2024年高考数学全真模拟卷03（新高考专用）（解析版）.docx

1、2024年高考数学全真模拟卷03（新高考专用）（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1（5分）（2023全国模拟预测）已知全集U=R

2、，集合A=xx2x20，B=0,1,2,3，则UAB=（）A1,2B1,0,1,2C0,1,2D1,0,1,2,3【解题思路】根据一元二次不等式的解法求解集合A，然后利用补集和交集运算求解即可.【解答过程】由x2x20得x2x+10，解得x2，所以A=,12,+，所以UA=1,2，故UAB=0,1,2.故选：C.2（5分）（2023河北邢台宁晋中学校考模拟预测）若复数z=(2ai)(i+1)的共轭复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（）A(2,+)B(,2)C(2,2)D(0,2)【解题思路】应用复数乘法化简，再由所在象限的复数特征列不等式组求参数范围.【解答过程】由题设

3、，可得z=2+a+(2a)i，所以z=2+a+(a2)i，对应的点位于第四象限，所以a202a0时，fx=x=x在(0,+)上单调递增，满足要求，C正确；D选项，fx=2x的定义域为R，且fx=2x2x，故fxfx，fx=2x不是偶函数，D错误.故选：C.5（5分）（2023全国模拟预测）某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率为（）A310B110C25D35【解题思路】由排列与组合的相关计算公式运算即可求解.【解答过程】先在5名同学中选出2名同学分配到一个社区，有C52种分配方法，再将另外3

4、人分配到3个社区且每个社区各1人，则共有C52A44=240（种）分配方法，其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有A44=24（种），则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率为24240=110.故选：B6（5分）（2023广东校联考二模）已知F是双曲线E:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为73的直线与E的右支交于点M，MN=3NF，MFON，则E的离心率为（）A3B2C3D2【解题思路】取MF的中点为P，连接MF1，PF1,根据题意得到ON/PF1，求得MF1=FF1=2c，结合tanMFF1=73，得到cosMFF1=MF2FF1=34，结合双曲线的定义

5、，得到c=2a，即可求解.【解答过程】如图所示，双曲线E:x2a2y2b2=1的右焦点为F1，MF的中点为P，连接MF1，PF1,因为MN=3NF，O为FF1的中点，所以ON/PF1，则MFPF1，可得MF1=FF1=2c，又因为tanMFF1=73，所以cosMFF1=MF2FF1=34，则MF=3c，MFMF1=3c2c=c=2a，可得e=ca=2，所以E的离心率为2故选：B.7（5分）（2023广西模拟预测）已知sina+3=35，0,2，则sin+12=（）A210B7210C210D7210【解题思路】确定+33,56得到cos+3=45，根据sin+12=sin+34展开计算得到答

6、案.【解答过程】0,2，故+33,56，又sin+3=3532，故+32,56，cos+3=45，sin+12=sin+34=sin+3cos4cos+3sin4=7210.故选：D.8（5分）（2023全国模拟预测）已知a=e2ln3，b=ee1，c=e32ln2，则有（）AabcBacbCbacDbc1，则a=f3,b=fe,c=f4，确定函数fx的单调性，通过单调性可确定大小.【解答过程】把a，b，c变形得a=e31ln3，b=ee1lne，c=e41ln4，所以构造函数fx=ex1lnx,x1，则a=f3,b=fe,c=f4.fx=ex1lnx1xex1lnx2=ex1lnx1xlnx

7、2,x1，令gx=lnx1x，则gx=1x+1x20在1,+上恒成立，所以gx在区间1,+上单调递增，因为ge=lne1e=11e0，所以fx0在e,+上恒成立，所以函数fx=ex1lnx在e,+上单调递增，所以fef3f4，即ba0，则AF=2m，AA1=2m，BB1=m，过点B作BHAA1，垂足为H，易得AH=m，AB=3m，所以BH=22m，则tanHBA=AHBH=24，故k=24，根据对称性得k还可以是24，故选项D正确.故选：BCD12（5分）（2023安徽校联考模拟预测）若函数f(x)=aex+bex+cx，既有极大值点又有极小值点，则（）Aac0Bbc0Ca(b+c)0【解题思

