成立.请写出满足上述条件的函数 f x的一个解析式.【答案】f x=sinx(答案不唯一)【解析】依题意不妨令 f x=sinx，则 f x+y=sin x+y=sinxcosy+cosxsiny，又 f(x)f2-y+f2-

76、xf(y)=sinxsin 2-y+sin 2-xsiny=sinxcosy+cosxsiny，所以 f(x+y)=f(x)f2-y+f2-xf(y)，故 f x=sinx 符合题意.同理可证明 f x=sin5x，f x=sin9x，也符合题意.故答案为：f x=sinx(答案不唯一)48(2024广东一模)已知直线 l 与椭圆 C:x23+y22=1 在第一象限交于 P，Q 两点，l 与 x 轴，y 轴分别交于 M，N 两点，且满足|PM|QM|+|QM|PM|=|PN|QN|+|QN|PN|，则 l 的斜率为.【答案】-63/-136【解析】如图所示，不妨设 P 在 Q 的左侧，取 PQ

77、 的中点 R，设 P x1,y1,Q x2,y2，则 R x1+x22,y1+y22，可得直线 l 的斜率 k=y1-y2x1-x2，直线 OR 的斜率 kOR=y1+y2x1+x2，因为 P x1,y1,Q x2,y2在椭圆 C:x23+y22=1 上，则x213+y212=1x223+y222=1，两式相减得 x21-x223+y21-y222=0，整理得 y21-y22x21-x22=-23，即 kOR k=-23，可知 PMQM,QNPN 1,+，因为 f x=x+1x 在 1,+内单调递增，由|PM|QM|+|QM|PM|=|PN|QN|+|QN|PN|可得|PM|QM|=|QN|P

78、N|，即 PQ+QMQM=PQ+PNPN，整理得 QM=PN，可知 R 为 MN 的中点，则 OR=RM，可知 kOR=-k，结合 kOR k=-23 可得 k2=23，且 k 0,b 0，且 ab=1，则 2a+4b+182a+b 的最小值为，此时 a=【答案】1212 或 232【解析】因为 ab=1，所以 2aba+4abb=4a+2b=2 2a+b，所以 2a+4b+182a+b=2 2a+b+182a+b 2 36=12，当且仅当 2a+b=3 时取到等号，故 2a+4b+182a+b 的最小值为 12，此时满足 2a+b=3ab=1，解方程得 a=1b=1或 a=12b=2，故 a

79、=12 或 1.故答案为：12；12 或 250(2024高二全国课时练习)已知 M,N 是过抛物线 C:y2=2px(p 0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线 C的交点，O 是坐标原点，且满足 MF=3FN，SOMN=3 MN，则 p 的值为.【答案】8【解析】根据题目意思将 OMN 面积用 OMF 和 ONF 面积表示得到38 p MN，结合 SOMN=3 MN即可求解.不妨设直线 MN 的斜率 k 0，过 M,N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 G,H，过 N 作 NK MG 于 K，由 MF=3FN，得 MF=3 FN，MG=3 NH，MK=2 NH=2 NF=12 MN，NK=MN2

80、-MK2=32MN，由 SOMN=SOMF+SONF=12 OF NK=38 p MN，又 SOMN=3 MN，所以38 p MN=3 MN，p=8.故答案为：8.51(2024山西晋中模拟预测)记数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 nan+1-n+1an+12=0，且 a1=32 若对任意的 n N*，都有 m Sn2n，则实数 m 的取值范围为【答案】1,+【解析】在已知式 nan+1-n+1an+12=0 中用 n+1 代 n 得另一等式，两式相减可证得数列 an 是等差数列，由 a1求出 a2，得公差，从而可得前 n 项和 Sn，令 bn=Sn2n，求出 bn后确定数列 bn的最大

81、值，得 m 的取值范围依题意，nan+1-n+1an+12=0，则 n+1an+2-n+2an+1+12=0，33两式相减，可得 an+2-2an+1+an=0，所以 an为等差数列，由 nan+1-n+1an+12=0，得 a2-2a1+12=0，又 a1=32，解得 a2=52，所以 d=a2-a1=1，则 Sn=32 n+n(n-1)2，所以 Sn2n=n2+2n2n+1.令 bn=Sn2n=n2+2n2n+1，bn+1-bn=3-n22n+2，当 n 2 时，bn+1-bn 1故答案为：1,+52(2024湖南二模)函数 f(x)=esinx-ecosx在(0,2)范围内极值点的个数为

