25.6解直角三角形的应用：坡度问题（重难点培优）（解析版）【沪教版】.docx

1、2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题25.6解直角三角形的应用：坡度问题（重难点培优）姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2020秋虹口区期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i1：2.4，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是（）A10米B24米C25米D26米【分析】根据

2、坡度的概念求出BC，根据勾股定理计算，得到答案【解析】作ABCB于B，由题意得，AB10米，斜坡的坡度i1：2.4，ABBC=12.4，即10BC=12.4，解得，BC24，由勾股定理得，AC=AB2+BC2=102+242=26（米），故选：D2（2020利辛县模拟）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A5 米B53米C25 米D45米【分析】作BC地面于点C，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可【解析】作BC地面于点C，设BCx米，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，AC2x米，由勾股定理得，AC2+BC2AB2，即

3、（2x）2+x2102，解得，x25，即BC25米，故选：C3（2020秋闵行区期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A3米B10米C210米D310米【分析】过B作BC地面于C，先根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可【解析】过B作BC地面于C，如图所示：BC：AC1：3，即1：AC1：3，AC3（米），AB=AC2+BC2=32+12=10（米），即物体从A到B所经过的路程为10米，故选：B4（2019杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OCOB，点A，B，C，D，O在同一平面内

4、），已知ABa，ADb，BCOx，则点A到OC的距离等于（）Aasinx+bsinxBacosx+bcosxCasinx+bcosxDacosx+bsinx【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决【解析】作AEOC于点E，作AFOB于点F，四边形ABCD是矩形，ABC90，ABCAEC，BCOx，EABx，FBAx，ABa，ADb，FOFB+BOacosx+bsinx，故选：D5（2020秋浦东新区期中）一段公路路面的坡度为i1：2.4如果某人沿着这段公路向上行走了260m，那么此人升高了（）A50mB100mC150mD200m【分析】

5、已知了坡面长为260米，可根据坡度比设出两条直角边的长度，根据勾股定理可列方程求出坡面的铅直高度，即此人上升的最大高度【解析】如图，RtABC中，tanA=12.4，AB260米设BCx，则AC2.4x，根据勾股定理，得：x2+（2.4x）22602，解得x100（负值舍去）故选：B6（2017秋虹口区期末）如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为（）A1：2.6B1：513C1：2.4D1：512【分析】根据题意作出合适的辅助线，由坡度的定义可知，坡度等于坡角对边与邻边的比值，根据题目中的数据可以得到坡度，本题得以解决【解析】

6、如图，根据题意知AB13、AC5，则BC=AB2-AC2=132-52=12，斜坡的坡度itanABC=ACBC=512=1：2.4，故选：C7（2021宜兴市模拟）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架32米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60，则胡同左侧的通道拓宽了（）A3米B3米C3-2米D（3-3）米【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出EC、EB，根据正切的定义求出DE，结合图形计算得到答案【解析】在RtEBC中，BCE45，ECEB=22BC=

7、2232=3（米），在RtBDE中，tanBDE=BEDE，DE=BEtanBDE=33=3（米），CDECDE（3-3）米，故选：D8（2021邯郸三模）如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB，AC与地面MN的夹角分别为8和10，该大灯照亮地面的宽度BC的长为3.5米，则该大灯距地面的高度为（）（参考数据：sin8425，tan817，sin10950，tan10528）A3.5米B2.5米C4.5米D5.5米【分析】过点A作ADMN于点D，由锐角三角函数的定义得出BD7AD，CD=285AD，再由BDCDBC，得7AD-285AD3.5，即可得出答案【解析】过点A作ADMN

8、于点D，如图所示：在RtADB与RtACD中，tanABD=ADDB=tan817，tanACD=ADCD=tan10528，BD7AD，CD=285AD，BDCDBC，7AD-285AD3.5，解得：AD2.5，即该大灯距地面的高度2.5米，故选：B9（2021温州模拟）在台风来临之前，有关部门用两根一样长的钢管加固树木（如图），已知固定点A离地面的高度AC为3米，钢管与地面所成夹角为，则两根钢管底部之间的距离BD为（）A3tan米B32tan米C6tan米D6sin米【分析】由题意得：ABAD，ACBD，再由等腰三角形的性质得BCDC，然后由锐角三角函数定义得BC=ACtan=3tan，即

9、可求解【解析】由题意得：ABAD，ACBD，BCDC，在RtABC中，tan=ACBC，BC=ACtan=3tan，BD2BC=6tan，故选：C10（2020秋仁寿县期末）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（）A75mB50mC30mD12m【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比列式计算即可【解析】斜坡AB的坡度i1：2.5，BC：AC1：2.5，BC30m，AC302.575（m），故选：A二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11（2021杨浦区三模）已知一斜坡的坡比为

