2_2、北京师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题.docx

1、北京师大附中2021-2022学年上学期高一年级期中考试数学试卷本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分一、选择题（每小题4分，共40分，每题均只有一个正确答案）1. 已知集合，那么A. （-12）B. （0，1）C. （-1,0）D. （1,2）2. 下列函数中，在区间（0，）上不是单调函数的是（）A. yB. C. D. 3. 下图是函数的图像，的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 64. 函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 5. 若ab，则下列不等式一定成立是（）A. B. a2b2C. a3b3D. |a|b|6. 设, 则 “”是“”的（）A. 充分而不必

2、要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买（）A. 20B. 30C. 40D. 608. 已知函数f（x）是R上的偶函数，当x0时，f（x）=2-2，则f（x）B. a2b2C. a3b3D. |a|b|【答案】C【解析】【分析】ABD三个选项举出反例即可判断，C选项做差结合立方差公式即可判断.【详解】A若，则，故A错误；B若，则，故B错误；C，因为恒成立，又因为，则，故，故C正确.D若，则，故D错误.故选：C.6.

3、 设, 则 “”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由一定可得出；但反过来，由不一定得出，如，故选A.【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.7. 某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买（）A. 20B. 30C. 40D. 60【答案】B【解析】【分析】先根据题意列出一年的总运费与总存储费用之和的关系式，然后利用均值不等式进行求

4、解.【详解】某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，则需购买次，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，则一年的总运费与总存储费用之和为，即吨时，等号成立，所以每次购买吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.故选：B.8. 已知函数f（x）是R上偶函数，当x0时，f（x）=2-2，则f（x）0的解集是A. （-1，0）B. （0，1）C. （-1，1）D. （-，-1）（1，+）【答案】C【解析】【详解】由函数为偶函数可得，时， 设，则，当时，有，故选C.点睛：本题主要考查了偶函数的定义及利用偶函数的性质求解函数的解析式，不等式的解法，属于知识的综合应用；根据函数的奇偶性可求出函

5、数在整个定义域上的解析式，解分段函数的不等式可得最后结果.9. 已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（）A. -4，0）B. -4，-2）C. -4，+）D. （-，-2）【答案】B【解析】【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可；【详解】因为且在上单调递增，则，所以，解得，即，故选：B10. 已知集合，集合A1，A2，A3满足：每个集合都恰有5个元素；集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为（）A. 56B. 72C. 87D. 96【答案】D【解析】【分析】根据题意分别列

6、出三个集合特征数取得最大值和最小值时的元素情况，再分别进行计算各自的特征值，即可求解.【详解】由题意集合，当时，取得最小值，；当时，取得最大值，；的最大值与最小值的和为：.故选：D.二、填空题（每小题5分，共25分）11. 函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】根据函数解析式，可知，即可求出函数的定义域.【详解】解：由题可知，则，解得：且，所以函数的定义域为.故答案为：.12. 求值：_【答案】【解析】【分析】结合指数幂的运算化简整理即可求出结果.【详解】，故答案为：.13已知函数则_；若，则_【答案】 . 4 . -2【解析】【分析】空1：根据分段函数的定义域，先求，再求；空2：根据分段函

7、数的定义域，分，两种情况讨论求解.【详解】答题空1：，.答题空2：，时，（舍）或；时，（舍）.综上，.故答案为：4；-2.14. 若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是_【答案】（，）【解析】【分析】由一元二次方程根的分布知识求解【详解】设，由题意，解得，故答案为：15. 已知函数，下面有四个结论：当时，在上单调递减；若函数恰有2个零点，则的取值范围是；若函数无最小值，则的取值范围是；若方程有三个实数根，其中，则不存在实数，使得其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】结合二次函数单调性判断即可；将函数恰有2个零点，转化为在上有两个零

8、点，进而根据二次函数的零点问题即可判断；求出分段函数在各段的值域，分析即可求出结果；结合二次函数的对称性以及不等式的性质即可判断【详解】当时，因为函数的对称为，且开口向上，所以在上单调递减，故正确；因为时，故在无零点，因此若函数恰有2个零点，即在上有两个零点，因此，即，则的取值范围是，故正确；因为时，故在上的值域为，若函数无最小值，则需满足在上的最小值大于0，若，即，此时在上单调递减，所以，符合题意；若，即，此时在上单调递减，在上单调递增，所以，即，因此，综上所述的取值范围是，故错误；假设存在方程有三个实数根，其中，则有，则，当且仅当时，等号成立，而，即，则不存在实数，使得，故正确故答案为：.