82、.【答案】2【解析】易知 f x=esinxcosx+ecosxsinx=esinx+cosx sinxesinx+cosxecosx.当 x 0,2时，f x 0；当 x ,32时，f x 0 恒成立，所以 y=ueu 在 u (-1,1)上是单调增函数，根据复合函数单调性可知(x)=sinxesinx+cosxecosx 为减函数，又 y=esinx+cosx 0，易知 f 2 0,f()0，由零点存在定理可得函数 f x在2,上存在一个零点，同理可得 f 32 0，所以函数 f x在32,2上存在一个零点，结合 f x的正负情况，f x的零点为函数 f(x)的极值点，因此函数 f x在(

83、0,2)内一共有 2 个极值点.故答案为：253(2024湖南二模)已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)与双曲线 x2a2-y2b2=1，椭圆的短轴长与长轴长之比大于 12，则双曲线离心率的取值范围为.【答案】52,2【解析】依题意，对于椭圆方程，12 2b2a=ba 1,对于双曲线方程，e=ca=a2+b2a=a2+b2a2=1+ba2.不妨设 t=ba，则 t 12,1，于是 f(t)=1+t2,t 12,1，由复合函数的单调性可得函数 f(t)在区间12,1上单调递增，故52 f(t)2，即52 e 2，故双曲线离心率的取值范围为52,2.故答案为：52,2.3454(2024

84、高三湖北期中)已知函数 f x的定义域为 R，且满足 f x+f x+4=f 21，f 8-x=f x-4，f 0=1，则2025k=1f(k)=.【答案】2024【解析】由 f 8-x=f x-4可知 f x的图象关于直线 x=2 对称，从而 f 4=f 0=1，又因为 f x+f x+4=f 21，令 x=0，得 f 21=f 0+f 4=2，所以 f 1+f 5=f 2+f 6=f 3+f 7=f 4+f 8=2，由 f x+f x+4=2，得 f x+4+f x+8=2，两式相减可得 f x+8=f x，故 f x的最小正周期为 8，则 f 21=f 5=2，f 1=0，因为 2025

85、=8 253+1，所以2025k=1f(k)=253 f(1)+f(2)+f(8)+f(1)=253 8+0=2024.故答案为：2024.55(2024湖南二模)已知对任意 x1,x2 0,+，且当 x1 x2时，都有：a lnx2-lnx1x2-x1 1+1x1x2，则 a的取值范围是.【答案】-,2【解析】因为对任意 x1,x2 0,+，且当 x1 x2时 a lnx2-lnx1x2-x1 1+1x1x2恒成立，所以 alnx2-alnx1 x2-x1+x2-x1x1x2恒成立，所以 alnx2-alnx1 x2-x1+1x1-1x2恒成立，所以 alnx2-x2+1x2 alnx1-x

86、1+1x1恒成立，令 f x=alnx-x+1x,x 0,+，由式可得 f x2 f x1，所以 f x在 0,+上单调递减，所以 f x=-x2-ax+1x2 0 在 0,+上恒成立，所以 x2-ax+1 0 在 0,+上恒成立，所以 a x+1x 在 0,+上恒成立，又 x+1x 2x 1x=2，当且仅当 x=1x，即 x=1 时取等号，a 2.故答案为：-,256(2024湖北一模)记maxx a,bf x，minx a,bf x分别表示函数 f x在 a,b上的最大值和最小值则 minm-3,3maxn 0,9m+n-2 n=【答案】2【解析】由 m+n-2 n=(n-1)2+m-1，

87、设 n 为变量，maxn 0,9m+n-2 n=maxn 0,9n-12+m-1，令 t=(n-1)2+m-1，当 n=0 时，t=m，当 n=1 时，t=m-1，当 n=9 时，t=m+3，最大值只可能在 n=0 或 n=1 或 n=9 处取得，35所以 t=(n-1)2+m-1的最大值为 max m-1,m+3，所以maxn 0,9m+n-2 n=m+3,m-1-m+1,m 0,n 0)，则 m2-n23=1，可得 n2=3(m2-1)，又因为 A,B 分别为双曲线 C:x2-y23=1 的左右顶点，可得 A(-1,0),B(1,0)，所以 tan tan=kAP kBP=nm+1 nm-