10、1：2，坡角为，那么sin55【分析】坡比坡角的正切值，设竖直直角边为x，水平直角边为2x，由勾股定理求出斜边，进而可求出的正弦值【解析】如图所示：由题意，得：tani=12，设竖直直角边为x，水平直角边为2x，则斜边=x2+(2x)2=5x，则sin=x5x=55故答案为5512（2021青浦区二模）某传送带与地面所成斜坡的坡度i1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面6米高的地方，那么物体所经过的路程为15.6米【分析】根据坡度的概念求出BC，根据勾股定理计算，得到答案【解析】如图，过A作ABCB于B，由题意得，AB6米，斜坡的坡度i1：2.4，ABBC=12.4，即6BC=12.4，解得

11、：BC14.4（米），由勾股定理得，AC=AB2+BC2=62+1442=15.6（米），故答案为：15.613（2021浦东新区校级二模）如果人在一斜坡坡面上前行50米时，恰好在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是1：311【分析】根据勾股定理求出这个人走的水平距离，根据坡度的概念计算，得到答案【解析】人在一斜坡坡面上前行50米时，在铅垂方向上上升了5米，由勾股定理得，这个人走的水平距离=502-52=1511，坡度i5：1511=1：311，故答案为：1：31114（2021黄浦区二模）如图，某水库水坝的坝高为24米，如果迎水坡AB的坡度为1：0.75，那么该水库迎水坡AB的长度为30

12、米【分析】先根据坡度的定义求出AC的长，再根据勾股定理即可求出该大坝迎水坡AB的长度【解析】如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，迎水坡AB的坡度为1：0.75BC：AC1：0.75，24：AC1：0.75，AC18（米），ABBC2+AC2=242+182=30（米），即该大坝迎水坡AB的长度为30米，故答案为：3015（2020秋徐汇区期末）在坡度为i1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是210米【分析】根据坡度的定义，利用勾股定理即可解决问题【解析】如图，过B作BCAD于C，山坡AB的坡度为i1：3，株距（相邻两棵树间的水平距离）

13、是6米，水平距离AC6米，铅垂高度BC2米，斜坡上相邻两树间的坡面距离AB=62+22=210（米），故答案为：21016（2021奉贤区二模）已知传送带和水平面所成斜坡的坡度i1：3，如果物体在传送带上经过的路程是30米，那么该物体上升的高度是310米（结果保留根号）【分析】过A作ABCB于B，根据坡度的概念求出BC3AB，再根据勾股定理计算得到答案【解析】过A作ABCB于B，如图所示：由题意得，AC30米，斜坡的坡度i1：3，ABBC=13，BC3AB，由勾股定理得，AC=AB2+BC2=10AB30米，AB310（米），故答案为：31017（2021泗水县一模）如图，某堤坝的坝高为12米

14、，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为15米【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，再根据勾股定理即可求出该大坝迎水坡AB的长度【解析】如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，BC：AC1：0.75，12：AC1：0.75，AC9（米），AB=BC2+AC2=122+92=15（米），答：该大坝迎水坡AB的长度为15米故答案为：1518（2021海珠区校级模拟）如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i1：2.4，那么物体所经过的路程AB为13米【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB【解析】传送带与地面所成的斜

15、坡的坡度i1：2.4，BCAC=12.4，即5AC=12.4，解得，AC12，由勾股定理得，AB=AC2+BC2=122+52=13，故答案为：13三、解答题（本大题共6小题，共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2020秋静安区期末）如图，一处地铁出入口无障碍通道是转折的斜坡，沿着坡度相同的斜坡BC、CD共走7米可到出入口，出入口点D距离地面的高DA为0.8米，求无障碍通道斜坡的坡度与坡角（角度精确到1，其他近似数取四个有效数字）【分析】根据勾股定理求出AE，根据坡度的概念求出坡度，根据正弦的定义求出坡角【解析】由题意得，DE7米，在RtADE中，AE=72-0826.95

16、41（米），无障碍通道斜坡的坡度0.8：6.95411：8.693，sinAED=ADDE=0.870.1143，AED7，即无障碍通道斜坡的坡角约为720（2020松江区二模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）【分析】延长CD交AB于E，根据坡度和坡角可得CE3，DE2.6，过点D作DHAB于H，根据锐角三角函数即可求出DH的长【解析】如图，延长CD交AB于E，i1：2.4，tanCAB=12.4=512，CEAC=51

