24.4 圆周角、圆内接四边形【十大题型】（人教版）（学生版）.docx

1、专题24.4 圆周角、圆内接四边形【十大题型】【人教版】【题型1 圆周角的运用】2【题型2 圆内接四边形的运用】3【题型3 利用圆的有关性质求值】4【题型4 利用圆的有关性质进行证明】5【题型5 翻折中的圆的有关性质的运用】7【题型6 利用圆的有关性质求最值】9【题型7 利用圆的有关性质求取值范围】10【题型8 利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】11【题型9 利用圆的有关性质判断多结论问题】13【题型10 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】14【知识点1 圆周角定理及其推论】圆周角定理定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半 是所对的圆心角，是所对的圆周角，推论1：同弧

2、或等弧所对的圆周角相等和都是所对的圆周角推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径是的直径是所对的圆周角是所对的圆周角 是的直径【题型1 圆周角的运用】【例1】（2023春山东泰安九年级东平县实验中学校考期末）如图，O的直径是AB，BPQ=45，圆的半径是4，则弦BQ的长是（）A43B42C23D22【变式1-1】（2023春广西玉林九年级统考期末）如图，在ABC中，AB为O的直径，已知AB=4，CD=1，B=55，C=65，则BC= 【变式1-2】（2023春江西九江九年级校考期中）如图，ABC内接于O，AC=BC，连接OB，若C=52，则OBC的度数为 【变式1-3】（2023

3、春湖北省直辖县级单位九年级统考期末）如图，AB为半圆的直径，AB=10，点O到弦AC的距离为4，点P从出发沿BA方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP，当APC为等腰三角形时，点P运动的时间是()A145或4B145或5C4或5D145，4或5【知识点2 圆内接四边形】圆的内接四边形对角互补四边形是的内接四边形 【题型2 圆内接四边形的运用】【例2】（2023春浙江衢州九年级校联考期中）如图，在ABC中，AB=ACO是ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E为BA延长线上一点(1)求证：B=2ACD；(2)若ACD=35，求DAE的度数【变式2-1】（2023春陕西西安九年级高新一中校考

4、期中）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，BE是O的直径，连接AE，若BCD=2BAD，若连接OD，则DOE的度数是（）A30B35C45D60【变式2-2】（2023春浙江九年级期中）如图，O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若E=，F=，且，则A= （用含有a、的代数式表示）【变式2-3】（2023春辽宁大连九年级统考期末）如图，以ABC的边AB为直径作O交AC于D且ODBC，O交BC于点E(1)求证：CD=DE；(2)若AB=12，AD=4，求CE的长度【题型3 利用圆的有关性质求值】【例3】（2023春四川德阳九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，在ABC中，AC

5、B=90，过B，C两点的O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交O于点F连接BF，CF，若EDC=135，AE=2，BE=4，则CF的值为（）A10B22C23D3【变式3-1】（2023春湖南长沙九年级统考期末）如图，O中，OABC，B=50，则D的度数为（）A20B50C40D25【变式3-2】（2023春山东滨州九年级统考期中）如图，O为ABC的外接圆，ADBC，垂足为点D，直径AE平分BAD，交BC于点F，连接BE(1)求证：BE=BF；(2)若AB=10，BF=5，求EF:AF的值【变式3-3】（2023春广东汕头九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图1，四边形ADBC内接于O

6、，E为BD延长线上一点，AD平分EDC.(1)求证：AB=AC；(2)若ABC为等边三角形，则EDA= 度；（直接写答案）(3)如图2，若CD为直径，过A点作AEBD于E，且DB=AE=2，求O的半径.【题型4 利用圆的有关性质进行证明】【例4】（2023春广东广州九年级广东广雅中学校考期末）如图，CD是ABC的外角ECB的角平分线，与ABC的外接圆O交于点D，ECB=120(1)求AB所对圆心角的度数；(2)连DB，DA，求证：DA=DB；(3)探究线段CD，CA，CB之间的数量关系，并证明你的结论【变式4-1】（2023春浙江金华九年级校考期中）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，