8、路】根据极值定义，求导整理方程，结合一元方程方程的性质，可得答案.【解答过程】由题知方程f(x)=aexbex+c=ae2x+cexbex=0，ae2x+cexb=0有两不等实根x1，x2，令t=ex，t0，则方程at2+ctb=0有两个不等正实根t1，t2，其中t1=ex1，t2=ex2，a0=c2+4ab0t1+t2=ca0t1t2=ba0，c2+4ab0ac0ab0ab+c=ab+acan对nN恒成立，则a1的取值范围为 14,14 【解题思路】由an与Sn的关系，可求得Sn+Sn1=n12(n2)，进而求出an+2+an+1与an+1+an的值，当n2时，an+2an=2可得两个等差数

9、列的通项公式，由相邻两项间的大小关系，即可求得a1的取值范围.【解答过程】法一：因为Sn+1+Sn=n2，当n2时，Sn+Sn1=n12，两式相减得an+1+an=2n1n2，则an+2+an+1=2n+1，两式相减得an+2an=2n2当n=1时，2a1+a2=1，则a2=12a1；当n=2时，2a1+2a2+a3=4，则a3=2+2a1则a2n=12a1+2n1=2n2a11,a2n+1=a3+2n1=2n+2a1要使an+1an对nN恒成立，则a2a1,a2n+2a2n+1,a2n+1a2n,即12a1a1,2n+22a112n+2a1,2n+2a12n2a11,解得14a1an对nN恒

10、成立，只需a2a1,a3a2,a4a3,而a2=12a1,a3=2+2a1,a4=32a1，则12a1a1,2+2a112a1,32a12+2a1,解得14a10,设数列bn满足bn=1log2anlog2an+1,求bn的前2023项和T2023【解题思路】(1)设数列an的公比为qq0,根据题意得2a4=6a2+a3,求得公比q,即可得通项公式an.(2)根据题意得an=2n,代入bn并化简,再用裂项相消法求前2023项和即可.【解答过程】（1）设数列an的公比为qq0,则an=2qn1. a4是6a2和a3的等差中项,2a4=6a2+a3,即22q3=62q+2q2,解得q=2或q=32

11、或q=0（舍去）当q=2时,an=22n1=2n.当q=32时,an=232n1.（2） q0,由(1)知an=2n, bn=1log22nlog22n+1=1nn+1=1n1n+1.Tn=112+1213+1314+1n1n+1=11n+1=nn+1,T2023=20232024,故bn的前2023项和T2023为20232024.19（12分）（2023贵州铜仁校联考模拟预测）某地区教育局数学教研室为了了解本区高三学生一周用于数学学习时间的分布情况，做了全区8000名高三学生的问卷调查，现抽取其中部分问卷进行分析（问卷中满时长为12小时），将调查所得学习时间分成0,2，2,4，4,6，6,

12、8，8,10，10,126组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）参考数据：若随机变量服从正态分布N,2，则P+0.6827，P2+20.9545，P3+30.9973(1)求a的值；(2)以样本估计总体，该地区高三学生数学学习时间近似服从正态分布N6.52,1.482，试估计该地区高三学生数学学习时间在8,9.48内的人数；(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在6,8，8,10内的学生随机抽取8人，并从这8人中再随机抽取3人作进一步分析，设3人中学习时间在8,10内的人数为变量X，求X的期望【解题思路】（1）由概率之和为1计算即可得；（2）根据正态

13、分布的性质计算即可得；（3）结合分层抽样的性质与期望计算公式计算即可得.【解答过程】（1）由题意得2(0.02+0.03+a+0.18+0.06+0.5)=1，解得a=0.16；（2）P(89.48)=P(+2)=12P(2+2)12P(b0的左、右焦点，P为椭圆C上一点，若PF1+PF2=PF1PF2=4，SPF1F2=2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P坐标为3,1，设不过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，A关于原点的对称点为A，记直线l，PB，PA的斜率分别为k，k1，k2，若k1k2=13，求证：直线l的斜率k为定值.【解题思路】（1）将PF1+PF2=PF1PF2两边平方可得