17、2，AC7.2，CE3，CD0.4，DE2.6，过点D作DHAB于H，EDHCAB，tanCAB=512，cosEDH=cosCAB=1213，DH=DEcosEDH=2.61213=2.4，答：该车库入口的限高数值为2.4米21（2020秋黄浦区期末）如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段AB为屋内地面，线段AE、BC为房屋两侧的墙，线段CD、DE为屋顶的斜坡已知AB6米，AEBC3.2米，斜坡CD、DE的坡比均为1：2（1）求屋顶点D到地面AB的距离；（2）已知在墙AE距离地面1.1米处装有窗ST，如果阳光与地面的夹角MNP53，为了防止阳光通过窗ST照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙AE

18、端点E处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段EF），公司设计的遮阳棚可作90旋转，即0FET90，长度为1.4米，即EF1.4米试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由（参考数据：21.41，31.73，52.24，103.16，sin530.8，cos530.6，tan53=43）【分析】（1）通过作辅助线，利用斜面的坡比为1：2，求出DH，进而求出DG即可；（2）过点S作MN的平行线交AB于R，过E作EQSR，在RtQES中，求出QE，比较QE与EF的大小即可得出答案【解析】（1）连接EC，则四边形ABCE是矩形，过点D作DHAB，垂足为H，交EC于点G，斜坡CD、DE的坡比均

19、为1：2，DGEG=12=DGCG，又EGCGAHBH=12AB3，DG1.5，DH1.5+3.24.7（米），即屋顶点D到地面AB的距离为4.7米；（2）公司设计的遮阳棚能够达到小明的要求，理由如下：过点S作MN的平行线交AB于R，过E作EQSR，垂足为Q，则QESSRAMNP53，在RtQES中，ESAEAS3.21.12.1，QES53，QEEScosQES2.1cos531.26（米），1.261.4，即QEEF，公司设计的遮阳棚能够达到小明的要求，答：公司设计的遮阳棚能够达到小明的要求22（2020攀枝花一模）某仓储中心有一个坡度为i1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在

20、同一水平地面上，其横截面如图（1）求该斜坡的坡面AB的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE2.5米，高EF2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF3.5米时，点D离BC所在水平面的高度DH【分析】（1）根据坡度定义以及勾股定理解答即可；（2）证出GDMHBM，根据GMGD=12，得到GM1m，利用勾股定理求出DM的长，然后求出BM5m，进而求出MH，然后得到DH【解析】（1）坡度为i1：2，AC4m，BC428mAB=AC2+BC2=42+82=45（米）；（2）DGMBHM，DMGBMH，GDMHBM，GMGD=12，DGEF2m，G

21、M1m，DM=12+22=5，BMBF+FM3.5+（2.51）5m，设MHxm，则BH2xm，x2+（2x）252，x=5m，DH=5+5=25m23（2021茶陵县模拟）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，如图，在司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口CD的上方BC处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中BC高度为0.5m，AB宽度为9m，坡面的坡角为30（1）根据图（1）求出入口处顶点C到坡面的铅直高度CD（2）图（2）中，线段CE为顶点C到坡面AD的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？（31.7，精确到 0.1米）【分析】（1）根据正切的定义求出

22、BD，进而求出CD；（2）根据正弦的定义求出CE，根据题意解答即可【解析】（1）在RtABD中，BAD30，AB9m，BDABtanBAD933=33（m），CDBDBC33-0.54.6（m），答：点C到坡面的铅直高度CD约为4.6m；（2）在RtCDE中，CDE60，CD（33-0.5）m，CECDsinCDE（33-0.5）32=92-344.1（m），4.13.9，该车能进入该车库停车24（2021江西模拟）如实物图所示，一架战斗机模型由机身和底座构成，图1是它的侧面示意图，底座的支撑杆PC长12cm，PC与水平桌面PD的夹角为60，机身腹部AB平直，且与支撑杆在点C处联结，并可在点C

23、处转动一定的角度，飞机的前轮E的支架EF长1.2cm，点F在AB上，EF与AB垂直，CFPC（1）如图2，当飞机水平摆放，即ABPD时，求前轮E到PD的距离（2）如图3，当飞机仰身摆放时，AB绕着点C逆时针旋转至与PC的夹角为150处，此时前轮E到PD的距离约是多少？（参考数据：31.7，2=1.4，52.2）【分析】（1）求出点C到PD的距离即可；（2）通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解即可【解析】（1）如图2，过点C作CMPD，垂足为M，过点E作ENMC，垂足为N，PCFC12cm，P60，CMPCsinP1232=63（cm），MNMCCN63-1.29.2（cm），即前轮E到PD的距离约为9.2cm；（2）如图3，过点E、F分别作PB的垂线，垂足分别为G、H，过点C 作CPFG，过点E作EQFG，垂足分别为P、Q，由题意可知，FCP30EFQ，在RtCPF中，FP=12CF6（cm），在RtEFQ中，FQEFcosEFQ1.232=0.63（cm），QGFGFQFP+PGFQ63+60.6315.4（cm），即前轮E到PD的距离约是15.4cm