7、连接CO并延长交AD于点F，且CFAD证明：E是OB的中点【变式4-2】（2023春山西长治九年级统考期末）阅读材料，解答问题：关于圆的引理古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是阿基米德全集的引理集中记载的一个命题：如图1，AB是O的弦，点C在O上，CDAB于点D，在弦AB上取点E，使DE=AD，点F是BC上的一点，且CF=CA，连接BF，则BF=BE小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：证明：如图2，连接CA，CE，CF，BC，CDAB于点D，DE=AD，CA=CECAE=CEA CF=CA，CF=CA（依据1），CBF=CBA四边形ABFC内接

8、于O，CAB+CFB=180（依据2）(1)上述证明过程中的依据1为 ，依据2为 ；(2)将上述证明过程补充完整【变式4-3】（2023春江苏泰州九年级校考期末）已知O为ACD的外接圆，AD=CD(1)如图1，延长AD至点B，使BD=AD，连接CB求证：ABC为直角三角形；若O的半径为4，AD=5，求BC的值；(2)如图2，若ADC=90，E为O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作ADE关于AD对称的图形ADQ，连接QC，试猜想QA,QC,QD三者之间的数量关系并给予证明【题型5 翻折中的圆的有关性质的运用】【例5】（2023春江苏无锡九年级统考期中）如图，将O上的BC沿弦BC翻折交半径OA于

9、点D，再将BD沿BD翻折交BC于点E，连接DE 若AD2OD，则DEAB的值为（）A36B63C33D66【变式5-1】（2023春湖北恩施九年级期末）如图，AB为O的一条弦，C为O上一点，OCAB将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D若D为翻折后弧AB的中点，则ABC（）A110B112.5C115D117.5【变式5-2】（2023春浙江宁波九年级校考期中）如图，在O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD，若点D与圆心O不重合，BAC=25，则DCA= 【变式5-3】（2023春浙江金华九年级浙江省义乌市稠江中学校考期中）在O中，AB为直

10、径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=3，求O的半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，BAC=20，请求出DCA的度数(3)如图2，如果AD=6，DB=2，求AC的长【题型6 利用圆的有关性质求最值】【例6】（2023春浙江衢州九年级校联考期中）如图，ABC中，AB=23，ACB=75，ABC=60，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O，分别交AB，AC于E，F，连接EF，则BAC= ；EF的最小值为 【变式6-1】（2023春北京密云九年级统考期末）如图，O的弦AB长为2，CD是O的直径，ADB=30,ADC=15O的

11、半径长为 P是CD上的动点，则PA+PB的最小值是 【变式6-2】（2023春湖南湘西九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，以边CD为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，EFDA于点F，EPAB于点P，设EF=x，EP=y，则x2+y2的最小值是（）A23-1B4-23C25-1D25-2【变式6-3】（2023春辽宁沈阳九年级沈阳市第七中学校考期末）如图，已知以BC为直径的O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，ADAP交BP于D，连CD若BC=6，则CD的最小值为 【题型7 利用圆的有关性质求取值范围】【例7】（2023春湖北武汉九年级校考期末）如图，ABC的两个顶点A、B在

12、O上，O的半径为2，BAC=90，AB=AC，若动点B在O上运动，OC=m，则m的取值范围是 【变式7-1】（2023春新疆乌鲁木齐九年级校考期中）如图，弧BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）A12P18B18P24C18P1862D12P1262【变式7-2】（2023春福建福州九年级校考期中）如图，O的直径为10，A、B、C、D是O上的四个动点，且AB6，CD8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF长度的取值范围是（）A1EF7B2EF5C1EF7D1EF6【变式7-3】（2023春江苏南京九年级统考

13、期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，O的半径是1过O上一点P作等边三角形PDE，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围是 【题型8 利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】【例8】（2023河北石家庄统考一模）如图，AB是半圆O的直径，C、D、E三点依次在半圆O上，若C=，E=，则与之间的关系是（）A+=270B+=180C=+90D=12+90【变式8-1】（2023湖北襄阳九年级校考阶段练习）如图，等边ABC内接于O，P是AB上任意一点（不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM/BP交PA的延长线于点M.（1）求APC和BPC的度数（2）探究PA、PB、PM之间的关系（3）