14、PF1F2为直角三角形，然后根据直角三角形的面积及勾股定理计算可得a,b,c的值，进而可得椭圆C的标准方程；（2）设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，通过计算kPAkPA及k1k2=13可得到kPA+kPB=0，结合韦达定理计算可得斜率k的值.【解答过程】（1）由PF1+PF2=PF1PF2两边平方得PF1PF2=0，所以PF1PF2.因为PF1PF2=F2F1=4，所以2c=4，即c=2.由SPF1F2=2得12PF1PF2=2，即PF1PF2=4又F1F22=PF12+PF22=PF1+PF222PF1PF2=16，即2a28=16，所以a2=6，所以b2=a2c2=2，所以椭圆

15、C的标准方程为x26+y22=1；（2）设直线l的方程为y=kx+m，代入x26+y22=1得1+3k2x2+6kmx+3m26=0，则=36k2m241+3k23m26=126k2m2+20，设Ax1,y1,Bx2,y2，则Ax1,y1，于是x1+x2=6km1+3k2,x1x2=3m261+3k2.kPAkPA=y11x13y1+1x1+3=y121x123=21x1261x123=13，又k1k2=13，所以kPA=k1，即kPA+kPB=0，即y11x13+y21x23=0，即y11x23+y21x13=0，所以kx1+m1x23+kx2+m1x13=0，2kx1x2+m13kx1+x

16、223m1=0.将x1+x2=6km1+3k2,x1x2=3m261+3k2代入整理得3k223k+1+3mkm=0，即3k13k1+m=0，所以3k1+m=0或3k1=0当3k1+m=0，即m=13k时，直线l的方程为y=kx+13k=kx3+1，则直线l过点P3,1，舍去，所以3k1=0，即k=33. 22（12分）（2023广东东莞东莞市东华高级中学校考一模）设a，b为函数fx=xexm（m0）的两个零点(1)若当x1x恒成立，求实数m的取值范围；(2)证明：ea+eb1【解题思路】（1）求出定义域，求导，得到fx的单调性和极值情况，根据函数零点个数，得到fxmin1e，结合题目条件，得

17、到当1em0，根据零点存在性定理得到fx在，1内存在唯一零点，同理得到f(x)在1,0内存在唯一零点，从而求出答案；（2）设a1b0，由aea=beb可得eab=ba，令ba=t0,1，故a=lnt1t，b=tlnt1t，推出要证ea+eb1，即证lnt+1tlntt1，构造gx=lnxx1，x1，求导，对分子再构造函数，证明出gx0，gx在定义域内单调递减，故gt+1gt，即ln1+t+tlnt1t0，证明出结论.【解答过程】（1）fx的定义域为R，f(x)=x+1ex，当x,1时，fx0，故fx在,1内单调递减，在1,+单调递增，故要使fx有两个零点，则需fxmin=f1=e1m1e，由题

18、目条件m0，可得1em0，当1emmm=0，又1me0，故f(x)在1,0内存在唯一零点，则fx在R上存在两个零点，故满足题意的实数m的取值范围为1e,0；（2）证明：由（1）可设a1b0，由aea=beb可得eab=ba，令ba=t0,1，则b=at，所以eaat=t，故a=lnt1t，所以b=at=tlnt1t，要证ea+eb1，即证elnt1t+etlnt1t1etlnt1telnt+11etlnt1tt+11etlnt1telnt+11etlnt1t+lnt+11，即证ln1+t+tlnt1t0，因为t0,1，即证ln1+tt+lnt1t0，即lnt+1tlntt1，令gx=lnxx1，x1，gx=x1xlnxx12=11x+ln1xx12，令u=u1lnu，则u=11u，当u0,1时，u0，故u在0,1内单调递减，在1,+单调递增，所以u1=0，所以u1lnu0，令u=1x得1x1ln1x0，故gx=11x+ln1xx120，gx在定义域内单调递减，故gt+1gt，即lnt+1tlntt1，lnt+1tlntt1，ln1+t+tlnt1t0，则ea+eb1，证毕