88、1=n2m2-1=3；36又由 tan 0,tan 0，所以 2tan+tan 2 2tantan=2 6，当且仅当 2tan=tan 时，等号成立，所以2nm+1=nm-1，解得 m=3，所以 n2=3(m2-1)=24，所以 n=2 6，所以 PAB 的面积为 12 2a yP=12 2 2 6=2 6.故答案为：3；2 6.59(2024浙江高考真题)已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个 i(i=1,2,3,4,5,6)取遍 1 时，1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BD的最小值是；最大值是.【答案】02 5【解析】正方形 ABCD 的边长为 1，可得 AB+AD=AC，B

89、D=AD-AB，ABAD=0，1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BD=1-3+5-6AB+2-4+5+6AD要使 1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BD的最小，只需要1-3+5-6=2-4+5+6=0，此时只需要取 1=1,2=-1,3=1,4=1,5=1,6=1此时 1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BDmin=01AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BD2=1-3+5-6AB+2-4+5+6AD2=1-3+5-62+2-4+5+621+3+5-62+2+4+5+62=2+5-62+2+5+62=8+4 5-6+5+6+5-62+5+62=8+45-6+5+62+

90、2 25+26=12+45-62+5+62+2 25-26=12+4 2 25+26+2 25-26=20等号成立当且仅当 1,-3,5-6均非负或者均非正，并且 2,-4,5+6均非负或者均非正比如 1=1,2=1,3=-1,4=-1,5=1,6=1则 1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BDmax=20=2 5.60(2024重庆沙坪坝模拟预测)设双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，A为 C 的左顶点，P，Q 为双曲线一条渐近线上的两点，四边形 PF1QF2为矩形，且 sinPAQ=2 55，则双曲线的离心率为【答案】2【解析】令双曲线

91、 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的半焦距为 c，显然 A(-a,0)，由双曲线的对称性，不妨令点 P,Q 在双曲线 C 的渐近线 y=ba x 上，且点 P 在第一象限，由四边形 PF1QF2为矩形，得|OP|=|OF2|=c，令 P x0,ba x0，则 x0=a，P(a,b)，Q(-a,-b)，于是 AQ AF2，则 sinPAQ=sin 2+PAF2=cosPAF2=2 55，sinPAF2=55，tanPAF2=12，即直线 AP 的斜率 k=12，因此 k=b2a=12，即 ba=1，所以双曲线 C 的离心率为 e=ca=1+b2a2=2.37故答案为：261(2024

92、山东青岛一模)已知球 O 的表面积为 12，正四面体 ABCD 的顶点 B，C，D 均在球 O 的表面上，球心 O 为 BCD 的外心，棱 AB 与球面交于点 P若 A 平面 1，B 平面 2，C 平面 3，D 平面4，i i+1(i=1,2,3)且 i与 i+1(i=1,2,3)之间的距离为同一定值，棱 AC，AD 分别与 2交于点 Q，R，则PQR 的周长为.【答案】1+7/7+1【解析】设 i与 i+1(i=1,2,3)之间的距离为 d，设球 O 的半径为 R，则由题意得 4R2=12，解得 R=3，所以 OB=OP=3，所以 AB=BC=3OB=3，所以 OA=AB2-OB2=6，由

93、A，P，B 三点共线，故存在实数 使得 OP=OA+1-OB0 1，所以 OP 2=2OA 2+1-2OB 2+2 1-OA OB，所以 3=62+3 1-2，即 32-2=0，解得 =23，所以 OP=23 OA+13 OB，所以 APPB=12，所以 AP=13 AB=1，又 i i+1(i=1,2,3)且 i与 i+1(i=1,2,3)之间的距离为 d，则 ARAD=d3d=13，AQAC=d2d=12，所以 AR=1，AQ=32，所以 PQ=RQ=1+94-2 1 32 12=72，又 PR=13 BD=1，所以 PQR 的周长为 1+2 72=1+7.故答案为：1+762(2024山

94、东聊城一模)已知正四面体 ABCD 的棱长为 2，动点 P 满足 AP CD=0，且 PB PC=0，则点 P 的轨迹长为.【答案】3【解析】由 AP CD=0，故点 P 在过点 A 且垂直于 CD 的平面上，由 PB PC=0，故点 P 在以 BC 为直径的球面上，即点 P 的轨迹为过点 A 且垂直于 CD 的平面截以 BC 为直径的球面所得的圆，由正四面体的性质可得 AB CD，取 CD 中点 E，连接 AE，BE，则有 AE CD，又 AB、AE 平面 ABE，AB AE=A，故 CD 平面 ABE，取 BC 中点 F，BE 中点 G，连接 FG，则 FG CD，由 CD 平面 ABE，