9、【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析三、解答题（共6小题，共85分解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程）16. 设，已知集合，（1）当时，求；（2）若，且，求实数的取值范围【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根据并集和补集的概念即可求出结果；（2）由题意可得，解不等式组即可求出结果.【小问1详解】当时，且，则，所以或；【小问2详解】因为，且，所以需满足，解得，所以实数的取值范围为.17. 设（1）当时，求的解集；（

10、2）求函数的零点【答案】（1）.（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）将代入解析式后解不等式即可.（2）分三种情况分别进行讨论求函数零点.【小问1详解】时，即的解集为【小问2详解】当时，的零点为；或，的零点为；当，即时，无零点；当，即或时，的零点为和18. 已知函数（1）判断函数是否具有奇偶性？并说明理由；（2）试用函数单调性的定义证明：在（-1，）上是增函数；（3）求函数在区间1，4上的值域【答案】（1）函数不具有奇偶性；理由见解析；（2）证明见解析； （3）-，1.【解析】【分析】（1）通过定义域不关于原点对称来判断奇偶性；（2）任取x1，x2（-1，），且x1x2，通过计算

11、 f（x1）-f（x2）的正负来判断单调性；（3）通过函数在区间1，4上的单调性求得最值即可.【小问1详解】由已知，故函数定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性；【小问2详解】证明：=，任取x1，x2（-1，），且x1x2f（x1）-f（x2）（2-）-（2-）-=，又由-1x1x2，则x1-x20，x110，x210，故f（x1）-f（x2）0，即f（x1）f（x2），所以f(x)在（-1，）是增函数；【小问3详解】由（2）知，f(x)在1，4上单调递增，所以f(x)minf(1)-，f(x)maxf（4）1，故f(x)在1，4上的值域是-，119. 已知函数f(x)-x2

12、2ax1-a（1）若函数f(x)在区间0，3上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）若f(x)在区间0，1上有最大值3，求实数a的值【答案】（1）a0或a3（2）a-2或a3【解析】【分析】（1）先求函数对称轴，再根据开口方向以及对称轴与定义区间位置关系即可求出结果；（2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数a的值【小问1详解】函数图像开口向下，对称轴为xa，因为函数f(x)在区间0，3上是单调函数，所以函数f(x)在区间0，3上是增函数或减函数，所以a0或a3【小问2详解】f(x)对称轴为xa，当a0时，函数f(x)在区间0，1上是减函数，

13、则f(x)maxf（0）1-a3，即a-2；当0a1时，函数f(x)在区间0，a上是增函数，在区间a，1上是减函数，则f(x)maxf（a）a2-a13，解得a2或-1，不符合题意；当a1时，函数f(x)在区间0，1上是增函数，则f(x)maxf(1)-12a1-a3，解得a3；综上所述，a-2或a320. 已知函数在上有意义，且对任意满足（1）求的值，判断的奇偶性并证明你的结论；（2）若时，判断在的单调性，并说明理由（3）在（2）的条件下，请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按得分计入总分）若，请问是否存在实数，使得恒成立，若存在，给出实数的一个取值；若不存在，请说明理由记表示两

14、数中的较大值，若对于任意，求实数的取值范围？【答案】（1），奇函数；证明见解析（2）在上是单调递减函数；理由见解析（3）不存在；理由见解析；.【解析】【分析】（1）令，得到，再令，可得，劲儿可得出结论；（2）设任意，令，进而可得，判断其正负，结合单调性的概念即可得出结论.选结合函数单调性可得，进而可得，解不等式即可得出结论；选令，所以，进而分和两种情况讨论即可求出结果.【小问1详解】令，则，解得，令，则，则，又因为定义域为，关于原点对称，所以为奇函数【小问2详解】在上是单调递减函数理由：设任意，令，则，即：，因为，所以，所以，所以，因为时，所以，故，所以，所以在上为单调递减函数【小问3详解】选