14、若PA=1，PB=2，求四边形PBCM的面积【变式8-2】（2023春安徽九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于O，AC是O的直径，AB=BC，延长DA到点E，使得BE=BD(1)若AF平分CAD，求证：BA=BF；(2)试探究线段AD，CD与BD之间的数量关系【变式8-3】（2023江苏九年级假期作业）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题如图1，在O中，C是劣弧AB的中点，直线CDAB于点E，则AE=BE请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦如图2，PA，PB组成O的一条折弦C

15、是劣弧AB的中点，直线CDPA于点E，则AE=PE+PB可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立请写出证明过程；(3)如图3，PA，PB组成O的一条折弦C是优弧ACB的中点，直线CDPA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明【题型9 利用圆的有关性质判断多结论问题】【例9】（2023春江苏镇江九年级统考期中）如图，点A、B、C是O上的点，且ACB=90，AC=6，BC=8，ACB的平分线交O于D，下列4个判断：O的半径为5；CD的长为72；在BC弦所在直线上存在3个不同的点E，使得CDE是等腰三角形；在BC弦所在直线上存在2个不同的点F，使得CDF

16、是直角三角形；正确判断的个数有（）A1B2C3D4【变式9-1】（2023春广东湛江九年级统考期末）如图所示，MN是O的直径，作ABMN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为AN上一点，且AC=AM，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：AD=BD；MAN=90；AM=BM；ACM+ANM=MOB；AE=12MF其中正确结论的个数是（）A2B3C4D5【变式9-2】（2023春全国九年级统考期末）已知如图，点O为ABD的外心，点C为直径BD下方弧BCD上一点，且不与点B，D重合，ACB=ABD=45，则下列对AC，BC，CD之间的数量关系判断正确的是（ ） AAC=BC+CD B

17、2 AC=BC+CD C3 AC=BC+CD D2AC=BC+CD【变式9-3】（2023春浙江九年级期末）在一次探究活动中，方方完成了如下的尺规画图过程：第一步：在半径为1的O上任取一点A，连续以1为半径在O上截取AB=BC=CD；第二步：分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交O于F画图后，他得出两个结论：AF的长为2；ACF的面积为3+34，则（）A正确，正确 B正确，错误 C错误，正确 D错误，错误【题型10 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】【例10】（2023春安徽六安九年级校考期末）如图，在RtABC中，ABBC，AB=

18、6，BC=4，P是ABC内部的一个动点，连接PC，且满足PAB=PBC，过点P作PDBC于点D，则APB= ；当线段CP最短时，BCP的面积为 【变式10-1】（2023春福建厦门九年级厦门市第五中学校考期中）在ABC中，ACB=90，AC=BC=2，把ABC绕点B顺时针旋转得到DBE（点A与D对应）(1)如图，若点E落在边AB上，连接AD，求AE的长；(2)如图，若旋转角度为60，连接AE求AE的长；(3)如图，若旋转角度为4590，连接AD，BFAD，垂足为F求证：C，E，F三点在同一直线上【变式10-2】（2023春重庆开州九年级统考期末）如图，以直角三角形ABC的斜边AB为边在三角形ABC的同侧作正方形ABDE，正方形的对角线AD，BE相交于点O，连接CO，如果AC=1，CO=22，则正方形ABDE的面积为（）A20B22C24D26【变式10-3】（2023春吉林长春九年级校考期末）如图，菱形ABCD的边长为8，A=60，E是AD中点，动点P从点A出发，沿折线AB-BD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，连结PE，作A关于直线PE的对称点A，连结AE、AP设P的运动时间为t秒(1)点D到AB的距离是(2)直接写出AB的最小值(3)当A落在菱形ABCD的边上时，求APE的面积(4)当AP垂直于菱形ABCD的一边时，直接写出t的值