95、故 FG 平面 ABE，38FG=12 CE=14 CD=14 2=12，BF=12 BC=1，F 为以 BC 为直径的球的球心，则该球半径为 1，则点 P 的轨迹所形成的圆的半径为 r=12-122=32，则其轨迹长为 2r=3.故答案为：3.63(2024山东烟台一模)若函数 f(x)=sinx+3cosx-1 在 0,2上佮有 5 个零点，且在-4,15上单调递增，则正实数 的取值范围为.【答案】94 52【解析】依题意，函数 f(x)=2sin x+3-1，由 f(x)=0，得 sin x+3=12，则 x+3=2k+6 或 x+3=2k+56,k Z，由 x 0,2，得 x+3 3,

96、2+3，由 f(x)在 0,2 上恰有 5 个零点，得 296 2+3 376，解得 94 3512，由-2 x+3 2，得-56 x 6，即函数 f(x)在-56,6上单调递增，因此-4,15-56,6，即-56-4，且 6 15，解得 0 0 且 a 1)恰有一个零点，则实数 a 的取值范围为【答案】1,ee e-1e【解析】令 f x=logax+1ax=0 得 1ax=-logax=log 1ax，即1ax=log 1ax，令 b=1a，当 b=1a 1 时，即 a 0,1时，若两函数有且仅有一交点，由指数函数和对数函数特征可判断此交点必定落在 y=x 这条直线上，且该点为 y=bx,

97、y=logbx 两函数的公切点，设切点为 x0,x0，则 y x0=1，则有bx0=logbx0=x0bxx=x0=1logbxx=x0=1，即bx0=logbx0=x0bx0 lnb=11x0 lnb=1，解得 x0=1lnb，由 bx0=x0得，x0lnb=lnx0，所以 lnx0=1，解得 x0=e，即 be=e，b=e1e，即 1a=e1e，a=e-1e；当 b 0,1时，即 a 1,+时，由指数函数和对数函数特征可判断 y=bx与 y=logbx 要有公切点，此切点必定落在 y=x 这条直线上，设切点为 x0,x0，y x0=-1，则有bx0=logbx0=x0bxx=x0=-1lo

98、gbxx=x0=-1，即bx0=logbx0=x0bx0 lnb=-11x0 lnb=-1，解得 x0=-1lnb，由 bx0=x0得 x0lnb=lnx0，39所以 lnx0=-1，解得 x0=1e，即 b1e=1e，b=1ee，即 1a=1ee，a=ee；由指数函数和对数函数特征可知：当 b 0,1ee时，y=bx与 y=logbx 有 3 个交点；当 b 1ee,1时，y=bx与 y=logbx 有 1 个交点；故 b 1ee,1时，即 1a 1ee,1时，a 1,ee时，y=bx与 y=logbx 有一交点.故答案为：1,ee e-1e65(2024山东淄博一模)已知定义在 R 上的函

99、数 f(x)，f(x)为 f(x)的导函数，f x定义域也是 R，f(x)满足 f(x+1012)-f(1013-x)=4x+1，则2024i=1f(i)=.【答案】4048【解析】对 f(x+1012)-f(1013-x)=4x+1 两边同时求导得f(x+1012)+f(1013-x)=4，即 f(x)+f(2025-x)=4，则 f(1)+f(2024)=4，f(2)+f(2023)=4 f(1012)+f(1013)=4，则2024i=1f(i)=4 1012=4048.故答案为：4048.66(2024山东淄博一模)设方程 ex+x+e=0，lnx+x+e=0 的根分别为 p，q，函数

100、 f x=ex+p+qx，令 a=f 0,b=f12,c=f32，则 a，b，c 的大小关系为.【答案】a c b【解析】由 ex+x+e=0，得 ex=-x-e，由 lnx+x+e=0，得 lnx=-x-e，依题意，直线 y=-x-e 与函数 y=ex,y=lnx 图象交点的横坐标分别为 p,q，而函数 y=ex,y=lnx 互为反函数，它们的图象关于直线 y=x 对称，又直线 y=-x-e 垂直于直线 y=x，因此直线 y=-x-e 与函数 y=ex,y=lnx 图象的交点关于直线 y=x 对称，即点(p,q)在直线 y=-x-e上，则 p+q=-e，f(x)=ex-ex，于是 f(0)=1,f12=e-12 e 1，f32=e32-32 e=ee-32 0，所以 f(0)f32 f12，即 a c b.故答案为：a c b