3微专题：平面向量模的最值（范围）之求法 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册.docx

1、【学生版】微专题：平面向量模的最值（范围）之求法向量既有大小又有方向，具有数和形的特征。因此，在解题时要注意利用数形结合的方法。尤其是当题目中涉及动点，变量的最值或范围问题时，应该重视平面向量的符号、坐标与有向线段的表示多样性，通过数形结合和函数思想相融合；求向量模的最值（范围）的方法，通常有：（1）代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用均值不等式，三角函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直，平行，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图

2、形求解；【典例】例1、已知，是单位向量，若向量满足，则的最大值为（）ABCD【提示1】；【答案】；【解析1】；【说明1】；【提示2】；【答案】；【解析2】；【拓展】求：的最大值；则，其中表示在方向上的数量投影当点运动到处时，在方向上的数量投影最大，最大投影为2，故的最大值为2,故答案为：2；【说明2】；【提示3】【答案】；【解析3】；【说明3】例2、已知、是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）ABC2D【提示1】；【答案】；【解析1】【说明1】【提示2】【解析2】；【注：学习了解析几何后，又解：不妨以为例，则的最小值是到直线的距离减1.即】【说明2】例3、若平

3、面向量，满足，则在方向上数量投影的最大值是_【归纳】1、向量和差的几何意义：已知向量，则有：（1）若共起点，则利用平行四边形法则求，可得是以为邻边的平行四边形的对角线（2）若首尾相接，则利用三角形法则求出，可得，围成一个三角形2、向量数乘的几何意义：对于（1）共线（平行）特点：与为共线向量，其中时，与同向；时，与反向（2）模长关系：3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设三个内角所对的边为 正弦定理： 余弦定理：（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。（3）矩形：若四边形的平行四边形，则对角线相等

4、是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长5、求向量的模的拓展与技巧：不等式法：（左边等号成立当且仅当，反向等号成立；右边等号成立当且仅当，同向等号成立）；（左边等号成立当且仅当，同向等号成立；右边等号成立当且仅当，反向等号成立）；.【即时练习】1、已知向量，的夹角为，与共线，的最小值为A1 BC D2、已知向量，满足，若，且，则的最小值为A1 BC D3、已知向量与单位向量所成的角为，且满足对任意的，恒有，则的最小值为 4、设，其中，则的最大值是5、若平面向量，满足，则

5、，对任意实数，的最小值是 6、已知向量，满足，求：的最大值【教师版】微专题：平面向量模的最值（范围）之求法向量既有大小又有方向，具有数和形的特征。因此，在解题时要注意利用数形结合的方法。尤其是当题目中涉及动点，变量的最值或范围问题时，应该重视平面向量的符号、坐标与有向线段的表示多样性，通过数形结合和函数思想相融合；求向量模的最值（范围）的方法，通常有：（1）代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用均值不等式，三角函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直，平行，以及其

6、他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图形求解；【典例】例1、已知，是单位向量，若向量满足，则的最大值为（）ABCD【提示1】注意：由题设等价等待关于的不等式；可考虑；以及“单位向量”、“”；【答案】；【解析1】由两边同时平方，得，再由，是单位向量，则， 变形得（等号，当且仅当成立），整理得，即；故选C；【说明1】以上解法主要利用平面向量的数量积运算，结合题设构建了与三角函数的最值的关联与整合；【提示2】先作出图形，利用求出点的轨迹，数形结合即可得到的最大值，再将进行转化，利用向量数量积的几何意义求解的最大值；【答案】C；【解析2】如图，作，由题意知，故以为邻边作正方形，则，

7、作；则由，得，则点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆；因此当点运动到处时，最大，最大值为；【拓展】求：的最大值；则，其中表示在方向上的数量投影当点运动到处时，在方向上的数量投影最大，最大投影为2，故的最大值为2,故答案为：2；【说明2】本题考查了向量线性运算的几何意义与数量积的几何表示；主要考查平面向量的数量积、平面向量的模、平面向量的几何意义，考查化归与转化思想、数形结合思想及运算求解能力；【提示3】由题意建立平面直角坐标系，设，根据条件求得满足的关系式，利用向量的坐标运算和距离公式，再根据的几何意义数形结合即可求解【答案】C；【解析3】由已知；建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意，不妨设，；

8、所以，；由，所以，化简整理，可得，所以点在以（1,1）为圆心，半径为1的圆上所以；【说明3】由于向量具有数形二重性，因此研究向量的问题时可借助于几何图形进行，利用数形结合可以增强解题的直观性，同时也使得对向量的研究简单化，进而可提高解题的效率；例2、已知、是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）ABC2D【提示1】注意：构建与三角不等式的关联，用好用对平面向量数量积的运算律；【答案】A；【解析1】由，得；设，所以，由向量的三角形法则，得，所以，取的中点为，则点在以点为圆心，为直径的圆上；如图，设，作射线，使得，所以，【注：圆心到直线的距离减去圆的半径1，为】故选

9、A；【说明1】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法；【提示2】把等式变形，可得，即，设，则的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到的终点在不含端点的两条射线上，画出图形，数形结合得答案；【解析2】等式变形，可得，即；如图，不妨设，则的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线（）上.如图，数形结合可知；【注：学习了解析几何后，又解：不妨以为例，则的最小值是到直线的距离减1

10、.即】【说明2】本题（2018浙江卷)）本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想；例3、若平面向量，满足，则在方向上数量投影的最大值是_【提示】注意：结合题设与“数量投影”的概念进行等价转化；【答案】；【解析】由，可得： 所以，在方向上数量投影为：；故最大值为： ；【说明】本题通过向量的数量积运算结合“数量投影”的概念，建立了与基本不等式的联系与交汇；【归纳】1、向量和差的几何意义：已知向量，则有：（1）若共起点，则利用平行四边形法则求，可得是以为邻边的平行四边形的对角线（2）若首尾相接，则利用三角形法则求出，可得，围成一个三角形2、向量数乘的几何意义：对于（1）

11、共线（平行）特点：与为共线向量，其中时，与同向；时，与反向（2）模长关系：3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设三个内角所对的边为 正弦定理： 余弦定理：（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。（3）矩形：若四边形的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长5、求向量的模的拓展与技巧：不等式法：（左边等号成立当且仅当，反向等号成立；右边等号成立当且仅

12、当，同向等号成立）；（左边等号成立当且仅当，同向等号成立；右边等号成立当且仅当，反向等号成立）；.【即时练习】1、已知向量，的夹角为，与共线，的最小值为A1 BC D【答案】D【解析】设，则，所以，即的最小值为，2、已知向量，满足，若，且，则的最小值为A1 BC D【答案】D；【解析】由，又，到直线的距离，且，在直线上，的最小距离为故选：3、已知向量与单位向量所成的角为，且满足对任意的，恒有，则的最小值为 【答案】；【解析】，即，整理得，对任意的恒成立，即不妨设，则，4、设，其中，则的最大值是【答案】2；【解析】，时，取最大值2故答案为：25、若平面向量，满足，则，对任意实数，的最小值是 【答案】，；【解析】因为，所以，解得，；，则，即的最小值为，6、已知向量，满足，求：的最大值【解析】因为向量，满足，令，则，则，将上式平方得，式平方后的交叉乘积的两倍为故故答案为：5