15、由（2）知，在上是单调递减函数，且所以，因为，所以，所以，即，所以，即，又因为，所以不存在实数使得恒成立选，由（2）知，在上是单调递减函数，且所以，所以，所以，令，所以，若，；若，因为，当且仅当时等号成立，所以，所以综上，实数m的取值范围为【点睛】含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集的对立面(如f(x)m的解集是空集，则f(x)m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)a恒成立af(x)max，f(x)a恒成立af(x)min.21. 如果函数f(x)的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定

16、义域内任意x，都有f(xa)f(x)成立，则称此函数f(x)具有“性质P(a)”（1）若函数f(x)x22x具有“P(a)性质”，求实数a的值；（2）已知函数f(x)具有“P(0)性质”，且当x0时，f(x)(xm)2，若方程f(x)在区间2，2上恰有四个实数根，求实数m的取值范围；（3）已知f(x)|xm2|m2若函数f(x)具有“性质P(2)”，求实数m的值；若定义域为R的函数g(x)具有“P(0)性质”，且当x0时，g(x)f(x)，请问是否存在实数m，使得对于任意x(1，+)，g(x2)g(x)若存在，直接写出实数m的取值范围；若不存在，直接写不存在实数m(不需说明理由)【答案】（1）

17、a2 （2）m0（3） m1；存在；1m1【解析】【分析】（1）由(xa)22(xa)(x)22x恒成立可求得的值；（2）函数f(x)具有“P(0)性质”，由函数为偶函数，由偶函数对称性，可得f(x)在区间2，0)上恰有两个实根，由此可求得范围；（3）根据“性质P(2)”，由恒等式知识求解；是偶函数，作出函数图象，利用图象平移可得不等关系，从而得参数范围小问1详解】因为f(x)x22x具有“P(a)性质”，所以(xa)22(xa)(x)22x恒成立，整理得，(2a4)xa22a0，因为等式恒成立，所以，解得a2；【小问2详解】因为函数yf(x)具有“P(0)性质”，所以f(x)f(x)恒成立，

18、yf(x)是偶函数当m0时，函数f(x)在(，0上单调递减，在0，)上单调递增，所以方程f(x)在区间2，2上至多有两个实数根，不符合题意；当m0时，函数f(x)在(，m上单调递减，在m，0上单调递增，又方程f(x)在区间2，2上恰有四个实根，所以f(x)在区间2，0)上恰有两个实根，所以，所以m0；综上，实数m的取值范围为m0；【小问3详解】因为函数f(x)具有“性质P(2)”，所以f(x2)f(x)恒成立，即|x2m2|m2=|xm2|m2，|x2m2|=|xm2|，两边平方后整理得：(4m24)x4m240，(4m24)(x1)0，所以4m240，即m1；具有性质，则是偶函数，若，显然满

19、足题意，若，其图象如图所示，把其图象向左平移2个单位，得的图象，要使得时，恒成立，则点必须移到点左侧，所以，综上，的范围是若您具有丰富教学经验，若您对教辅资料有独到的见解，若您也希望“让每一位学生分享高品质教育”，别犹豫，我们寻找的就是您！加入我们，共同打造师生喜爱的优质教辅！招募要求：1. 热爱教育教学，认同曲一线“让每一位学生分享高品质教育”的企业使命2. 6年以上高中一线教学经验，带过两届毕业班，中一以上职称3. 3. 对高考、新教材有深入研究4. 有良好的沟通表达能力与团队协作精神，责任心强5. 有无教辅编写、审稿经验均可，全职、兼职均可为提高5年高考3年模拟高中同步教辅书的质量，保证图书内出现的练习题为最新、最优质的试题资源。现长期有偿征集全国最新优质试卷，欢迎大家踊跃提供，为教育事业贡献一份力量！征集要求：1. 试卷范围：百强校卷、省前十校卷、联考卷、统考卷、市区卷2. 试卷类别：仅限高一、高二的新学年、新学期月考、期中、期末卷联系人：李老师：13810445359（同微信） 韩老师：13810475358（同微信）